Az előadás letöltése folymat van. Kérjük, várjon

Az előadás letöltése folymat van. Kérjük, várjon

LEÍRÓ STATISZTIKA II. Gazdaságstatisztika 3. előadás 2013. szeptember 18.

Hasonló előadás


Az előadások a következő témára: "LEÍRÓ STATISZTIKA II. Gazdaságstatisztika 3. előadás 2013. szeptember 18."— Előadás másolata:

1 LEÍRÓ STATISZTIKA II. Gazdaságstatisztika 3. előadás szeptember 18.

2 Gazdaságstatisztika 2013 ősz A mennyiségi sorok grafikus ábrázolásának alapját a gyakorisági táblázat készítése jelenti. 1. Osztályba sorolás (folytonos adatok és nagyszámú diszkrét megfigyelés esetén); 2. gyakoriságok (f i ) megállapítása; 3. relatív gyakoriságok (g i ) megállapítása 4. összegzett (kumulált) gyakoriságok (fi’), illetve összegzett relatív gyakoriságok (gi’) megállapítása; 5. gyakorisági táblázat készítése (fi, gi, fi’, gi’ adataiból); 6. gyakorisági (relatív gyakorisági), illetve összegzett gyakorisági (relatív gyakorisági) hisztogramok (folytonos adatok esetén a poligon és az ogiva) felvétele (tapasztalati eloszlások elkészítése); 7. grafikus ábrázolás 2 Adatok csoportosítása, osztályozása

3 Gazdaságstatisztika 2013 ősz Leállások száma Gyakoriság (f i ) Relatív gyakoriság (g i ) Kumulált gyakoriság (f i ’) Kumulált relatív gyakoriság (g i ’) 030,125 (12,5%) 3 150,208 (20,8%) 80,333 (33,3%) 250,208 (20,8%) 130,541 (54,1%) 340,168 (16,8%) 170,709 (70,9%) 430,125 (12,5%) 200,834 (83,4%) 520,083 (8,3%) 220,917 (91,7%) 620,083 (8,3%) 241,000 (100%) összesen241,000 (100%) 3 Példa – kevés számú diszkrét adat (24 óra alatti gépleállások

4 Gazdaságstatisztika 2013 ősz Adatok ábrázolása: PÁLCIKA DIAGRAM gyakoriságok Relatív gyakoriságok Leállások száma ,2 0,16 0,12 0,08 0, Példa – kevés számú diszkrét adat

5 Gazdaságstatisztika 2013 ősz Kumulált relatív gyakoriság ábrázolása: Kumulált relatív gyakoriságok Leállások száma ,5 5 Példa – kevés számú diszkrét adat

6 Gazdaságstatisztika 2013 ősz Példa – folytonos adat (Bux index) 6 No. osztály Osztály- köz fifi fi’fi’g i [%]g i ’ [%] Alsó határ Felső határ 1.-20%-15%-17,50%222,02% 2.-15%-10%-12,50%9119,09%11,11% 3.-10%-5%-7,50%9209,09%20,20% 4.-5%0%-2,50%234323,23%43,43% 5.0%5%2,50%327532,32%75,76% 6.5%10%7,50%159015,15%90,91% 7.10%15%12,50%8988,08%98,99% 8.15%20%17,50%1991,01%100,00% összesen ,00%

7 Gazdaságstatisztika 2013 ősz 7 Példa – nagy számú folytonos adat GYAKORISÁGI HISZTOGRAM (tapasztalati sűrűségfüggvény) Gyakoriság vonaldiagramja

8 Gazdaságstatisztika 2013 ősz 8 Példa – nagy számú folytonos adat Gyakorisági görbe

9 Gazdaságstatisztika 2013 ősz 9 Példa – nagy számú folytonos adat KUMULÁLT RELATÍV GYAKORISÁG VONALDIAGRAMJA (tapasztalati eloszlásfüggvény) Ogiva

10 Gazdaságstatisztika 2013 ősz Tapasztalati eloszlások jellegzetességei Középérték-mutatók: helyzeti és számított Ingadozásmutatók: abszolút és relatív Alakmutatók Középértékek HelyzetiSzámított Módusz Medián Számtani átlag Mértani átlag Harmonikus átlag Négyzetes átlag Középérték elvárások: 1.Közepes helyzetűek 2.Tipikusak 3.Egyértelműen meghatározhatóak 4.Lehetőleg könnyen értelmezhetőek 10

