Az előadás letöltése folymat van. Kérjük, várjon

Az előadás letöltése folymat van. Kérjük, várjon

Lineáris programozás. A feladat megfogalmazása a) A és B textília jellegű termékeket azonos alapanyagból gyártjuk. Ebből A-hoz 2 m, B-hez 5 m szükséges.

Hasonló előadás


Az előadások a következő témára: "Lineáris programozás. A feladat megfogalmazása a) A és B textília jellegű termékeket azonos alapanyagból gyártjuk. Ebből A-hoz 2 m, B-hez 5 m szükséges."— Előadás másolata:

1 Lineáris programozás

2 A feladat megfogalmazása a) A és B textília jellegű termékeket azonos alapanyagból gyártjuk. Ebből A-hoz 2 m, B-hez 5 m szükséges minden egyes méter késztermék előállításához, és amelyből hetente legfeljebb méter áll rendelkezésünkre. b) Egységnyi termelési költségek A-ra 20 Ft/m és B-re 30Ft/m, amelyek heti összegzett költsége nem haladhatja meg a Ft-ot. c) A gyártáshoz felhasználunk bizonyos segédanyagot, amelyből A-hoz 1 m-t, B-hez 1/2 m-t használunk fel. A felhasznált segédanyagok heti mennyisége nem haladhatja meg a 700 m-t. d) Előzetes felmérés szerint A-ból hetente legalább 100 m-re van szükség. e) A rendelkezésre álló gépparkkal a B-ből hetente legfeljebb 400 m gyártható. f) A termelés nyeresége termékegységre vetítve A terméken 2 Ft, B-n 6 Ft. minden lineáris!

3 A feladat megfogalmazása a) A és B textília jellegű termékeket azonos alapanyagból gyártjuk. Ebből A-hoz 2 m, B-hez 5 m szükséges minden egyes méter késztermék előállításához, és amelyből hetente legfeljebb méter áll rendelkezésünkre. b) Egységnyi termelési költségek A-ra 20 Ft/m és B-re 30Ft/m, amelyek heti összegzett költsége nem haladhatja meg a Ft-ot. c) A gyártáshoz felhasználunk bizonyos segédanyagot, amelyből A-hoz 1 m-t, B-hez 1/2 m-t használunk fel. A felhasznált segédanyagok heti mennyisége nem haladhatja meg a 700 m-t. d) Előzetes felmérés szerint A-ból hetente legalább 100 m-re van szükség. e) A rendelkezésre álló gépparkkal a B-ből hetente legfeljebb 400 m gyártható. f) A termelés nyeresége termékegységre vetítve A terméken 2 Ft, B-n 6 Ft. Keressük azt a feltételeket kielégítő megoldást (program), ahol a nyereség (a célfüggvény értéke) a legnagyobb. Feladat: a célfüggvény maximalizálása a megadott feltételek mellett.

4 Matematikai jelrendszerrel x1x1 x2x2 (d) (e) (c)(b) (a)

5 x1x1 x2x2 (d) (e) (c)(b) (a) Grafikus megoldás

6 x1x1 x2x2 z x1x1 x2x2

7 x1x1 x2x2 z x1x1 x2x2 Z opt

8 A feladat: Minden sor egyenlőtlenségét (és a feltételeket is) kielégítő vektorok egy egy zárt féltéren helyezkednek el! Az „m” darab ilyen zárt féltér által köz-bezárt térrészt konvex poliéder-nek nevezünk, ami egyben a megengedett programok halmaza. Mátrix-alakban: Def.: Az x 0 megoldás optimális, ha a célfüggvény ezen a helyen veszi fel a maximumát! Általános eset

9 Segédváltozók bevezetése A segédváltozókkal bővített feladat: Az x n+i (i=1,2,….,m) változó feladata, hogy az egyenlőtlenségeket kiegészítse egyenlőségekké, tehát 0 < x n+i (i=1,2,….,m). Ekkor az együttható-mátrixunk kibővül jobbról egy egységmátrixszal. A célfüggvény együttható- vektorát csupa nulla komponenssel kiegészítve egy n+m dimenziós vektort kapunk, de a célfüggvény értéke nem változik: max ; ;0 ;0 ;            z zxxxcxcxc xxxx bxxaxaxa bxxaxaxa bxxaxaxa mnnnn mn mmnnmnmm nnn nnn

