Az előadás letöltése folymat van. Kérjük, várjon

Az előadás letöltése folymat van. Kérjük, várjon

Számrendszerek óvodapedagógusoknak. A természetes számok fogalmának halmazelméleti megközelítése  Legyen a halmazok egy rendszerére jellemző, hogy 

Hasonló előadás


Az előadások a következő témára: "Számrendszerek óvodapedagógusoknak. A természetes számok fogalmának halmazelméleti megközelítése  Legyen a halmazok egy rendszerére jellemző, hogy "— Előadás másolata:

1 Számrendszerek óvodapedagógusoknak

2 A természetes számok fogalmának halmazelméleti megközelítése  Legyen a halmazok egy rendszerére jellemző, hogy  Legyen benne üres halmaz  Ha a halmazrendszer tartalmaz egy H halmazt, akkor tartalmazza a HU{x} halmazt is, ahol x tetszőleges elem.  Soroljuk egy osztályba az egyenlő számosságú halmazokat  Vegyünk ki minden osztályból egy halmazt – reprezentáns halmaz.  Értelmezzük a következő relációt: |A|<|B|  Az osztályreprezentánsok rendezett sorozatában található halmazok számosságát természetes számoknak nevezzük.

3 A természetes számok halmaza  A természetes számok halmaza végtelen számosságú,  Jelölése: N={1,2,3,…..}  Megjegyzések  Minden véges halmaz számossága egy természetes számmal adható meg.  A természetes szám halmaztulajdonság – az elemek lényeges tulajdonságaitól elvonatkoztatunk.  A fenti értelmezés szerint a 0 is természetes szám!  A véges halmaz számosságának megállapításához a gyakorlatban sorszámozzuk az elemeket.

4 A természetes számok axiomatikus értelmezése  Alapfogalmak  Természetes szám  A nulla (0)  rákövetkezés  Axiómák

5 A természetes számokra vonatkozó axiómák  A 0 természetes szám  Minden természetes számnak van egy természetes rákövetkezője, amely szintén természetes szám  Nincs olyan természetes szám, amelynek a 0 rákövetkezője lenne  Különböző természetes számok rákövetkezője is különböző.  Ha egy T tulajdonság olyan, hogy  Igaz a k 0 € N számra, továbbá  Abból a feltevésből, hogy a T tulajdonság igaz egy tetszőleges k(k>=k 0, k € N) számra, következik, hogy igaz a k rákövetkezőjére is, akkor a T tulajdonság minden k>=k 0 természetes számra igaz lesz (teljes indukció axiómája).

6 Műveletek természetes számokkal  Összeadás |A|=a, |B|=b és A B={}, akkor a+b=|AUB|  Szorzás |A|=a, |B|=b, ab=|AxB|  Kivonás |A|=a, |B|=b és BÍA, azaz a<=b, a-b=|A\B|  Osztás a,b € N, a:b az a c € N, melyre bc=a

7 Műveleti tulajdonságok  Kommutatív A+b=b+a, ab=ba  Asszociatív (a+b)+c=a+(b+c), (ab)c=a(bc)  Disztributív (a+b)c=ac+bc

8 Számírás

9 Számírás - Róma  Római számok – csak alaki érték!  I,II,III,IV, V, VI,VII,VIII,IX,X,XI,…., L (50),,,,C(100),…D(500), ….M(1000),….  MCMLXVIII (1968)  Európában az 1300 –as évekig ez volt használatban, műveletek elvégzésére alkalmatlan volt.

10 Számírás  Hinduk – kb. 600-tól alkalmazzák a helyiértékes leírást.  Az indiai számjelek számjegyekké fejlődését könnyítette, hogy nem voltak összetett jelek.  A helyiérték fogalmát valószínűleg Mezopotámiából vették át.  Kínai hatás látszik (nagyságrend jelölése)

11 kínai

12 Számrendszerek  A tetszőleges természetes szám, g>0 természetes szám, A=a n g n +a n-1 g n-1 +…+a 2 g 2 +a 1 g 1 +a 0 156=1* * *10 0= =1*125+1*25+5+1=1*5 3 +1*5 2 +1*5 1 +1*5 0 = =1*128+0*64+0*32+1*16+1*8+1*4+0*2+1*0= 1*2 7 +0*2 6 +0*2 5 +1*2 4 +1*2 3 +1*2 2 +0*2 1 +0*2 0 =

13 ÁTÍRÁS 10-ESBŐL  Kettes számrendszerbe  29 a tízes számrendszerben  Kettő hatványok:  29:16=1, marad 13  13:8=1, marad 5  5:4=1, marad 1  1:2 0, marad 1  1:1 1 

14 Jelrendszer  0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F,…  Kettes számrendszer: 0,1  Hármas számrendszer: 0,1,2  ….  Nyolcas számrendszer: 0,1,2,3,4,5,6,7  ….  16-os számrendszer: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F

15 Számjegyek (1-9) átírása tízesketteshármasHetes

16 Visszaírás 10-es számrendszerbe a kettes számrendszerből a kettes számrendszerben  1*32+1*16+0*8+1*4+ 1*2+1*1=55  kettes  1*64+1*16+1=81 tízes számrendszer