11 Gazdaságstatisztika 2013 ősz Medián Helyzeti középérték – valódi középérték, a rangsor közepén található: az az érték, amelynél az előforduló értékek fele kisebb, fele pedig nagyobb  Páratlan számú adatnál a középső  Páros számú adatnál a két középső érték számtani átlaga Mindig meghatározható Érzéketlen a szélsőértékekre, és nem függ a többi ismérvértéktől sem Sok egyforma ismérvérték esetén azonban nem tanácsos használni ,5 11 ha

12 Gazdaságstatisztika 2013 ősz 12 Medián – diszkrét példa Leállások száma Gyakoriság (f i ) Relatív gyakoriság (g i ) Kumulált gyakoriság (f i ’) Kumulált relatív gyakoriság (g i ’) 030,125 (12,5%) 3 150,208 (20,8%) 80,333 (33,3%) 250,208 (20,8%) 130,541 (54,1%) 340,168 (16,8%) 170,709 (70,9%) 430,125 (12,5%) 200,834 (83,4%) 520,083 (8,3%) 220,917 (91,7%) 620,083 (8,3%) 241,000 (100%) összesen241,000 (100%) Páros számú adat esetén a rangsor két középső számának átlaga: a 12. és 13. adat értéke is 2, így a medián értéke 2

13 Gazdaságstatisztika 2013 ősz Medián – folytonos példa ,778%-10,216%-4,881%-2,950%-0,414%1,152%2,533%4,021%6,182%10,053% -15,731%-7,927%-4,857%-2,902%-0,402%1,320%2,808%4,223%6,280%10,292% -13,671%-7,188%-4,360%-2,616%-0,057%1,698%2,883%4,480%6,368%10,699% -12,454%-6,569%-3,817%-2,173%0,111%1,836%2,963%4,667%6,599%10,947% -12,233%-6,192%-3,696%-2,072%0,196%1,946%3,112%4,917%7,427%11,520% -11,464%-6,113%-3,634%-1,857%0,222%1,999%3,185%5,203%7,997%12,038% -11,369%-6,110%-3,433%-1,713%0,385%2,072%3,276%5,398%8,200%13,104% -11,159%-5,564%-3,304%-1,247%0,606%2,119%3,343%5,447%8,234%14,878% -11,116%-5,170%-3,210%-0,669%0,764%2,161%3,616%5,612%8,298%15,066% -10,735%-5,098%-2,963%-0,505%1,132%2,372%3,986%5,956%8,558% Páratlan számú adat esetén a rangsor középső tagja: ez a rangsor 50. tagja (ennél 49 kisebb és 49 nagyobb érték fordul elő)

14 Gazdaságstatisztika 2013 ősz 14 Medián becslése No. osztály Osztály- köz fifi fi’fi’g i [%]g i ’ [%] Alsó határ Felső határ 1.-20%-15%-17,50%222,02% 2.-15%-10%-12,50%9119,09%11,11% 3.-10%-5%-7,50%9209,09%20,20% 4.-5%0%-2,50%234323,23%43,43% 5.0%5%2,50%327532,32%75,76% 6.5%10%7,50%159015,15%90,91% 7.10%15%12,50%8988,08%98,99% 8.15%20%17,50%1991,01%100,00% összesen ,00% me annak a legelső osztályköznek a sorszáma, amelyre igaz, hogy A mediánt tartalmazó osztály bal végpontja. A mediánt tartalmazó osztály hossza.

15 Gazdaságstatisztika 2013 ősz Módusz Helyzeti középérték – tipikus Diszkrét ismérv esetén a leggyakrabban előforduló ismérvérték Folytonos ismérv esetén pedig a gyakorisági görbe maximumhelye Nem mindig határozható meg egyértelműen, nem mindig létezik Érzéketlen a szélsőértékekre, nem függ a többi ismérvértéktől sem Becslése bizonytalan Nyers módusz 15

16 Gazdaságstatisztika 2013 ősz Módusz – diszkrét példa 16 Leállások száma Gyakoriság (f i ) Relatív gyakoriság (g i ) Kumulált gyakoriság (f i ’) Kumulált relatív gyakoriság (g i ’) 030,125 (12,5%) 3 150,208 (20,8%) 80,333 (33,3%) 250,208 (20,8%) 130,541 (54,1%) 340,168 (16,8%) 170,709 (70,9%) 430,125 (12,5%) 200,834 (83,4%) 520,083 (8,3%) 220,917 (91,7%) 620,083 (8,3%) 241,000 (100%) összesen241,000 (100%) Nem határozható meg egyértelműen, célszerű más középérték mutatót is számítani. A gyakorisági sorban egynél több kiugró gyakoriság fordul elő.

