Az előadás letöltése folymat van. Kérjük, várjon

Az előadás letöltése folymat van. Kérjük, várjon

Az analízis elemeinek alkalmazása egyenletek, szélsőérték feladatok megoldásában, egyenlőtlenségek bizonyításában Ábrahám Gábor Radnóti Miklós Kísérleti.

Hasonló előadás


Az előadások a következő témára: "Az analízis elemeinek alkalmazása egyenletek, szélsőérték feladatok megoldásában, egyenlőtlenségek bizonyításában Ábrahám Gábor Radnóti Miklós Kísérleti."— Előadás másolata:

1 Az analízis elemeinek alkalmazása egyenletek, szélsőérték feladatok megoldásában, egyenlőtlenségek bizonyításában Ábrahám Gábor Radnóti Miklós Kísérleti Gimnázium Szeged

2 Fontosabb definíciók I. Injektív függvény: Ha és esetén, akkor azt mondjuk, hogy f egy- egyértelmű leképezés (injektív leképezés, injekció). Bijektív függvény: Ha egy-egyértelmű és értékkészlete a B halmaz, akkor azt mondjuk, hogy f kölcsönösen egyértelmű leképezést létesít A és B között. Inverz függvény: Ha bijekció, akkor -gyel jelöljük azt a leképezést, amely minden b=f(a) elemhez hozzárendeli a-t. Ezt a leképezést az f függvény inverz függvényének nevezzük.

3 Monoton függvény: Az f függvény monoton növekvő (csökkenő) az halmazon, ha minden esetén ( ). Ha a függvényértékek között nem engedjük meg az egyenlőséget, akkor az f szigorúan monoton növekvő (csökkenő) függvény. Konvex függvény: Az f függvény konvex (konkáv) az értelmezési tartománya I intervallumán, ha bármely esetén. Ha a fenti kifejezésben nem engedjük meg az egyenlőséget, akkor f szigorúan konvex, fordított irányú egyenlőtlenség esettén konkáv, ill. szigorúan konkáv.

4 A konvex függvény definíciójának szemléletes megközelítése 1. lemma: Az f függvény akkor és csak akkor konvex az I intervallumon, ha bármely és 0

5 Jensen-egyenlőtlenség Jensen-tétel: Az f függvény akkor és csak akkor konvex az értelmezési tartománya I intervallumán, ha valahányszor, akkor. Ha nem engedjük meg az egyenlőséget, akkor az f függvény szigorúan konvex. Fordított irányú reláció esetén, pedig konkáv.

6 Még két fontos definíció Függvény pontbeli folytonossága (Heine): Az f függvény legyen értelmezve az a pont valamely környezetében! Az f folytonos az a pontban, ha bármely esetén. Nyílt intervallumon folytonos függvény: Az f függvény folytonos az I nyílt intervallumon, ha annak minden pontjában folytonos.

7 Konvexitás és folytonosság Konvex folyt..ggb 2. lemma: Legyen f konvex az értelmezési tartománya I intervallumán! Ha és, akkor. Ha I szigorúan konvex az I intervallumon, akkor szigorú egyenlőtlenség áll fenn. Tétel: Ha f függvény a nyílt I intervallumon konvex, akkor folytonos ezen az intervallumon.

8 Gyengén (Jensen-) konvex függvények Definíció: Ha az f függvényre teljesül, hogy az értelmezési tartománya I intervallumán minden esetén, akkor az f függvényt az I intervallumon gyengén konvexnek nevezzük. Ha szigorú egyenlőtlenség áll fenn akkor a függvény szigorúan gyengén konvex. Ha az egyenlőtlenség fordított irányú, akkor a függvény gyengén konkáv.

9 A gyengén konvex és a konvex tulajdonság kapcsolata A Jensen-tételből következik, hogy ha az f függvény konvex az értelmezési tartománya I intervallumán, akkor ott gyengén konvex is. A fordított állítás nem igaz. Vannak olyan gyengén konvex függvények, melyek nem konvexek. Bizonyítható, hogy van olyan függvény, melyre teljesül minden valós x, y esetén, hogy f(x+y)=f(x)+f(y) (Cauchy- függvényegyenlet), de f nem folytonos. Könnyen bizonyítható, hogy ha egy f függvény kielégíti a fenti egyenletet, akkor bármely r racionális szám esetén f(rx)=rf(x). Tehát ha az f függvény kielégíti a fenti függvényegyenletet, akkor teljesül rá, hogy f([a+b]/2)=[f(a)+f(b)]/2, így a függvény gyengén konvex, de nem konvex, mert nem folytonos.