10 A lineáris programozás alaptétele Tétel: Ha egy LP probléma rendelkezik (korlátos) optimális megoldással, akkor létezik a megoldások halmazának olyan extrém pontja, amely optimális. Emiatt az optimális megoldás megtalálható a konvex poliéder sarokpontjainak vizsgálatával. Egy korlátos számú feltétel által megadott konvex poliéder korlátos számú sarokponttal rendelkezik. Ez garantálja, hogy az optimum korlátos számú lépésben megtalálható. Nézzük végig az összes sarokpontot? (Egy gyakorlati probléma esetén ez néhány millió is lehet.) Nem, a célfüggvény linearitása miatt van hatékonyabb módszer is.

11 A megoldás módja SZIMPLEX algoritmus: 1. induljunk ki az egyik csúcspontból 2. valamelyik határoló élen menjünk át egy olyan szomszédos csúcsra, ahol a célfüggvény értéke magasabb 3. ha már nincsen „jobb” szomszédos csúcs, akkor elértük az optimális megoldást Minden extrém pontot egyértelműen meghatároz egy bázismegoldás. Ezt m változó kiválasztásával és a többi 0-vá tételével érhetjük el. (Minden sarok m darab feltétel teljes kimerítésével írható le.) Ennek a rendszernek a megoldása a bázis. Egy szomszédos csúcsra való áttérés azt jelenti, hogy egy új bázisra térünk át, ami csak egy elemében tér el a korábbitól.

12 Mintafeladat (standard forma) x 1 + 2·x 2 + x 3 + x 5 <= 100u 1 x 2 + x 3 + x 4 + x 5 <= 80u 2 x 1 + x 3 + x 4 <= 50u 3 x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 >= 0 Z=(2·x 1 + x 2 + 3·x 3 + x 4 + 2·x 5 ) » MAX

13 Átalakítás standard formára ha z -t minimalizálni kell: -z -t maximalizáljuk ha x ≥ a van a feltételek között: -x ≤ -a ha egyenlőség van a feltételek között: x = a → ( x ≤ a és x ≥ a ) → ( x ≤ a és -x ≤ -a )

14 termékek erőforrásokx1x2x3x4x5kapacitás u u u hozam Szimplex tábla Algoritmus: 1.Induló szimplex tábla 2.Generáló elem oszlopának kiválasztás (pozitív)belépő változó 3.G. E. sorának kiválasztása (elem/kapacitás=max)távozó változó 4.Elemcsere 5.Vissza a 2. pontba pozitív max

15 x1x2x3x4u2 u x u Első elemcsere Elemcsere: GE: új = 1 / régi GE sora: új = régi / GE GE oszlopa:új = - régi / GE A többi:új = régi – GEsor * GEoszlop / GE A sor- és az oszlopindex felcserélődik pozitív max

16 x1x2u3x4u2 u x x Második elemcsere pozitív max Ez egy olyan csúcspont a konvex poliéderen, ahol x3 = 50 x5 = 30 A többi x = 0, a haszon 50 * * 2 = 210; NEM OPTIMÁLIS!

17 u1x2u3x4u2 x x x Harmadik elemcsere után Az alsó sorban nincs pozitív : optimális megoldás x1 = 20 x2 = 0 x3 = 30 x4 = 0 x5 = 50haszon = 230 = MAX!

18 A duál módszer A z b = min ≤ ha a célfüggvényt minimalizálni kell és az együtthatói mind pozitívak: A -z b = max ≤ itt a szimplex módszer nem jó -b T zTzT = max ≤ - A T a feladat duálisa megoldás szimplex módszerrel xixi függőlegesen kell kiolvasni az eredmény -1- szeresét! uiui xixi xixi uiui - z min uiui xixi uiui


Letölteni ppt "Lineáris programozás. A feladat megfogalmazása a) A és B textília jellegű termékeket azonos alapanyagból gyártjuk. Ebből A-hoz 2 m, B-hez 5 m szükséges."

Hasonló előadás


Google Hirdetések