17 Gazdaságstatisztika 2013 ősz Módusz – folytonos példa 17 Folytonos esetben a legnagyobb gyakoriságú osztály tartalmazza.

18 Gazdaságstatisztika 2013 ősz 18 Módusz becslése No. osztály Osztály- köz fifi fi’fi’g i [%]g i ’ [%] Alsó határ Felső határ 1.-20%-15%-17,50%222,02% 2.-15%-10%-12,50%9119,09%11,11% 3.-10%-5%-7,50%9209,09%20,20% 4.-5%0%-2,50%234323,23%43,43% 5.0%5%2,50%327532,32%75,76% 6.5%10%7,50%159015,15%90,91% 7.10%15%12,50%8988,08%98,99% 8.15%20%17,50%1991,01%100,00% összesen ,00% mo a legnagyobb gyakoriságú osztály(ok) sorszáma A móduszt tartalmazó osztály bal végpontja. A móduszt tartalmazó osztály hossza.

19 Gazdaságstatisztika 2013 ősz Számtani átlag Az a szám, amellyel az átlagolandó számértékeket helyettesítve azok összege változatlan marad Leggyakrabban használt középérték Meghatározható gyakorisági sorból is a gyakoriságokkal súlyozva Számított középérték-mutató Bármely alapadathalmazból egyértelműen meghatározható Minden alapadatot felhasznál Érzékeny a szélsőértékekre  Nyesett átlag 19 min.,ha

20 Gazdaságstatisztika 2013 ősz Számtani átlag –diszkrét példa Leállások száma óránként Előfordulások gyakorisága (f i ) Relatív gyakoriság (g i ) 030, , , , , összesen241,000 20

21 Gazdaságstatisztika 2013 ősz 21 Számtani átlag – folytonos példa -15,778%-10,216%-4,881%-2,950%-0,414%1,152%2,533%4,021%6,182%10,053% -15,731%-7,927%-4,857%-2,902%-0,402%1,320%2,808%4,223%6,280%10,292% -13,671%-7,188%-4,360%-2,616%-0,057%1,698%2,883%4,480%6,368%10,699% -12,454%-6,569%-3,817%-2,173%0,111%1,836%2,963%4,667%6,599%10,947% -12,233%-6,192%-3,696%-2,072%0,196%1,946%3,112%4,917%7,427%11,520% -11,464%-6,113%-3,634%-1,857%0,222%1,999%3,185%5,203%7,997%12,038% -11,369%-6,110%-3,433%-1,713%0,385%2,072%3,276%5,398%8,200%13,104% -11,159%-5,564%-3,304%-1,247%0,606%2,119%3,343%5,447%8,234%14,878% -11,116%-5,170%-3,210%-0,669%0,764%2,161%3,616%5,612%8,298%15,066% -10,735%-5,098%-2,963%-0,505%1,132%2,372%3,986%5,956%8,558%

22 Gazdaságstatisztika 2013 ősz 22 Számtani átlag – folytonos példa No. osztály Osztály- köz fifi fi’fi’g i [%]g i ’ [%] Alsó határ Felső határ 1.-20%-15%-17,50%222,02% 2.-15%-10%-12,50%9119,09%11,11% 3.-10%-5%-7,50%9209,09%20,20% 4.-5%0%-2,50%234323,23%43,43% 5.0%5%2,50%327532,32%75,76% 6.5%10%7,50%159015,15%90,91% 7.10%15%12,50%8988,08%98,99% 8.15%20%17,50%1991,01%100,00% összesen ,00%

23 Gazdaságstatisztika 2013 ősz Harmonikus átlag A harmonikus átlag az a szám, amellyel az átlagolandó értékeket helyettesítve azok reciprokainak összege változatlan marad. 23 Mértani átlag A mértani átlag az a szám, amellyel az átlagolandó értékeket helyettesítve azok szorzata változatlan marad.