17 Visszaírás 3-as számrendszerből tízesbe   1*27+2*9+2=47  hármas számrendszerben  2*81+1*27+1*9+2*3=  204 tízes számrendszerben

18 Műveletek 2-es számrendszerben  Összeadás =  Szorzás 1011* *

19 Egész számok  Ahhoz, hogy a kivonás is korlátlanul elvégezhető legyen, a természetes számok halmazát bővítenünk kell a negatív egész számok halmazával. Ekkor kapjuk az egész számok halmazát.  Az egész számok halmazelméleti jelölése: Z  Z={...-3; -2; -1; 0; 1; 2; 3...}

20 Racionális számok  Azokat a számokat, amelyeket felírhatjuk két egész szám hányadosaként, racionális számoknak nevezzük. (a racionális latin szó, itt most azt jelenti, hogy arányként felírható)  Természetesen az egész számok racionális számok. (Az osztó az 1.)  A racionális számok halmazelméleti jele: Q.

21 Tizedes törtek  A racionális számokat felírhatjuk tizedes tört alakban is.  A tizedes törtek lehetnek  véges tizedes törtek  szakaszos tizedes törtek (tiszta szakaszos, vegyes szakaszos tizedes törtek)  A tizedes törteknek végtelen, nem szakaszos formája is van, ezek nem képezhetők két egész szám hányadosaként, ez a forma egy újabb számhalmaz tizedes tört alakja.  Az alakú racionális szám, akkor és csak akkor írható fel tiszta szakaszos tizedes tört alakban ha (b;10)=1 (azaz b és a 10 legnagyobb közös osztója az 1)

22 Irracionális számok  Azokat a számokat, amelyek nem írhatók fel két egész szám hányadosaként irracionális számoknak nevezzük.  Az irracionális számok halmazelméleti jelölése: Q*  A nem szakaszos végtelen tizedes törtek irracionális számok.

23 Indirekt bizonyítás Tétel: irracionális szám a √2  Bizonyítás:  Indirekt bizonyítás lényege: ha az állítás tagadásáról kimutatjuk, hogy hamis, akkor az állítás igaz.  Tegyük fel, hogy √2 racionális szám, azaz van p, q egész, hogy p/q alakban felírható

24 számosság  Véges - végtelen  Megszámlálható végtelen – természetes számok, racionális számok  1/1 2/1 3/1 4/1 5/1 6/1 7/1 8/1 9/1….  ½ 2/2 3/2 4/2 5/2 6/2 7/2 8/2 9/2….  1/3 2/3 3/3 4/3 5/3 6/3 7/3 8/3 9/3….  ¼ 2/4 ¾ 4/4 5/4 6/4 7/4 8/4 9/4….  1/5 2/5 3/5 4/5 5/5 6/5 7/5 8/5 9/5….  Nem megszámlálható

25 függvények  A leképezések típusai:  Egy-egyértelmű leképezés – kölcsönösen egyértelmű leképezés - minden a-nak egy b képe van és viszont.  Több a-hoz egy b tartozik (gyerek →életkor függvény, de az életkor →gyerek leképezés nem függvény)  Egy a-hoz több b tartozik – nem függvény  Függvény – A egyértelmű leképezése B-re

26 „szabály játék”  A szabály felismerése  A szabály alkalmazása  Példák  Y=x

27 Mérés- grafikon az óvodában  Csapadék mérése: állandó edény és rudacska

28 Szerzők, versek A={költők}, B={versek}  Wass Albert  Arany János  Petőfi Sándor  Kányádi Sándor  Móra Ferenc  Valaki jár a fák hegyén  Szeressétek az iskolát  Feltámadott a tenger  Családi kör  Üzenet haza  Toldi  János vitéz

29 leképezések  Költő→vers leképezés  vers→költő (leképezés - függvény)  AxB={minden(vers, költő)} értelmezési tartomány  T={igaz, hamis}  F: AxB→T logikai függvény

30 Inverz függvény  Csak kölcsönösen egyértelmű leképezés esetén tudjuk értelmezni.  Vizsgáljuk meg a versek és szerzők egymáshoz rendelését!  Vers --- szerző (egy versnek egy szerzője van)  Szerző --- vers (egy szerző több verset is írt.)

31 feladat  Gesztenyét gyűjtünk egy nagy kosárba, és bevisszük a gyerekekkel a csoportszobába.  Veszünk (készítünk) olyan dobozokat, melyek egymásba rakhatók.  kettesével lehet egy nagyobb dobozt készíteni  Két kisebb dobozt egy nagyobb dobozba be lehet rakni.

32 Kettes számrendszer 

33 Hármas számrendszer  A fenti eljárással tegyük be a gesztenyéket a dobozokba, 3-3 db-ot egy dobozba.  Ha a dobozok hármasával rakhatók egymásba, akkor a 23 gesztenye elrakásához kell  Két kilences, azaz kétszer háromszor hármas doboz,  Egy hármas és kívül marad 2  23=2*9+1*3+2, 212 3


Letölteni ppt "Számrendszerek óvodapedagógusoknak. A természetes számok fogalmának halmazelméleti megközelítése  Legyen a halmazok egy rendszerére jellemző, hogy "

Hasonló előadás


Google Hirdetések