Az előadás letöltése folymat van. Kérjük, várjon

Az előadás letöltése folymat van. Kérjük, várjon

Hálótervezés Készítette: Kosztyán Zsolt Tibor 2.

Hasonló előadás


Az előadások a következő témára: "Hálótervezés Készítette: Kosztyán Zsolt Tibor 2."— Előadás másolata:

1 Hálótervezés Készítette: Kosztyán Zsolt Tibor 2.

2 Módszerek lefutási ideje P osztályúak NP osztályúak –NP teljesek Lefutási idő:  (f(n))=g(n)  n 1 >n, c>0 cf(n)>=g(n) n 1

3 Alapvető gráfelméleti algoritmusok BFS (Breath First Search) O(n 2 )

4 Alapvető gráfelméleti algoritmusok DFS (Depth First Search) O(n 2 )

5 Minimális költségű feszítőfa keresése Minimális költségű feszítőfa: Egy súlyozott gráf részgráfja minimális költségű feszítőfa (minimal spanning tree) ha: –Feszítőfa (a gráf valamennyi csúcsát tartalmazza összefüggő körmentes) és –a lehetséges feszítőfák közül minimális költségű.

6 Kruskál algoritmus O(n 2 ), O(m+n·log(n))

7 Prim algoritmus O(n 2 ), O(m+n·log(n))

8 Sollin algoritmus O(m. log(n))

9 Minimális költségű feszítőfák - esettanulmány

10 Legrövidebb út keresése – Dijkstra algoritmussal O(n 2 )

11 Legrövidebb út keresése - esettanulmány

12 Negatív összegű körök

13 Bellman – Ford algoritmus O(n 3 )

14 Izomorfia, automorfizmus Egy G 1 =(N 1,A 1 ) gráf izomorf egy G 2 =(N 2,A 2 ) gráffal, ha létezik  :N 1  N 2, és  :A 1  A 2 kölcsönösen egyértelmű függvény. Egy gráf önmagával vett izomorf leképzését automorfizmusnak nevezzük.

15 Topológikus rendezés Egy G=(N,A) irányított körmentes gráf topologikus rendezésén a csúcsainak egy olyan sorba rendezését értjük, melyre teljesül, hogy ha N 1,N 2  N és (N 1,N 2 )  A akkor N 1,N 2 –t előzze meg a listában.

16 Topológikus rendezés – szintekre bontás 1.Első szintbe rendezzük azokat a csúcsokat, amelyeknek csak kimenő élük van. (források) 2.Ezekből a csúcsokból kimenő éleket töröljük. Majd a következő szintbe rendezzük azokat a csúcsokat, amelyek a módosított gráfban források addig ismételjük, ameddig az összes csúcsot szintekbe nem soroltuk. 4.Összekötjük a csúcsokat az eredeti gráfnak megfelelően.

17 Topológikus rendezés – szintekre bontás

18 Minimális út keresése – topologikus rendezéssel O(n+m)

19 Legrövidebb út számítása minden csúcspontból Legrövidebb utat számoló algoritmusok alkalmazása minden pontra Legrövidebb utak számítása mátrixokkal Egyéb módszerek

20 Mátrixok használata legrövidebb utak számítására - fogalmak Szomszédsági mátrix –Legyen G egy irányított gráf, melynek n csúcsa van, akkor a G szomszédsági mátrixa, A, n x n -es mátrix a következő módon definiálható : A i,j =1, ha i csúcsból él vezet j-be, különben A i,j =0. Ha G irányítatlan gráf, akkor a szomszédsági mátrixa szimmetrikus! A=A=

21 Mátrixok használata legrövidebb utak számítására - fogalmak Elérhetőségi mátrix –Legyen A a G gráf szomszédsági mátrixa, akkor K = A k, azaz A k-adik hatványaként kapott mátrix. K i,j eleme, az i csúcsból a j csúcsba vezető k hosszúságú utak számát adja. Pl. k=2, k=3, k=4 hosszúságú utak: A2=A2=A3=A3=A4=A4=