24 Gazdaságstatisztika 2013 ősz Négyzetes átlag Az a szám, amellyel az átlagolandó értékeket helyettesítve, azok négyzetösszege változatlan marad Tipikus alkalmazási területe a szórásszámítás 24 Választás a középértékek között

25 Gazdaságstatisztika 2013 ősz Választás a középértékek között Módusz, medián, számtani átlag? Melyiket használjuk?  Egyértelműen meghatározható-e?  Az összes rendelkezésre álló adattól függ-e vagy sem?  Mennyire érzékeny a szélsőségesen nagy vagy kicsi értékekre?  Mekkora és milyen módon értelmezhető hibával képes helyettesíteni az alapadatokat? 25

26 Gazdaságstatisztika 2013 ősz Választás a középértékek között Medián  Egyértelműen meghatározható, mindig létezik  Ha sok az egyforma ismérvérték, akkor nem tanácsos használni  Nem függ sem az összes értéktől, sem a szélsőséges értékektől Módusz  Nem mindig határozható meg egyértelműen, nem is mindig létezik  Becslése bizonytalan (függ az osztályok kialakításától)  Nem függ sem az összes értéktől, sem a szélsőséges értékektől Számtani átlag  Bármely alapadathalmazból egyértelműen meghatározható, minden alapadatot felhasznál, mindig létezik  Érzékeny a szélsőséges értékekre  nyesett átlag  Nem feltétlen tipikus érték 26

27 Gazdaságstatisztika 2013 ősz Kvantilisek Eddig egyenlő osztályköz-hosszúságú gyakorisági sorokat képeztünk, amelyeknek eltért a relatív gyakorisága. A kvantilisek olyan „osztópontok”, amelynek segítségével a növekvő sorrendbe állított adataink egyenlő gyakoriságú osztályokra bonthatóak Jelölése: X i/k  i-edik k-ad rendű kvantilis: az a szám, amelynél az összes előforduló ismérvérték i/k-ad része kisebb, (1-i/k)-ad része pedig nagyobb (i=1,..,k-1 és k>=2) A rangsor s i/k. tagja Értéke 27 Gazdaságstatisztika 2013 ősz

28 Gazdaságstatisztika 2013 ősz A legfontosabb kvantilisek kElnevezésÁltalános jelölés i lehetséges értéke Lehetséges kvantilisek 2Medián-1Me 4KvartilisQiQi 1,2,3Q 1, Q 2, Q 3 5KvintilisKiKi 1,2,3,4,K 1, K 2, K 3, K 4 10DecilisDiDi 1,2,…,9D 1, D 2, … D 9 100PercentilisPiPi 1,2,…,99P 1, P 2, …,P 99 28

29 Gazdaságstatisztika 2013 ősz Kvantilisek meghatározása – folytonos példa ,78%21.-4,88%41.-0,41%61.2,53%81.6,18% 2.-15,73%22.-4,86%42.-0,40%62.2,81%82.6,28% 3.-13,67%23.-4,36%43.-0,06%63.2,88%83.6,37% 4.-12,45%24.-3,82%44.0,11%64.2,96%84.6,60% 5.-12,23%25.-3,70%45.0,20%65.3,11%85.7,43% 6.-11,46%26.-3,63%46.0,22%66.3,19%86.8,00% 7.-11,37%27.-3,43%47.0,39%67.3,28%87.8,20% 8.-11,16%28.-3,30%48.0,61%68.3,34%88.8,23% 9.-11,12%29.-3,21%49.0,76%69.3,62%89.8,30% ,74%30.-2,96%50.1,13%70.3,99%90.8,56% ,22%31.-2,95%51.1,15%71.4,02%91.10,05% 12.-7,93%32.-2,90%52.1,32%72.4,22%92.10,29% 13.-7,19%33.-2,62%53.1,70%73.4,48%93.10,70% 14.-6,57%34.-2,17%54.1,84%74.4,67%94.10,95% 15.-6,19%35.-2,07%55.1,95%75.4,92%95.11,52% 16.-6,11%36.-1,86%56.2,00%76.5,20%96.12,04% 17.-6,11%37.-1,71%57.2,07%77.5,40%97.13,10% 18.-5,56%38.-1,25%58.2,12%78.5,45%98.14,88% 19.-5,17%39.-0,67%59.2,16%79.5,61%99.15,07% 20.-5,10%40.-0,51%60.2,37%80.5,96%

