Az előadás letöltése folymat van. Kérjük, várjon

Az előadás letöltése folymat van. Kérjük, várjon

LINEÁRIS PROGRAMOZÁS ÉS A SZIMPLEX MÓDSZER Derts Zsófia – BME VKKT2009. 11. 05.

Hasonló előadás


Az előadások a következő témára: "LINEÁRIS PROGRAMOZÁS ÉS A SZIMPLEX MÓDSZER Derts Zsófia – BME VKKT2009. 11. 05."— Előadás másolata:

1 LINEÁRIS PROGRAMOZÁS ÉS A SZIMPLEX MÓDSZER Derts Zsófia – BME VKKT

2 Bevezetés Lineáris programozás és szimplex módszer 2  Lineáris programozás: lineáris egyenlet- rendszerek megoldása algoritmikus módon  LP bemutatása példákon keresztül  Grafikus és analitikus megoldás alkalmazása  Konkrét példa kiterjesztése általános esetre  Szimplex módszer alkalmazása  Duál módszer a házi feladathoz

3 1. példa: textilipari feladat (1) Lineáris programozás és szimplex módszer 3  Alapadatok:  A és B, textilből készülő termékeket azonos alapanyagból gyártjuk.  A -hoz 2 m, B -hez 5 m szükséges minden egyes méter késztermék előállításához.  Hetente legfeljebb méter alapanyag áll rendelkezésünkre.  Egységnyi termelési költségek A -ra 20 Ft/m és B -re 30 Ft/m.  A termelés heti összegzett költsége nem haladhatja meg a Ft-ot.

4 1. példa: textilipari feladat (2)  Alapadatok (folyt.):  A gyártáshoz felhasználunk bizonyos segédanyagot, amelyből A -hoz 1 m-t, B -hez 0,5 m-t alkalmazhatunk.  A felhasznált segédanyagok heti mennyisége nem haladhatja meg a 700 m-t.  Előzetes felmérés szerint A -ból hetente legalább 100 m- re van szükség.  A rendelkezésre álló gépparkkal a B -ből hetente legfeljebb 400 m gyártható.  A termelés nyeresége termékegységre vetítve: A terméken 2 Ft, B -n 6 Ft Lineáris programozás és szimplex módszer

5 1. példa: az információk rendezése Minden összefüggés lineáris! Lineáris programozás és szimplex módszer  Mátrixba rendezve az információkat:

6 1. példa: a kérdés megfogalmazása Lineáris programozás és szimplex módszer 6  Keressük azt a minden feltételt kielégítő megoldást (programot), ahol a nyereség (a célfüggvény értéke) a legnagyobb.  Feladat: a célfüggvény maximalizálása a megadott feltételek mellett.

7 1. példa: matematikai jelrendszerben… Lineáris programozás és szimplex módszer 7 x1x1 x2x2 (d) (e) (c)(b) (a)

8 1. példa: grafikus megoldás (1) Lineáris programozás és szimplex módszer 8 x1x1 x2x2 (d) (e) (c)(b) (a)

9 1. példa: grafikus megoldás (2) Lineáris programozás és szimplex módszer 9 x1x1 x2x2 z x1x1 x2x2

10 1. példa: grafikus megoldás (3) x1x1 x2x2 z x1x1 x2x2 Z opt Lineáris programozás és szimplex módszer

11 A feladat általános esete (1) Lineáris programozás és szimplex módszer 11 Mátrix alakban: Def.: Az x 0 megoldás optimális, ha a célfüggvény ezen a helyen veszi fel a maximumát!

12 A feladat általános esete (2) Lineáris programozás és szimplex módszer 12  Minden sor egyenlőtlenségét, valamint a – e i T x ≤ 0 feltételeket is kielégítő vektorok egy- egy zárt féltéren helyezkednek el.  Az „m” darab ilyen zárt féltér által közbezárt térrészt konvex poliédernek nevezzük, amely egyben a megengedett megoldások (programok) halmaza.

13 Segédváltozók bevezetése (1) Lineáris programozás és szimplex módszer 13  Az x n+i (i=1,2,….,m) változó feladata, hogy az egyenlőtlenségeket kiegészítse egyenlőségekké, tehát 0 < x n+i (i=1,2,….,m).  Ekkor az együttható-mátrixunk kibővül jobbról egy egységmátrixszal. A célfüggvény együttható-vektorát csupa nulla komponenssel kiegészítve egy n+m dimenziós vektort kapunk, de a célfüggvény értéke nem változik:

14 Segédváltozók bevezetése (2) Lineáris programozás és szimplex módszer ; ;0 ;0 ;           zxxxcxcxc xxxx bxxaxaxa bxxaxaxa bxxaxaxa mnnnn mn mmnnmnmm nnn nnn

15 A lineáris programozás alaptétele Lineáris programozás és szimplex módszer 15 Tétel: Ha egy LP probléma rendelkezik (korlátos) optimális megoldással, akkor létezik a megoldások halmazának olyan extrém pontja, amely optimális. Az optimális megoldás megtalálható a konvex poliéder sarokpontjainak vizsgálatával.

16 Az LP alaptétel következményei Lineáris programozás és szimplex módszer 16  Egy korlátos számú feltétel által megadott konvex poliéder korlátos számú sarokponttal rendelkezik.  Ez garantálja, hogy az optimum korlátos számú lépésben megtalálható.  Nézzük végig az összes sarokpontot? (Adott gyakorlati probléma esetén ez több millió is lehet.)  Nem, mert a célfüggvény linearitása miatt van hatékonyabb módszer is.