22 Mátrixok használata legrövidebb utak számítására - fogalmak Elérhetőségi mátrix –Definiáljunk egy B r mátrixot akkor ennek a mátrixnak az i,j eleme az i-ből j-be vezető r vagy ennél rövidebb utak számát adja. –Ha i-ből létezik út j-be akkor ez maximum n hosszú vagy rövidebb út. Ebből következik, hogyha az útmátrixok valamelyikének 1<=k<=n esetén i,j -edik eleme nem zérus, azaz a mátrix i,j eleme nem zérus, akkor j elérhető i-ből. Ennek megfelelően definiálhatunk egy ún. elérhetőségi mátrixot: A G gráf útmátrix elérhetőségi mátrixa legyen egy P mátrix. P i,j =1, ha i-ből létezik valamilyen út j-be, különben P i,j =0

23 Mátrixok használata legrövidebb utak számítására - fogalmak Elérhetőségi, szomszédsági mátrixok - példa

24 Floyd-Warshall algoritmus O(n 3 ) Legyen adva a következő gráf: Legyen 1~R, 2~S, 3~T és 4~U. Legyen W a gráf súlymátrixa. Írjunk a 0-ák helyébe  -t és nevezzük ezt a mátrixot A-nak

25 Floyd-Warshall algoritmus O(n 3 ) Ennek megfelelő útmátrix: Vezessük be a következő mátrix műveletet: ahol a A k k=1..n -ig számítandó, n a A mérete (n*n), és A 0 =A. A kapott eredmény mátrix A n a legrövidebb utakat adja!

26 Floyd-Warshall algoritmus O(n 3 ) Esetünkben n=4. Az első menetben k=1-re a kapott mátrix: A megfelelő útmátrix: ahol pl. URS = UR+RS ami megfelel a (4,1)+(1,2) útnak.

27 Floyd-Warshall algoritmus O(n 3 ) A k = 4 -re a végeredmény, a legrövidebb utak hossza és a megfelelő útmátrix a legrövidebb utakkal:

28 Szorgalmi feladatok Pásztor, a farkas, a kecske és a káposzta –A pásztor, a farkas, a kecske, és a káposzta a folyó egyik oldalán vannak. A pásztor feladata, hogy átvigye a társaságot a túlsó partra. Ehhez egy kétszemélyes csónak áll rendelkezésre, amelyben a pásztoron kívül még egy utas elfér, a kecske vagy a farkas, vagy a káposzta. (10p) Minimális költségű legrövidebb út keresése (5-15p p)

29 Szorgalmi feladatok Arbitrázs –Az arbitrázs a valuta árfolyamokban rejlő egyenetlenségnek olyan hasznosítását jelenti, amikor egy valuta egy egységét ugyanazon valuta egy egységnél nagyobb értékére váltjuk át. Pl. tfh. 1USD=0,7GDP, 1GDP=9,5DKK és 1DKK=0,16USD. Ekkor az a pénzváltó aki 1USD-t fektet be a valuta konverzió során 0,7x9,5x0,16 USD-t vásárol, ezzel 6,4% haszonra tesz szert.

30 Szorgalmi feladatok Arbitrázs –Tfh. Adott n különböző (c 1,c 2,..,c n ) valutanem és a valutaárfolyamok egy n x n-es R táblázata, amely azt mutatja, hogy a c i valuta egy egységéért R i, j egységnyi c j valuta vásárolható. –Adjunk hatékony algoritmust, amely meghatározza, hogy létezik-e a valutanemeknek olyan (c i1,c i2,..,c ik ) sorozata, amelyre R i1, i2 xR i2, i3 x..xR ik-1, ik xR ik, 1 >1. Elemezzük az algoritmus futási idejét. (30p)

31 2.


Letölteni ppt "Hálótervezés Készítette: Kosztyán Zsolt Tibor 2."

Hasonló előadás


Google Hirdetések