30 Gazdaságstatisztika 2013 ősz Ingadozásmutatók Osztályozásuk:  Kitüntetett értéktől vett eltérés vagy egymástól vett eltérés  Abszolút vagy relatív terjedelem átlagos abszolút különbség átlagos abszolút eltérés szórás relatív szórás 30

31 Gazdaságstatisztika 2013 ősz 31 Terjedelemmutatók 1.-15,78%21.-4,88%41.-0,41%61.2,53%81.6,18% 2.-15,73%22.-4,86%42.-0,40%62.2,81%82.6,28% 3.-13,67%23.-4,36%43.-0,06%63.2,88%83.6,37% 4.-12,45%24.-3,82%44.0,11%64.2,96%84.6,60% 5.-12,23%25.-3,70%45.0,20%65.3,11%85.7,43% 6.-11,46%26.-3,63%46.0,22%66.3,19%86.8,00% 7.-11,37%27.-3,43%47.0,39%67.3,28%87.8,20% 8.-11,16%28.-3,30%48.0,61%68.3,34%88.8,23% 9.-11,12%29.-3,21%49.0,76%69.3,62%89.8,30% ,74%30.-2,96%50.1,13%70.3,99%90.8,56% ,22%31.-2,95%51.1,15%71.4,02%91.10,05% 12.-7,93%32.-2,90%52.1,32%72.4,22%92.10,29% 13.-7,19%33.-2,62%53.1,70%73.4,48%93.10,70% 14.-6,57%34.-2,17%54.1,84%74.4,67%94.10,95% 15.-6,19%35.-2,07%55.1,95%75.4,92%95.11,52% 16.-6,11%36.-1,86%56.2,00%76.5,20%96.12,04% 17.-6,11%37.-1,71%57.2,07%77.5,40%97.13,10% 18.-5,56%38.-1,25%58.2,12%78.5,45%98.14,88% 19.-5,17%39.-0,67%59.2,16%79.5,61%99.15,07% 20.-5,10%40.-0,51%60.2,37%80.5,96%

32 Gazdaságstatisztika 2013 ősz Átlagos abszolút különbség (G) Az átlagos abszolút különbség a minden lehetséges módon párba állított ismérvértékek különbségeinek abszolút értékéből számított számtani átlag. Azt mutatja meg, hogy az X ismérv értékei átlagosan mennyire különböznek egymástól. Felhasználási területe: koncentrációelemzés Az 5 hallgató zh-n elért pontja átlagosan 25,8 ponttal tér el egymástól.

33 Gazdaságstatisztika 2013 ősz Átlagos abszolút eltérés (Δ) Az átlagos abszolút eltérés az egyes ismérvértékek és a számtani átlag különbségeinek abszolút értékeiből számított számtani átlag. Súlyozott formula: 33 leállások száma óránként az előfordulások gyakorisága összesen24 A gépleállások átlagosan 1,503-al térnek el az átlagtól.

34 Gazdaságstatisztika 2013 ősz 34 Átlagos abszolút eltérés (Δ) No. osztály Osztály- köz fifi fi’fi’g i [%]g i ’ [%] Alsó határ Felső határ 1.-20%-15%-17,50%222,02% 2.-15%-10%-12,50%9119,09%11,11% 3.-10%-5%-7,50%9209,09%20,20% 4.-5%0%-2,50%234323,23%43,43% 5.0%5%2,50%327532,32%75,76% 6.5%10%7,50%159015,15%90,91% 7.10%15%12,50%8988,08%98,99% 8.15%20%17,50%1991,01%100,00% összesen ,00% Az egyes hozamadatok átlagosan 6,213%-kal térnek el az átlagtól.

