Az előadás letöltése folymat van. Kérjük, várjon

Az előadás letöltése folymat van. Kérjük, várjon

Kiss Ágnes 11. A A háromszögekhez kapcsolódó nevezetes tételek József Attila Gimnázium Alkotópályázat 2001 Felkészítő tanár: Rójáné Oláh Erika.

Hasonló előadás


Az előadások a következő témára: "Kiss Ágnes 11. A A háromszögekhez kapcsolódó nevezetes tételek József Attila Gimnázium Alkotópályázat 2001 Felkészítő tanár: Rójáné Oláh Erika."— Előadás másolata:

1

2 Kiss Ágnes 11. A A háromszögekhez kapcsolódó nevezetes tételek József Attila Gimnázium Alkotópályázat 2001 Felkészítő tanár: Rójáné Oláh Erika

3 A háromszög belső szögeinek összege 180° C B A   ’’ ’’  ‘  A háromszög külső szögeinek összege 360° A háromszög bármely külső szöge egyenlő a nem mellette fekvő két belső szög összegével.  °  ‘  ‘  ‘ = 360 °  ‘ =   ‘  '' 

4 A háromszögben egyenlő oldalakkal szemben egyenlő szögek, nagyobb oldallal szemben nagyobb szög fekszik. A háromszög-egyenlőtlenség: a háromszög bármely két oldalának összege nagyobb, mint a harmadik oldal.

5 A háromszög belső szögfelezői egy pontban metszik egymást. Ez a pont a háromszögbe írható kör középpontja. A háromszög oldalfelezői merőlegesei egy pontban metszik egymást. Ez a pont a háromszög köré írható kör középpontja.

6 A háromszög köré írható kör Középpontja a háromszög oldalfelező merőlegeseinek metszéspontja, mely hegyesszögű háromszög esetén háromszögön belül tompaszögű háromszög esetén háromszögön kívül derékszögű háromszög esetén az átfogó felezőpontjában van. Sugara: r =AO=BO=CO

7 Igazolja, hogy a háromszög oldalainak felező merőlegesei egy pontban metszik egymást!

8 Szerkesszük meg az AB és BC oldalak felező merőlegeseit! A B C f1f1 f2f2 O f 1 ; f 2 az O pontban metszik egymást O rajta van f 1 -n: OA=OB O rajta van f 2 -n: OC=OB OA=OC azaz O rajta van az AC oldalfelező merőlegesén OA=OB OC=OB A háromszög oldalfelező merőlegesei

9 Igazolja, hogy a háromszög belső szögfelezői egy pontban metszik egymást!

10 A háromszög szögfelező egyenesei Bizonyítás: ABC háromszögben meghúzzuk az  és  szög felezőit (f   f   ezek egy pontban metszik egymást (metszéspontjuk: O pont) AB C c ff a ff b ff O  f   ezért d(Oc)=d(Ob)  f   ezért d(Oc)=d(Oa) d(Ob)=d(Oa) Azaz O egyenlő távolságban van a és b oldaltól, tehát rajta van a  szög szögfelezőjén.  

11 A háromszögbe írható kör Az O pont mindhárom oldaltól egyenlő távolságra van, így a háromszögbe írható kör középpontja. Sugara az O pontból valamelyik oldalra bocsátott merőleges szakasz. BA C c ff a ff b ff O   Húzzuk be az  szögek szögfelezőit! Metszéspontjuk az O pont.

12 Bizonyítsuk be, hogy a háromszög magasságvonalai egy pontban metszik egymást!

13 A háromszög magasságvonalai Bizonyítás: ABC háromszög oldalaival húzzunk párhuzamos egyenest a csúcsokon keresztül! A’B’C’ háromszöget kapjuk. Húzzuk be az AB oldalhoz tartozó magasságot: mc mc ! ABA’C paralelogramma AB=A’C A’C=CB’ ABCB’ paralelogramma AB=CB’ Az A’B’C’ háromszögben mc mc merőleges B’A’-re és felezi azt. C‘ A B C B’A’ mcmc c a b mbmb mama AB=A’C AB=CB’

14 A háromszög magasságvonalai Hasonlóan ma ma a B’C’ oldal felező merőlegese és mb mb a C’A’ oldal felező merőlegese Az oldalfelező merőlegesek egy pontban metszik egymást. Az ABC háromszög magasságvonalai egy pontban, a magasságpontban metszik egymást.

