Az előadás letöltése folymat van. Kérjük, várjon

Az előadás letöltése folymat van. Kérjük, várjon

Koordináta-geometria. Vektorok a koordináta-rendszerben  A derékszögű koordináta-rendszerben a P (x;y) pont helyvektora az origóból a pontba mutató vektor.

Hasonló előadás


Az előadások a következő témára: "Koordináta-geometria. Vektorok a koordináta-rendszerben  A derékszögű koordináta-rendszerben a P (x;y) pont helyvektora az origóból a pontba mutató vektor."— Előadás másolata:

1 Koordináta-geometria

2 Vektorok a koordináta-rendszerben  A derékszögű koordináta-rendszerben a P (x;y) pont helyvektora az origóból a pontba mutató vektor.  Ha az i az (1;0), j pedig a (0;1) pont helyvektora, akkor a sík bármely a vektora egyértelműen áll elő a= a 1 i + a 2 j alakban (az i és j vektorok lineáris kombinációjaként).

3 Két pont távolsága. Két vektor hajlásszöge Tétel:  Az A(a 1 ;a 2 ) és B (b 1 ;b 2 ) pontok távolsága AB= √(b 1 -a 1 )² + (b 2 -a 2 )².  Pl.: A(-2;3) és B(1;7)  AB→= b-a, a = -2i + 3j, b = i + 7j, ezért AB→= (1-(-2))i + (7-3)j = 3i + 4j. Így |AB|→√3² + 4² = √25 = 5

4 Szakasz osztópontjának koordinátái. A háromszög súlypontjának koordinátái A felezőpont koordinátái a végpontok megfelelő koordinátáinak számtani közepeként adódnak. A felezőpont koordinátái a végpontok megfelelő koordinátáinak számtani közepeként adódnak.

5 Az egyenest meghatározó adatok a koordináta-rendszerben  Egy egyenes irányvektora bármely, az egyenessel párhuzamos, nullvektortól különböző vektor. Jele: v→(v 1 ;v 2 ).  A síkban egy egyenes normálvektora bármely, az egyenesre merőleges, nullvektortól különböző vektor. Jele: n→ (A;B).

6  A síkbeli koordináta-rendszerben egy egyenes irányszöge az egyenes és az x tengely pozitív félegyenese (pozitív iránya) által bezárt előjeles szög.  Egy egyenes irányszögének tangensét (ha létezik) az egyenes iránytangensének vagy meredekségének nevezzük. m= tgα  Ha az e egyenes két különböző pontja P1(x 1 ;y 1 ) és P2 (x 2 ;y 2 ), ahol x 1 ≠x 2, akkor az e iránytangense.

7  Ha az e egyenes egy irányvektora v→ (v 1 ;v 2 ), egy normálvektora n→(A;B);és v 1 ≠0,illetve B≠0,akkor az e iránytangense.  Ha az e egyenes iránytangense m, akkor a v→(1;m) egy irányvektora, az n→(m;-1) (vagy n→(-m;1)) egy normálvektora e-nek.

8 Az egyenes egyenlete I.  Egy, a síkbeli derékszögű koordináta- rendszerben elhelyezkedő alakzat egyenlete egy olyan kétismeretlenes egyenlet, amelyet az alakzat P(x;y) pontjainak koordinátái kielégítenek, más pontok koordinátái viszont nem elégítenek ki.

9  Az egyenes vektoregyenlete: n→x (r→-r→ 0 )=0 n→x (r→-r→ 0 )=0  Az egyenes egyenletének normálvektoros alakja: Ax + By = Ax 0 + By 0

10 Az egyenes egyenlete II.  Ez a v→(v 1 ;v 2 ) irányvektorával és P 0 (x 0 ;y 0 ) pontjával adott egyenes egyenlete, vagy másképpen az egyenes egyenletének irányvektoros alakja: v 2 x - v 1 y = v 2 x 0 - v 1 y 0.  Ez az m iránytangensével és P 0 (x 0 ;y 0 ) pontjával adott egyenes egyenlete, vagy másképpen az egyenes egyenletének iránytényezős alakja: y – y 0 = m(x-x 0 ).