35 Gazdaságstatisztika 2013 ősz Tapasztalati szórás abszolút érték helyett négyzetre emelés és gyökvonás A szórás az egyes X i ismérvértékek átlagtól vett d i eltéréseinek négyzetes átlaga. Azt mutatja, hogy az egyes értékek átlagosan mennyire térnek el a számtani átlagtól. Olyan átlagos hibaként is felfogható, amit akkor követünk el, ha minden adatot a számtani átlaggal helyettesítünk. Csak akkor 0, ha minden ismérvérték egyenlő. Érzékeny a kiugró értékekre. 35

36 Gazdaságstatisztika 2013 ősz Korrigált tapasztalati szórás 36 A szórás torzítatlan becsléssel a becslés a szóban forgó paraméterérték körül ingadozzék. a becslés (az illető statisztika) várható értéke éppen a megfelelő paraméterérték legyen. a korrigált tapasztalati szórásnégyzet várható értéke az elméleti varianciával egyenlő, a tapasztalati szórásnégyzet az elméleti variancia torzított becslése

37 Gazdaságstatisztika 2013 ősz 37 Tapasztalati szórás leállások száma óránként az előfordulások gyakorisága összesen24 Az óránkénti leállások száma 1,779 db-bal tér el az átlagtól.

38 Gazdaságstatisztika 2013 ősz 38 Tapasztalati szórás 1.-15,78%21.-4,88%41.-0,41%61.2,53%81.6,18% 2.-15,73%22.-4,86%42.-0,40%62.2,81%82.6,28% 3.-13,67%23.-4,36%43.-0,06%63.2,88%83.6,37% 4.-12,45%24.-3,82%44.0,11%64.2,96%84.6,60% 5.-12,23%25.-3,70%45.0,20%65.3,11%85.7,43% 6.-11,46%26.-3,63%46.0,22%66.3,19%86.8,00% 7.-11,37%27.-3,43%47.0,39%67.3,28%87.8,20% 8.-11,16%28.-3,30%48.0,61%68.3,34%88.8,23% 9.-11,12%29.-3,21%49.0,76%69.3,62%89.8,30% ,74%30.-2,96%50.1,13%70.3,99%90.8,56% ,22%31.-2,95%51.1,15%71.4,02%91.10,05% 12.-7,93%32.-2,90%52.1,32%72.4,22%92.10,29% 13.-7,19%33.-2,62%53.1,70%73.4,48%93.10,70% 14.-6,57%34.-2,17%54.1,84%74.4,67%94.10,95% 15.-6,19%35.-2,07%55.1,95%75.4,92%95.11,52% 16.-6,11%36.-1,86%56.2,00%76.5,20%96.12,04% 17.-6,11%37.-1,71%57.2,07%77.5,40%97.13,10% 18.-5,56%38.-1,25%58.2,12%78.5,45%98.14,88% 19.-5,17%39.-0,67%59.2,16%79.5,61%99.15,07% 20.-5,10%40.-0,51%60.2,37%80.5,96% Az egyes hozamadatok átlagosan 6,77%-kal, illetve 6,806%-kal térnek el az átlagtól.

39 Gazdaságstatisztika 2013 ősz 39 Tapasztalati szórás No. osztály Osztály- köz fifi fi’fi’g i [%]g i ’ [%] Alsó határ Felső határ 1.-20%-15%-17,50%222,02% 2.-15%-10%-12,50%9119,09%11,11% 3.-10%-5%-7,50%9209,09%20,20% 4.-5%0%-2,50%234323,23%43,43% 5.0%5%2,50%327532,32%75,76% 6.5%10%7,50%159015,15%90,91% 7.10%15%12,50%8988,08%98,99% 8.15%20%17,50%1991,01%100,00% összesen ,00%

40 Gazdaságstatisztika 2013 ősz Relatív szórás Különböző mértékegységű sorozatok szóródásának összehasonlítására pozitív értékű ismérvekre! az ismérvértékek átlagtól vett átlagos relatív eltérése Nincs mértékegysége! Minél kisebb az értéke, a számtani átlag annál jobb középérték 40 leállások száma óránként az előfordulások gyakorisága összesen24

41 Gazdaságstatisztika 2013 ősz Alakmutatók A gyakorisági eloszlás milyen mértékben tér el az ún. normális eloszlástól Eltérés lehet:  Bal ill. jobb oldali aszimmetria  Csúcsosság vagy lapultság 41

42 Gazdaságstatisztika 2013 ősz Pearson-féle mutatószám Csúcsossági mutató 42 Normális eloszlás esetén értéke 0,263. Minél laposabb, annál nagyobb K értéke. Negatív P esetén jobboldali az aszimmetria (átlag


Letölteni ppt "LEÍRÓ STATISZTIKA II. Gazdaságstatisztika 3. előadás 2013. szeptember 18."

Hasonló előadás


Google Hirdetések