Az aranymetszés természet, művészet, matematika

Az előadások a következő témára: "Az aranymetszés természet, művészet, matematika"— Előadás másolata:

1 Az aranymetszés természet, művészet, matematika
Mi is az az Aranymetszés? Az Aranymetszés matematika bemutatása Az Aranymetszés története Az Aranymetszés tényezője, a „fi” A „fi” kiszámítása Képek: Aranymetszés a művészetben Aranymetszés a természetben

2 Mi is az az Aranymetszés?
Arányosság Természetben és művészetben is előfordul Egyensúly szimmetria és aszimmetria közt Ókortól használják épületeken, képzőművészeti alkotásokon A pitagoreusok a természet egyik alapkövét látták benne: ember, csiga Az aranymetszés vagy aranyarány egy olyan arányosság, ami a természetben és művészetben is gyakran megjelenik, természetes egyensúlyt teremtve a szimmetria és az aszimmetria között Aranymetszési arányok találhatók számos ókori épületen, középkori és reneszánsz képzőművészeti alkotásokon. Az ókori pitagoreusok (Pithagorasz és követői), akik szerint a valóság matematikai alapokon nyugszik, az aranymetszésben a létezés egyik alaptörvényét vélték felfedezni, ugyanis ez az arány felismerhető a természetben is (például az emberi testen vagy csigák mészvázán).

3 Az Aranymetszés matematikája
Két rész (a és b, a>b) az aranymetszés szerint aránylik egymáshoz, ha az egész (a+b) úgy aránylik a nagyobbik részhez (a), ahogy a nagyobbik rész (a) a kisebbik részhez (b): Vagyis a nagyobbik fél hossza egyenlő az összeg és a kisebbik rész hosszának mértani közepével: A fentiekkel egyenértékű az a megfogalmazás, hogy a nagyobbik rész úgy aránylik a kisebbik részhez, mint a kisebbik rész a két rész különbségéhez:

4 Az Aranymetszés története
Ókori Egyiptom i.e. 2600: Gízai nagy piramis Ókori Görögország: Pheidiász > Φ 19. század: Adolph Zeising: emberi test és az Aranymetszés Gyakori megjelenése miatt a geometriában már ókori matematikusok is tanulmányozták az aranymetszést. Bizonyíthatóan az ókori Egyiptomban is értették és használták ezt a törvényszerűséget. Az i. e körül épült gízai Nagy-piramis arányaiban is felfedezhető az aranymetszés aránya. A piramis alapélének a fele (átlag 186,42 m) és oldallapjainak a magassága (kb. 115,18 m)[1] az aranymetszés szerint aránylik egymáshoz (0,03%-os eltéréssel, ami hibahatáron belülinek tekinthető.) Az ókori görögök is ismerték ezt az arányt. Pithagorasz, Theodorus és Euklidész is foglalkozott vele. Az aranymetszés jelölése, a Φ (görög nagy fí betű) Pheidiász görög szobrász nevéből származik, aki gyakran alkalmazta munkájában (további jelölések lejjebb.) Adolph Zeising (1810–1876) Aus experimenteller Ästhetik (A kísérleti esztétikából) című művében ír nagyszámú emberen végzett méréseiről. A jól kifejlett emberi alaknak első osztási pontját a köldökre tette és megállapította, hogy a test törzsének és főbb tagjainak illeszkedési pontjai szintén az aranymetszés szerint aránylanak. Kétségtelen, hogy a korábbi, különösen a görög szoborművek arányai is megfelelnek Zeising elméletének: ha a test magassága 1000, a test alsó része a köldöktől 618, a test felső része a köldöktől 382, a fej hossza pedig 146. Ezek mind az aranymetszési szabály szerint viszonyulnak egymáshoz. Zeising azonkívül megkísérelte az ókor és a középkor legkiválóbb építményein kimutatni, hogy azoknak egészén és egyes részeinek méreteiben az aranymetszés elve uralkodik, ahogy a festészet legismertebb alkotásainak elrendezésében is ugyanez az elv érvényesül. Az ókorban isteni számnak is nevezték, ugyanis az emberek nem csak matematikai tényként tekintettek rá, hanem az istenség földi jelenlétének és a teremtésnek a kifejezőjeként is értelmezték.

5 Az Aranymetszés tényezője, a „fi”

6 A „fi” kiszámítása A definícióból kiszámolható, hogy a nagyobb szakasz (a) hányszorosa a kisebb szakasznak (b), tehát megkapható az a Φ szám, amelyre , másképpen: teljesül. A definíció szerint: A jobb oldali tört számlálóját és nevezőjét is b-vel elosztva: Ebbe a/b=fi -t behelyettesítve kapjuk, hogy Φ-vel szorozva, majd 0-ra rendezve: Φ2 − Φ − 1 = 0 Ezt a másodfokú egyenletet megoldhatjuk a megoldóképlettel: Az egyenlet negatív gyöke (≈ - 0,618) a feladat jellege miatt nem megoldása a problémának, így: Φ irracionális szám, tehát nem írható fel két egész szám hányadosaként, ami a irracionalitásából is látható. Algebrai szám, hiszen megoldása a fenti polinomegyenletnek.

7 Képek: Aranymetszés a művészetben:

8 Több neves művész illetve műalkotás épít az aranymetszés szabályaira
Több neves művész illetve műalkotás épít az aranymetszés szabályaira. Például a magyar Szent Korona[2], Bartók Béla bizonyos zeneművei, Dante Alighieri Isteni színjátéka, Kassák Lajos A ló meghal… kezdetű költeménye, Leonardo da Vinci és Michelangelo festményei

9 Képek: Aranymetszés a természetben

10

11

12 Da pacem domine [smack], dona eis reuqiem [smack].
Forrásmegjelölés Wikipédia:  Google: Különböző könyvek az aranymetszésről Apukám  Da pacem domine [smack], dona eis reuqiem [smack].

13