Az előadás letöltése folymat van. Kérjük, várjon

Az előadás letöltése folymat van. Kérjük, várjon

A Boltzmann-egyenlet megoldása nem-egyensúlyi állapotban Amennyiben S az egyensúlyi helyzethez közeli állapotban van, feltehető, hogy lokális egyensúly.

Hasonló előadás


Az előadások a következő témára: "A Boltzmann-egyenlet megoldása nem-egyensúlyi állapotban Amennyiben S az egyensúlyi helyzethez közeli állapotban van, feltehető, hogy lokális egyensúly."— Előadás másolata:

1 A Boltzmann-egyenlet megoldása nem-egyensúlyi állapotban Amennyiben S az egyensúlyi helyzethez közeli állapotban van, feltehető, hogy lokális egyensúly áll fenn minden pontban: A lokális egyensúly pedig abból áll, hogy n,  és u függ a helytől és az időtől. Mivel a fenti átlagok v-től függetlenek Fizikai értelemben Matematikai értelemben viszont Erre bevezetjük a D operátort

2 Ha a lokális egyensúly fennáll, akkor az előző egyenlet jobbol- dala “kis szám”. Ebből viszont az következik, hogy a bevezetett helyfüggő átlagmennyiségek közelítőleg kiegyenlítik az egyen- súlyi állapotra levezetett mérlegegyenletet. Ehhez értékeljük ki a lokális hőáramot és a nyomást: Ez utóbbit vessük össze a nyomás definíciójával:

3 A Boltzmann-eloszlásban öt szabad állandó van, ezek kifejez- hetőek a lokális (sebességekre vonatkozó) momentumokkal. Nézzük a nyomástenzor elemeit: Mivel Ami egy összefüggés a lokális hőmérséklet, nyomás és részecske- szám között-lokális egyensúly feltételezése mellett.

4 A vizsgált közelítésben a mérlegegyenletek: Következtetés: sohasem áll be az egyensúly!!! (az anyag- és energia áramok nem csökkennek az idővel) Ezzel a 0. rendű közelítés tárgyalását befejeztük.

5 Az első és harmadik egyenletből következik, hogy egy áramvonal Mentén csak adiabatikus folyamat mehet végbe. Írjuk az első és Harmadik egyenlet az alábbi alakba: Itt beírtam, hogy c v =3/2. A két egyenletet összeadjuk és felhasználjuk az alábbi összefüggést: P=  /m, amivel Megmutatható, hogy a sűrűség is, a nyomás is kielégít egy lineáris hullámegyenletet, azaz, nincs gyengítés.

6 Az első-rendű közelítésben feltesszük, hogy Első lépésként kiszámítjuk az ütközési integrált (g 2 elhagyásával): A második tag részletezve:

7 Amivel a Botzmann-féle transzportegyenlet így írható: Amennyiben g<

8 A, Hilbert módszere Az előzőekben bemutatott közelítések ad hoc jellegűek. Kívá- natos egy szisztematikus és általános módszer kidolgozása. Ez egyben leírja, hogyan kapcsolódik a molekulák dinamikája (a transzportelmélet) a gáz vagy folyadék egészének viselkedéséhez. Jelölés: az ütközési integrálra bevezetjük a jelölést, explicit módon kifejezve, hogy az ütközési integrál nem lineáris. A megoldandó egyenletben az ütközési integrálba becsem- pésszük a dimenziótlan  paramétert, ami a szabad úthosszt méri alkalmas egységekben. A megoldandó egyenlet:

9 Mivel D-ben van idő szerinti deriválás ezért kell kezdeti felté- tel, aminek súlya a megoldásban  =t/  időállandóval expo- nenciálisan csökken. A hely szerinti deriválás miatt egy véges közeg határán peremfeltételt kell előírni. A peremfeltétel súlya a megoldásban a felülettől távolodva csökken. Nyomáshullámok esetén ,  és u szakadásos függvény lehet. Az említett tranziens jelenségek leírásához is szükség van egy pontos elméletre. Keressük a megoldást alakban.

10 A keresett forma egy fajta aszimptotikus sorfejtés. Az első három egyenlet: Az első egyenlet adja az egyensúlyi megoldást. Bevezetjük az L lineáris operátort: Jelölje N az L operátor nullterét, amit a megmaradó mennyiségek és az egyensúlyi megoldás meghatároznak:  i f 0 (r,v,t) egy bázis az N térben, itt i=1,…,4 a megmaradó mennyiségeknek megfelelően.

11 Bevezetjük az N -térre vetítő P projektor operátort. Jelölje R az L operátor értékkészletét, R -ben olyan  függvények találhatóak, amelyekre: i=1,…,4. Azaz, az R térbeli függvények nem adnak járulékot a megmaradó mennyiségekhez. A megoldás minden komponensét felbontjuk egy N -beli  -re és egy R -beli  -re:  n -a hidrodinamikai komponens,  n -a kinetikus vagy transzport komponens, továbbá a hidrodinamikai komponens kifejezhető az egyensúlyi állapothoz tartozó megoldással. Ebben szerepelnek a (  n, u n,  n ) ismeretlen függvények.