11  Adott az e egyenes P 1 (x 1 ;y 1 ) és P 2 (x 2 ;y 2 ) pontja. Az egyenes Az egyenes irányvektora: v→(x 2 - x 1 ; y 2 - y 1 ) irányvektora: v→(x 2 - x 1 ; y 2 - y 1 ) normálvektora: n→(y 2 - y 1 ; x 1 - x 2 ) normálvektora: n→(y 2 - y 1 ; x 1 - x 2 ) Ez a P 1 (x 1 ;y 1 ) és P 2 (x 2 ;y 2 ) pontokkal adott egyenes egyenlete, vagy másképpen az egyenes egyenletének két pontjával meghatározott alakja: (y 2 -y 1 )x (x-x 1 ) = (x 2 -x 1 )x (y-y 1 ).

12  A síkbeli derékszögű koordináta- rendszerben egy egyenes egyenlete olyan kétismeretlenes egyenlet, amelyet azoknak és csak azoknak a P(x;y) pontoknak a koordinátái elégítenek ki, amelyek illeszkednek az egyenesre.  A síkbeli derékszögű koordináta-rendszerben az egyenes egyenlete olyan Ax + By + C = 0 Ax + By + C = 0 alakú kétismeretlenes lineáris egyenlet, amelyben A és B közül legalább az egyik 0-tól különböző (A² + B² > 0). alakú kétismeretlenes lineáris egyenlet, amelyben A és B közül legalább az egyik 0-tól különböző (A² + B² > 0).

13 Két egyenes metszéspontja, távolsága, hajlásszöge  Két síkbeli metsző egyenes metszéspontjának koordinátái a két egyenes egyenletéből álló egyenletrendszer megoldásai. 

14 A kör egyenlete  Kaptuk, hogy a P (x;y) pont akkor és csak akkor illeszkedik a K (u;v) középpontú, r sugarú körre (körvolnalra), ha (x - u)² + (y - v)² = r². (x - u)² + (y - v)² = r². Ez az összefüggés a K(u;v) középpontú, r sugarú kör egyenlete. Ez az összefüggés a K(u;v) középpontú, r sugarú kör egyenlete.

15  A háromszög köré írt kör középpontja az oldalfelező merőlegesek metsztéspontja, ezért a középpontot két oldalfelező merőleges metszéspontjaként kapjuk. A körülírt kör sugara a középpont és valamelyik csúcs távolsága.

16  A síkbeli derékszögű koodináta- rendszerben egy kö egyenlete olyan kétismeretlenes egyenlet, amelyet azoknak és csak azoknak a P(x;y) pontoknak a koordinátái elégítenek ki, amelyek illeszkednek a körre.  Egy kétismeretlenes másodfokú egyenlet akkor és csak akkor egyenlete egy körnek a síkbeli derékszögű koordináta- rendszerben, ha x² + y² + Ax + By + C = 0 x² + y² + Ax + By + C = 0 alakra hozható, ahol A, B, C olyan valós számok, amelyekre teljesül az A² + B² - 4C > 0 egyenlőtlenség. alakra hozható, ahol A, B, C olyan valós számok, amelyekre teljesül az A² + B² - 4C > 0 egyenlőtlenség.

17 A kör és az egyenes kölcsönös helyzete; két kör közös pontjai  Általánosítás: Az (x - u)² + (y - v)² = r² egyenletű kör és az y = mx + b egyenes közös pontjainak koordinátái az (x - u)² + (y - v)² = r² (x - u)² + (y - v)² = r² Egyenletrendszer megoldásai. A második egyenletnek az elsőbe történő helyettesítése (az egyik ismeretlen kiküszöbölése) után kapott egyismeretlenes másodfokú egyenlet diszkriminánsa határozza mg a közös pontok számát:

18 ↓ - Ha s diszkrimináns pozitív, akkor az egyenes két pontban metszi a kört; - Ha a diszkrimináns 0, az egyenes érinti a kört; - Ha a diszkrimináns negatív, akkor az egyenesnek és a körnek sincs közös pontja.


Letölteni ppt "Koordináta-geometria. Vektorok a koordináta-rendszerben  A derékszögű koordináta-rendszerben a P (x;y) pont helyvektora az origóból a pontba mutató vektor."

Hasonló előadás


Google Hirdetések