17 LP megoldás szimplex algoritmussal Lineáris programozás és szimplex módszer 17 1.Induljunk ki az egyik csúcspontból. 2.Valamelyik határoló élen menjünk át egy olyan szomszédos csúcsra, ahol a célfüggvény értéke magasabb. 3.Ha már nincsen magasabb célfüggvény értékkel jellemezhető szomszédos csúcs, akkor elértük az optimális megoldást.

18 A szimplex algoritmus tulajdonságai Lineáris programozás és szimplex módszer 18  Minden extrém pontot egyértelműen meghatároz egy bázis megoldás.  Ezt m változó kiválasztásával és a többi 0-vá tételével érhetjük el. (Minden sarok m darab feltétel teljes kimerítésével írható le.)  Ennek a rendszernek a megoldása a bázis.  Egy szomszédos csúcsra való áttérés azt jelenti, hogy egy új bázisra térünk át, ami csak egy elemében tér el a korábbitól.

19 2. példa: a szimplex módszer alk Lineáris programozás és szimplex módszer 19  A probléma jellemzői:  5 független változó  3 egyenlőtlenség + 1 kiegészítő feltétel  feladat: a célfüggvény maximalizálása  Megoldás: szimplex algoritmus alkalmazá- sával

20 2. példa: a szimplex módszer alk Lineáris programozás és szimplex módszer 20 x 1 + 2x 2 + x 3 + x 5 ≤ 100u 1 x 2 + x 3 + x 4 + x 5 ≤ 80u 2 x 1 + x 3 + x 4 ≤ 50u 3 x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 ≥ 0 Z = (2 x 1 + x x 3 + x x 5 )→MAX

21 2. példa: a szimplex módszer alk Lineáris programozás és szimplex módszer 21  A feladat átalakítása sztenderd formára:  ha z -t minimalizálni kell: -z -t maximalizáljuk;  ha x ≥ a van a feltételek között: -x ≤ -a  ha egyenlőség van a feltételek között, egyenlőtlenségekké alakítjuk át azokat: x = b → ( x ≤ b és x ≥ b ) → ( x ≤ b és -x ≤ -b)

22 2. példa: megoldás szimplex táblával Lineáris programozás és szimplex módszer 22  A feltételek rögzítése 1.Induló szimplex tábla 2.Generáló elem oszlopának kiválasztása (pozitív) → belépő változó 3.G. E. sorának kiválasztása (elem/kapacitás=max) → távozó változó 4.Elemcsere 5.Vissza a 2. pontba Erőforrások/ feltételek X1X1 X2X2 X3X3 X4X4 X5X5 Kapacitás GE oszlop/ kapacitás u1u ,01 u2u ,0125 u3u ,02max z

23 2. példa: megoldás szimplex táblával Lineáris programozás és szimplex módszer 23  Az első elemcsere után: GE: új = 1 / régi GE sora: új = régi / GE GE oszlopa:új = - régi / GE A többi:új = régi – GEsor * GEoszlop / GE A sor- és az oszlopindex felcserélődik! Erőforrások/ feltételek X1X1 X2X2 u3u3 X4X4 X5X5 Kapacitás GE oszlop/ kapacitás u1u ,02 u2u ,033max X3X ,02 z max

24 2. példa: megoldás szimplex táblával Lineáris programozás és szimplex módszer 24  A második elemcsere után: Erőforrások/ feltételek X1X1 X2X2 u3u3 X4X4 u2u2 Kapacitás GE oszlop/ kapacitás u1u ,05max X5X ,033 X3X ,02 z max GE: új = 1 / régi GE sora: új = régi / GE GE oszlopa:új = - régi / GE A többi:új = régi – GEsor * GEoszlop / GE A sor- és az oszlopindex felcserélődik!

25 Lineáris programozás és szimplex módszer 25  A harmadik elemcsere után: Erőforrások/ feltételek u1u1 X2X2 u3u3 X4X4 u2u2 Kapacitás GE oszlop/ kapacitás X1X ,05 X5X ,020 X3X , z Ez egy olyan csúcspont a konvex poliéderen, ahol x 1 = 20 x 3 = 30 x 5 = 50x 2 = x 4 = 0 A haszon Z = 20 * * * 2 = 230 A megoldás optimális, mert már nincs pozitív elem az alsó sorban. 2. példa: megoldás szimplex táblával

26 A duál módszer (1) Lineáris programozás és szimplex módszer 26  Lineáris programozási feladat esetén, ha a célfüggvényt minimalizálni kell és az együtthatói mind pozitívak, a szimplex módszer nem vezet megoldásra.  Ekkor mátrixműveletek alkalmazásával az ún. duál módszert használjuk.  Házi feladatban is ez vezet megoldásra!

27 A duál módszer (2) Lineáris programozás és szimplex módszer 27 A z b = min ≤ A -z b = max ≤ itt a szimplex módszer nem jó -b T zTzT = max ≤ - A T a feladat duális a megoldás szimplex módszerrel xixi függőlegesen kell kiolvasni az eredmény -1- szeresét! uiui xixi uiui - z min uiui uiui

28 Összefoglalás Lineáris programozás és szimplex módszer 28  LP  LP alaptétele  Szimplex módszer  Duál módszer

29 Derts Zsófia BME VKKT (U épület) Köszönöm a figyelmet! Lineáris programozás és szimplex módszer


Letölteni ppt "LINEÁRIS PROGRAMOZÁS ÉS A SZIMPLEX MÓDSZER Derts Zsófia – BME VKKT2009. 11. 05."

Hasonló előadás


Google Hirdetések