Az előadás letöltése folymat van. Kérjük, várjon

Az előadás letöltése folymat van. Kérjük, várjon

Fraktálok Szirmay-Kalos László. Fraktálok Hausdorff dimenzió N= 1/r D D= (logN) / (log 1/r)

Hasonló előadás


Az előadások a következő témára: "Fraktálok Szirmay-Kalos László. Fraktálok Hausdorff dimenzió N= 1/r D D= (logN) / (log 1/r)"— Előadás másolata:

1 Fraktálok Szirmay-Kalos László

2 Fraktálok Hausdorff dimenzió N= 1/r D D= (logN) / (log 1/r)

3 Koch görbe D= (log4) / (log 3) = 1.26 N = 4, r = 1/3

4 Nem önhasonló objektumok dimenziója Vonalzó ( l ) db l 1 r =1/3N = 4 r 2 N 2 r m N m Hossz( l ) = l db = l N m = l (1/r D ) m = = l (1/r m ) D = 1/ l D -1 D = - log Hossz( l ) / log l + 1

5 Dimenziómérés = hosszmérés log l log Hossz( l ) D-1

6 Fraktálok előállítása Matematikai gépek: Brown mozgás Kaotikus dinamikus rendszerek

7 Brown mozgás - Wiener féle sztochasztikus folyamat l Sztochasztikus folyamat (véletlen függvény) l Trajektóriák folytonosak l Független növekményű folyamat l Növekmények 0 várható értékű normális eloszlás: –a független növekményűségből, a szórás az intervallum hosszával arányos

8 Brown mozgás alkalmazása

9 Kaotikus dinamikus rendszer: nyulak kis C értékre S n+1 = C S n (1-S n )

10 Kaotikus dinamikus rendszer: nyulak közepes C értékre

11 Kaotikus dinamikus rendszer: nyulak nagy C értékre

12 Pseudo véletlenszám generátor r n+1 = F(r n ) Iterált függvény: véletlenként hat F nagy derivált!

13 Rossz: r n+1 = F(r n ) (r n,r n+1 ) pairs

14 Jó F l Sűrűn kitölti a négyzetet l Mindenütt nagy derivált l a [0, 1]-ben van Aperiodic length periodicity

15 Kongruens generátor F(x) = { g ·x + c }g ·x+c tört része g nagy

16 Kaotikus rendszerek a síkon F z = x + jy

17 z  z 2 1 z = r e i  r  r 2   2  divergens konvergens Attraktor: H = F(H)

18 Attraktor előállítása l Attraktor a labilis és a stabilis tartomány határa: kitöltött attraktor = amely nem divergens –z n+1 = z n 2 : ha z  <  akkor fekete l Attraktorhoz konvergálunk, ha az stabil –z n+1 = z n 2 attraktora labilis

19 Inverz iterációs módszer H = F(H)  H = F -1 (H) z n+1 = z n 2 z n+1 =   z n r n+1 =  r n  n+1 =  n /2 + {0,1}·  1 r n  1  n  {0,1}.{0,1}{0,1}... ·  n n-1 n-2 Nem lehet csak egy értékkel dolgozni ???

20 Julia halmaz: z  z 2 + c

21 Kitöltött Julia halmaz: algoritmus FilledJuliaDraw ( ) FOR Y = 0 TO Ymax DO FOR X = 0 TO Xmax DO  ViewportWindow(X,Y  x, y) z = x + j y FOR i = 0 TO n DO z = z 2 + c IF |z| > “infinity” THEN WRITE(X,Y, white) ELSE WRITE(X,Y, black) ENDFOR END Re z Im z (X,Y)

22 Kitöltött Julia halmaz: kép

23 Julia halmaz inverz iterációval JuliaDrawInverseIterate ( ) Kezdeti z érték választás FOR i = 0 TO n DO FOR i = 0 TO n DO x = Re z, y = Im z IF ClipWindow(x, y) WindowViewport(x, y  X, Y) Pixel(X, Y) = fekete ENDIF z = z - c ENDIF z =  z - c if (rand( ) > 0.5) z = -z ENDFOR ENDFOR END Re z Im z (X,Y) Kezdeti z érték: z 2 = z - c gyöke

24 Julia halmaz összefüggő nem összefüggő, Cantor féle halmaz

25 Julia halmaz összefüggősége z n+1 =   z n -c c c H H H-c

26 Mandelbrot halmaz Azon c komplex számok, amelyekre a z  z 2 + c Julia halmaza összefüggő

27 Mandelbrot halmaz, algoritmus MandelbrotDraw ( ) FOR Y = 0 TO Ymax DO FOR X = 0 TO Xmax DO  ViewportWindow(X,Y  x, y) c = x + j y z = 0 FOR i = 0 TO n DO z = z 2 + c IF |z| > “infinity” THEN WRITE(X,Y, white) ELSE WRITE(X,Y, black) ENDFOR END

28 „Színes” Mandelbrot halmaz

29 Inverz feladat: IFS modellezés x, y Attraktor: H = F(H) H  F F F: szabadon vezérelhető, legyen stabil attraktora

30 F: többértékű lineáris leképzés F = W 1  W 2  …  W n W(x,y) = [ax + by + c, dx + ey + f] H = W 1 (H)  W 2 (H)  …  W n (H) Stabilitás = kontrakció H = F(H)

31 IFS rajzolás: iterációs algoritmus IFSDraw ( ) Legyen [x,y] = [x,y] A 1 + q 1 megoldása a kezdő [x,y] FOR i = 0 TO n DO IF ClipWindow(x, y) WindowViewport(x, y X, Y) Write(X, Y, color); ENDIF Válassz k-t p k valószínűséggel [x,y] = [x,y] A k + q k ENDFOR END IFSDraw ( ) Legyen [x,y] = [x,y] A 1 + q 1 megoldása a kezdő [x,y] FOR i = 0 TO n DO IF ClipWindow(x, y) WindowViewport(x, y  X, Y) Write(X, Y, color); ENDIF Válassz k-t p k valószínűséggel [x,y] = [x,y] A k + q k ENDFOR END x y(X,Y) WkWkWkWk

32 Egyszerű IFS-ek

33 IFS modellezés

34 IFS képek


Letölteni ppt "Fraktálok Szirmay-Kalos László. Fraktálok Hausdorff dimenzió N= 1/r D D= (logN) / (log 1/r)"

Hasonló előadás


Google Hirdetések