Az előadás letöltése folymat van. Kérjük, várjon

Az előadás letöltése folymat van. Kérjük, várjon

A Kerr-téridő geodetikusai Elméleti Fizikai Iskola Budapest 2008.08.25-30.

Hasonló előadás


Az előadások a következő témára: "A Kerr-téridő geodetikusai Elméleti Fizikai Iskola Budapest 2008.08.25-30."— Előadás másolata:

1 A Kerr-téridő geodetikusai Elméleti Fizikai Iskola Budapest

2 Bevezetés A Kerr-metrika A geodetikus egyenletek - megoldásuk – szeparáció - Killing-tenzor - geodetikus teljesség Geodetikus görbék vizsgálata - Kepler-pályák – időszerű - Null pályák - Gravitációs lencsék – Einstein-gyűrűk

3 Ívelem - Kerr-Newman Tengelyszimmetrikus, töltött forrás gravitációs mezejét írja le Boyer-Lindquist koordináták: További paraméterek (összesen 7) az Einstein-Maxwell egyenletek általános, Petrov D típusú megoldásában: kozmológiai állandó, gyorsulás, mágneses töltés, NUT paraméter tömeg imp.mom/tömeg töltés

4 Ívelem Tartományok a téridőben 1. Horizont: ∆ gyökei 0 = a Schwarzschild, 0, 2m 0 < a 2 < m 2 lassan forgó Kerr 0 < r ± = m ± (m 2 - a 2 ) 1/2 < 2m a 2 = m 2 extrém Kerr r = m kétszeres gyök a 2 > m 2 gyorsan forgó Kerr nincs valós gyök 2. Gyűrűszingularitás: A görbületi invariánsok, pl. a = 0.8 e = 0

5 A geodetikus egyenlet Töltött részecske mozgása a KN téridőben (Carter, 1968) μ: tömeg, ε: töltés Kerr-koordináták: ( a sokaság nagyobb részét fedik le) τ sajátidő szerinti kovariáns derivált A Lagrange-függvény:· a λ (affin) paraméter szerinti derivált A geodetikus egyenletek esetén teljesülnek, ami a normálási feltétellel ekvivalens

6 A geodetikus egyenlet Az impulzus és a Hamilton-függvény: H nem függ λ-tól, ezért megmaradó (a részecske nyugalmi tömege) A legegyszerűbb vektorpotenciál, amiből ugyanaz a térerősség-tenzor származik: Az impulzus és az inverz metrika:

7 A geodetikus egyenlet A Hamilton-függvény: energia impulzusmomentum Megmaradó mennyiségek: H = H(r,θ) Schwarzschild-téridőben 4 Killing-vektor: ∂/∂t + gömbszimmetriából adódók + geodetikusokra mindig létező mozg.áll: Imp.mom iránya → egyenlítői mozgás

8 A geodetikus egyenlet A szeparációs állandó pozitív A hatás bevezetése nélkül látható, hogy ezen mennyiségek Hamilton-függvénnyel vett Poisson-zárójele eltűnik További megmaradó mennyiségek? Vizsgáljuk a Hamilton-Jacobi-egyenletet! Ha létezik szeparálható megoldás, akkor Felhasználva, hogy

9 A geodetikus egyenlet Az egyenletek megoldása: Ezek segítségével kifejezhetők a mozgásegyenletek: Boyer-Lindquist koordináták:

10 Geodetikus teljesség A mozgásegyenletek integrál-alakja: A geodetikus teljes, ha a λ affin paraméter tetszőleges értéket felvehet a görbe mentén. Ez teljesül, kivéve, ha elérjük a szingularitást, vagy az integrálok divergensek: ∆ = 0 és Θ = R = 0 Θ = R = 0: λ teszőlegesen nagy lehet, kivéve, ha r = cos(θ) = 0 teljesül ∆ = 0: a geodetikusok folytathatók egy másik térképre

11 Killing-tenzor Szimmetrikus, m-edrendű tenzor, ami kielégíti a Killing-egyenletet Carter néhány héttel az előző eredmények megadása után meghatározta azt az általános metrikaalakot, amiből szeparálható mozgásegyenletek adódnak. Walker, Penrose (1970, K) és Hugston, Penrose (1972, KN) vizsgálták a kvadratikus első integrál eredetét. Spúrmentes része a konform Killing-tenzor Áll.: ha a konform Killing-tenzorra teljesül, hogy P a b;a egy gradiens, akkor a P ab –ból származó K ab Killing-tenzor Pl.: a metrikus tenzor és Killing-vektorok K ab =ξ (a η b) alakú szorzata, ezek (állandó együtthatós) lineárkombinációi + nem-triviális Killing tenzorok Kerr-téridő esetén:

12 Killing-tenzor Killing-spinor (Hughston, Penrose 1972) : Legyen és normált spinor diád, melyek null-vektorai nyírásmentes null-geodetikusok érintői, és legyen komplex skalár, hogy kielégíti a forrásmentes Maxwell-egyenleteket: Ekkor a Killing-spinor kielégíti a egyenletet, valamint a szimmetrikus spúrmentes tenzor a konform Killing-egyenletet A Killing-tenzorra vonatkozó tételek: T.: 4 dimenziós téridőben max. 50 db lineárisan független kétindexes Killing-tenzor létezik (állandó görbületű terekben valósul meg). T.: Minden Petrov D típusú vákuum téridőben (a C-metrika és általánosításai kivételével) létezik Killing-tenzor