15 A háromszög középvonala A háromszög két oldalának felezőpontját összekötő szakaszt a háromszög középvonalának nevezzük. A háromszögnek három középvonala van. A háromszög bármely középvonala párhuzamos a háromszög harmadik oldalával, és hossza fele a harmadik oldal hosszának. AB C F1F1 F2F2 F3F3

16 A háromszög középvonala A’ AB C F D D’ Tükrözzük az ABC háromszöget az F oldalfelező pontra! Húzzunk az F ponton át párhuzamost az AB oldallal! (DD’ szakaszt kapjuk) ABA’C paralelogrammát kaptuk. Bizonyítás: DD’=2DF DD’=AB DF= AB 2 =B’ =C’E E’ Ez az ABA’C paralelogramma középvonala. EE’=2EF EE’=AC EF= AC 2 ED= BC 2

17 Igazolja, hogy a háromszög súlyvonalai egy pontban metszik egymást!

18 A háromszög súlyvonalai Bizonyítás: Kössük össze F1 F1 és F2F2 oldalfelező pontokat! F 1 F 2 az ABC háromszög középvonala: F 1 F 2 párhuzamos AB-vel és F 1 F 2 = AB 2 AB C S F1F1 F2F2 F3F3 G2G2 G1G1 ABS háromszögben G 1 az AS oldal felezőpontja G 2 a BS oldal felezőpontja G 1 G 2 az ABS háromszög középvonala: G 1 G 2 párhuzamos AB-vel és G 1 G 2 = AB 2

19 A háromszög súlyvonalai G 1 G 2 F 1 F 2 paralelogramma, mert G 1 G 2 párhuzamos F 1 F 2 -vel és G 1 G 2 =F 1 F 2 SF 1 =SG 1, mert S a G 1 G 2 F 1 F 2 paralelogramma átlóinak metszéspontja SG 1 =G 1 A, mert G 1 az AS oldal felezőpontja S az AF 1 szakaszt 2:1 arányban osztja Hasonlóan: S a BF 2 szakaszt 2:1 arányban osztja S a CF 3 szakaszt 2:1 arányban osztja S az oldalakhoz közelebbi harmadolópont. AB C S F1F1 F2F2 F3F3 G2G2 G1G1

20 Szögfelező tétel Bármely háromszögben egy belső szög felezője a szemközti oldalt a szomszédos oldalak arányában osztja. Bizonyítsuk be: b AC’ b B C c 180°-   1. Forgassuk el b oldalt A csúcs körül c oldallal egy egyenesbe (C’ csúcs)! 2. C’AC háromszög szögei: 180°-   a   a 1 b a 2 c =   (mert egyenlő szárú háromszög)

21 Szögfelező tétel 3. Húzzuk be az AQ szögfelezőt! 4. CC’ párhuzamos AQ-val (egyállású szögek: CC’A és QAB) 5. B csúcsú szögre írjuk fel a párhuzamos szelők tételét! Ezt akartuk bizonyítani! c a 2 b a 1 =   Q a1a1 b AC’ b B C c 180°-    a2a2    

22 Magasság tétel Bármely derékszögű háromszögben az átfogóhoz tartozó magasság mértani közepe az átfogó két szeletének. BQC háromszög  AQC háromszög (mert szögeik  és derékszög) a megfelelő oldalak aránya egyenlő m 2 =pq m  pq m p = q m c  A B C ab   m  q p.. Húzzuk be a háromszög magasságvonalát!

23 Befogó tétel Derékszögű háromszögben az egyik befogó mértani közepe az átfogón lévő merőleges vetületének és az átfogónak. Bizonyítás: c  A B C ab   m  q p BQC háromszög  ABC háromszög (mert szögeik  és derékszög) a 2 =cp Ugyanígy bizonyítható b-re is. a=  pcb=  qc a=  cp = (a megfelelő oldalak aránya egyenlő) apap caca..


Letölteni ppt "Kiss Ágnes 11. A A háromszögekhez kapcsolódó nevezetes tételek József Attila Gimnázium Alkotópályázat 2001 Felkészítő tanár: Rójáné Oláh Erika."

Hasonló előadás


Google Hirdetések