10 Két fontos tétel 2.1. tétel Ha az f függvény folytonos és gyengén konvex az értelmezési tartománya I intervallumán, akkor f konvex I- ben. (Hasonló tétel fogalmazható meg a szigorúan gyengén konvex esetre is.) 2.2. tétel: Ha f gyengén konvex az értelmezési tartománya I intervallumán, akkor minden esetén

11 Bernoulli-egyenlőtlenség 3.1. tétel: Az exponenciális függvény szigorúan konkáv az értelmezési tartományán. Bizonyítás: Mivel az exponenciális függvény folytonos az értelmezési tartományán és, ezért a 2.1. tétel miatt szigorúan konvex az értelmezési tartományán tétel: Legyen a>-1! a) Ha, akkor. b) Ha, akkor. Bizonyítás: Egyenes következménye az előző tételnek és a konvexitás definíciójának ill. a 2. lemmának. Egyenlőség akkor és csak akkor áll fenn, ha x=0, vagy x=1. Bernoulli-egyenlőtlenség.ggbBernoulli-egyenlőtlenség.ggb

12 Súlyozott számtani-mértani közép Definíció: Az pozitív valós számok n-tagú súlyozott számtani (mértani) közepének nevezzük az ( ) kifejezést, ahol pozitív valós számok és tétel: Az függvény szigorúan konkáv az értelmezési tartományán. Bizonyítás: Az lg függvény folytonos az értelmezési tartományán és bármely pozitív x,y esetén, így a 2.1. tétel alapján szigorúan konkáv.

13 Súlyozott számtani-mértani közép közötti egyenlőtlenség Tétel : Az, egyenlőség akkor és csak akkor áll fenn, ha mind egyenlő. Bizonyítás: Mivel a tízes alapú logaritmus függvény konkáv, ezért a Jensen-egyenlőtlenség alapján. Mivel szigorúan monoton növekvő, ezért. A Jensen egyenlőtlenségből következik, hogy egyenlőség pontosan akkor áll fenn, ha mind egyenlő.

14 Hatványközepek közötti egyenlőtlenség 5.1. tétel: Az szigorúan konvex az értelmezési tartományán. Bizonyítás: Mivel f folytonos az értelmezési tartományán, ezért elég azt belátni, hogy szigorúan gyengén konvex. Azaz, minden pozitív x, y-ra. Legyen (x+y)/2=t, x/t=u és y/t=v! Ekkor u+v=2. A Bernoulli- egyenlőtlenség miatt:. Ezt beszorozva -nel kapjuk a bizonyítandó egyenlőtlenséget.

15 Hatványközepek Definíció: Az pozitív valós számok k-adrendű ( ) súlyozott hatványközepének nevezzük az kifejezést, ahol pozitív valós számok és. - k=1: -k=2

16 Hatványközepek közötti egyenlőtlenség 5.2. étel: Legyenek az számok rögzített számok! Ekkor az függvény monoton nő a) a pozitív; b) a negatív valós számok halmazán. Bizonyítás: a) Legyen 0 1. Emiatt az hatványfüggvény szigorúan konvex, így a Jensen-egyenlőtlenség alapján ezt 1/c-edikre emelve kapjuk, hogy. b) Az a) rész alapján bizonyítható a b

17 5.3. tétel: Az, ahol k pozitív valós szám. Egyenlőség akkor és csak akkor áll fenn, ha mind egyenlő. Bizonyítás: 1. Alkalmazzuk a súlyozott a számtani-mértani közép közötti egyenlőtlenséget az pozitív számokra, majd emeljük az egyenlőtlenséget 1/k-adik hatványra, ebből. A 2. könnyen bizonyítható az 1. és az felhasználásával.

18 Az függvény fontos tulajdonságai Bizonyíthatók az alábbi határértékek. -


Letölteni ppt "Az analízis elemeinek alkalmazása egyenletek, szélsőérték feladatok megoldásában, egyenlőtlenségek bizonyításában Ábrahám Gábor Radnóti Miklós Kísérleti."

Hasonló előadás


Google Hirdetések