13 Geodetikus görbék vizsgálata TEST (Traction of Events in Space-Time) A. Pierelli szobra (M. Johnston and R. Ruffini, 1974)

14 Marcel Grossmann díj Roy Kerr átveszi a Marcel Grossmann (MG11, 2006) díjat a 70. születésnapja alkalmából rendezett konferencián (Kerr Fest, Christchurch, 2004)

15 Geodetikus görbék – általános tulajdonságok A θ mozgás Θ > 0, független ε,e és m-től - Q > 0: θ mozgás, mely metszi az egyenlítői síkot, cos(θ) = 0, és kiterjed a szimmetriatengelyig, sin(θ) = 0, ha Φ = 0 és Q+a 2 (E 2 -μ 2 ) ≥ 0. θ = áll = 0 megoldás, ha Φ=0, Q+a 2 (E 2 -μ 2 )=0, mozgás a szimm.tengely mentén. - Q = 0: θ = áll = π/2, egyenlítői mozgás. θ = áll, ha Φ=0, a 2 (E 2 -μ 2 )=0. θ mozgás elegendően nagy energia, a 2 (E 2 -μ 2 ) > Φ 2, esetén az egyenlítői síkot egyik oldalról érintve, ami kiterjed a szimmetriatengelyig, ha Φ = 0. - Q Φ 2 és Q ≥ -{[a 2 (E 2 -μ 2 )] 1/2 - |Φ|} 2. Ekkor θ az egyenlítői síkot nem érintő tartományban mozog, ami kiterjed a szimmetriatengelyig, ha Φ = 0.

16 Geodetikus görbék – általános tulajdonságok A radiális mozgás r 4 : E 2 0 esetén. Az egyenlítői síkból sem érhető el a szingularitás miatt. Q=0 esetén az r = 0 felület a 2 (E 2 -μ 2 ) > Φ 2 esetén keresztezhető (θ mozgás). A gyűrűszingularitás (r = cos(θ) = 0) elérhető Q = 0 esetén, továbbá teljesülnie kell (r 0 együtthatója alapján): Φ = aE, vagy e = 0 (Kerr). Idő és fényszerű geodetikusok esetén (μ 2 ≥ 0) a Φ = aE egyenlőség nem kompatibilis a 2 (E 2 -μ 2 ) > Φ 2 -el, így a szingularitás egyenlítői mozgás esetén érhető el. e = 0: Boyel és Lindquist vizsgálta, adott imp.momentum és elegendően nagy energia esetén az idő és fényszerű geodetikusok elérik a szingularitást. e ≠ 0: r 2 együtthatója pozitív: ε 2 ≥ (1+a 2 /e 2 ) μ 2, elegendően nagy töltésű részecske esetén teljesül. ε = 0, μ 2 > 0: csak Schw. esetben teljesíthető, időszerű görbék nem, de fényszerű görbék (ε = 0, μ = 0) elérik a szingularitást.

17 Geodetikus görbék Radiális mozgás (e=0) Null-geodetikusok, (r,θ) sík, a=0.8, R(r = r s )=0 Időszerű geodetikusok r s = 1.85, Q = 1.65r s = 3, Q = 27Q = 0Q = -0.3 r s = 4r s = 5.4

18 Geodetikus görbék Egyenlítői mozgás, periodikus pályák (e = 0) (Levin és Perez-Giz, 2008) A mozgást jellemző frekvenciák: A periodikus pályákat racionális q, és így a (z,ω,v) számhármas jellemzi (a pályaperiódus a radiális periódus z-szerese, ∆φ = z ∆φ r, 1 ≤ v ≤ z-1). Adott (z,ω,v), a és L esetén meghatározható E és a radiális fordulópontok, hogy zárt pályát kapjunk. a=0, L=3.98, E=0.973a=0, L=3.72, E=0.966a=0, L=3.83, E=0.979

19 Geodetikus görbék Az általános mozgás közelíthető periodikus pályával, pl.: legyen ω+v/z = 1+1/3+δ, ahol δ≈1/100 (perihélium elfordulás) a=0, L=3.834, E=0.979 Adott a és L esetén q c ≤ q ≤ q max teljesül, ahol q c a körpályához, míg q max a max. energiájú kötött pályához tartozó érték. Newtoni határesetben ezek a határok 0-hoz tartanak (Kepler-ellipszis)

20 Geodetikus görbék Kerr-geodetikusok (a=0.995) L=1.82 L=2

21 Gravitációs lencsézés Fényelhajlás (gyenge, erős elhajlás) Mi a kapcsolatot a forrás képének {θ 1, θ 2 } és pozíciójának {B 1, B 2 } koordinátái között? A megoldás vezető rendje: ahol θ ≈ 0 esetén {r 0, θ 0, φ 0 =0} {r S, θ S, φ S } sorfejtés ε m és ε a szerint, ahol, (J^2+Q) 1/2 impakt paraméter a=0 esetén. : elhajlás szöge

22 Einstein-gyűrűk Ha B = 0 (forrás a lencse mögött):

23 Ívelem A görbületi invariánsok, pl. Killing-horizont, az időszerű Killing-vektor jellege változik A fekete lyuk forgásával egyirányú mozgás lehetséges, (Vishveshwara, 1968)


Letölteni ppt "A Kerr-téridő geodetikusai Elméleti Fizikai Iskola Budapest 2008.08.25-30."

Hasonló előadás


Google Hirdetések