12 Most visszatérünk az egyenletek megoldásához. Az egyenletek alakja: L  n =q n. Ez a Fredholm alternatíva szerint akkor oldható meg, ha a forrás ortogonális a homogén egyenletre. A megoldást egyszerűen L inverzével (tehát csak formálisan) fogjuk felírni: Egyenlet f 0 -ra Forrásos egyenlet  1 -re Forrásos egyenlet  1 -re Forrásos egyenlet  2 -re Forrásos egyenlet  2 -re

13 Célszerű a hidrodinamikai tagot az alábbi alakban keresni: Ne felejtsük el, hogy a P projektor az 5 megmaradó mennyiségnek megfelelően 5 integrál eltűnését adja meg. Ezért az első sárga egyenlet 5 csatolt diff. egyenletet jelent, amit meg lehet oldani (  0, u 0,  0 )-ra. A második sárga egyenlet újra 5 csatolt diff. Egyen- letet jelent (  1, u 1,  1 ) -re, stb. A két fekete egyenlet lokális (L csak a sebességekre hat) az r és t változókban. Peremfeltételek és kez- deti értékek.

14 B, Chapman-Enskog módszer Tekintsük a Hilbert- módszer sárga egyenleteit és a forrástagok- ban vegyük figyelembe az  -ban magasabb rendű tagokat is, pontosabban: a keresett függvény legyen f n az első egyenlet baloldalához társítsuk a második egyenlet jobboldalát, és írjuk ki, hogy az  -rendű. Ezt ismételjük meg a második és harmadik sárga egyenlettel. A kapott egyenletek:

15 Az első egyenlet a Navier-Stokes egyenletrendszer amiből  0,  0, u 0 meghatározható: Hővezetési eh viszkozitás nyomástenzor

16 A Hilbert-módszernek és a Chapman-Enskog egyenleteknek több változata is használatos. Az itt megadott változat megtalálható: J. Fertziger, H. Kaper: Mathematical Theory of Transport Processes in Gases, North-Holland, Amsterdam, 1972 A sorfejtésben szereplő  paraméter egyik értelmezése: Knudsen-szám:

17 C, Az ütközési integrál linearizálása Tekintsünk egy ritka gázt, nem távol az egyensúlyi állapotától. Ekkor a sűrűségfüggvény jó közelítéssel: Ahol a második tag kicsi, a négyzete elhagyható.

18 Ez a lineárizált Boltzmann-egyenlet. A részecskék közötti poten- ciálból kiszámítható . A neutrontranszporthoz hasonló alakra hozva: Az első tag divergál, ha a potenciál alakú. Ezért fel szokás tételezni, hogy a potenciál egy távolság után “levág”. Az s kitevőtől függ, hogy az ütközési sűrűség hogyan változik a sebességgel. Néhány egyéb lineáris ütközési integrál

19 Diffúzió közegben Kollektív jelenségek Amennyiben a makroszkópikus hkrm független a fázistérbeli sűrűségtől az egyenlet lineáris. Jellemzően nemlineáris

20 A szerkezetvizsgálat többnyire lassú (termikus) neutronokkal történik. Van Hove kimutatta, hogy ebben az esetben a szórás magfüggvénye két részből áll: G(r,t)d 3 r--annak val.sége, hogy amennyiben egy neutron található az origóban t=0-kor, akkor egy másik mag található t-kor az r körüli d 3 r-ben. G s (r,t)d 3 r--annak val.sége, hogy amennyiben egy neutron található az origóban t=0-kor, akkor egy másik, ugyanolyan mag található t-kor az r körüli d 3 r-ben.

21 A termikus neutron tehát nem egyes atomokról szóródik, hanem csoportokról, aggregátumokról. Ennek tömege a neutron tömegé- nek sokszorosa, ezért rugalmas szóráskor energiaváltozás lényegében nincs. Ezért a következő szórástípusok lehetségesek: rugalmas, inkoherens szórás rugalmatlan inkoherens szórás rugalmas koherens szórás rugalmatlan koherens szórás. inkoherens koherens

22 Töltött részecskék transzportja Az elektron az elektronhéjjal is, a maggal is kcshat. A kschatás távolsága elvileg végtelen. Következmény: lényegében folytonos, gyenge kcshatás (elektronoktól), időnként lórúgás-szerű kcshatás magoktól. A lineáris Boltzmann-egyenletben nem ismertek a mag- függvények, ezért a Monte-Carlo módszer használatos. Foton transzport A kcshatás erősen függ a foton energiájától, ezért a szórás erősen nemlineáris. A makroszkópikus hkrm folytonos függvénye a helynek, ahogyan az összetétel változik. A szabadúthossz erősen függ a hullámhossztól.


Letölteni ppt "A Boltzmann-egyenlet megoldása nem-egyensúlyi állapotban Amennyiben S az egyensúlyi helyzethez közeli állapotban van, feltehető, hogy lokális egyensúly."

Hasonló előadás


Google Hirdetések