Gazdaságinformatikus szak Operációkutatás I.

Az előadások a következő témára: "Gazdaságinformatikus szak Operációkutatás I."— Előadás másolata:

1 Gazdaságinformatikus szak Operációkutatás I.
Varró Zoltán

2 OPERÁCIÓKUTATÁS Varró Zoltán

3 Az operációkutatás tárgya
Angol elnevezések: Operations Research (amerikai) Operational Research (brit) Management Science Az operációkutatás optimumszámítási modellek megalkotásával és megoldási módszerek kidolgozásával foglalkozik. Varró Zoltán

4 Operációkutatási modellezés
A probléma verbális megfogalmazása: mi a cél és melyek a korlátozó tényezők. Adatgyűjtés, rendszerezés és feldolgozás: számvitel, statisztika, stb. A matematikai modell felállítása: változók, feltételek és célfüggvény. A modell megoldása, az eredmények értelmezése és érzékenységvizsgálat. Visszacsatolás: ha az eredmények nem ésszerűek, akkor a modellt módosítani kell. Varró Zoltán

5 OK modellek osztályozása
Determinisztikus modellek Lineáris programozás Hálózati modellek Többcélú optimalizálás és célprogramozás Egészértékű programozás Nemlineáris programozás Varró Zoltán

6 OK modellek osztályozása
Sztochasztikus modellek Döntés bizonytalanság esetén (Decision Analysis) Játékelmélet Markov láncok elmélete Sorbanállások elmélete Szimuláció Varró Zoltán

7 OK modellek osztályozása
Hibrid modellek Dinamikus programozás Készletgazdálkodási modellek Varró Zoltán

8 Történeti áttekintés 1736 Kőnigsbergi hidak problémája (Euler) 1788 Lagrange multiplikátorok 1826 Egyenletrendszerek megoldása (Gauss) 1902 Lineáris egyenlőtlenségrendszerek megoldása (Farkas Gy.) 1906 Pareto optimális (efficiens) megoldások 1907 Markov láncok Varró Zoltán

9 Történeti áttekintés 1936 A brit hadseregben először használják az „operational research" kifejezést "Mathematical Methods of Organization and Planning Production" (Kantorovics)1941 Szállítási feladat (Hitchcock) 1944 "Theory of Games and Economic Behavior" ( Neumann és Morgenstern) 1947 Szimplex módszer (G. B. Dantzig) Varró Zoltán

10 a szimplex módszer megalkotója
Történeti áttekintés George Dantzig ( ) a szimplex módszer megalkotója Varró Zoltán

11 Történeti áttekintés 1948 Első OK kurzus az MIT-n 1949 Monte Carlo szimuláció (Ulam, Neumann) 1950 Első OK folyóirat: Operational Research Quarterly 1950 Nash egyensúly (John Nash) 1950 Döntéselemzés (Edwards, Luce, Raiffa, Howard, Keeney) Varró Zoltán

12 Történeti áttekintés 1951 Első számítógépes szimplex algoritmus 1951 Nemlineáris programozás optimalitási feltételei (Kuhn és Tucker) 1957 Dinamikus programozás (Bellman) 1958 Egészértékű programozás (Gomory) 1959 Legrövidebb út probléma (Dijkstra) Varró Zoltán

13 Történeti áttekintés 1965 Célprogramozás (Charnes és Cooper) 1965 Hátizsák feladat (Dantzig) 1978 Data Envelopment Analysis (DEA), (Charnes, Cooper, Rhodes) 1979 Ellipszoid módszer LP feladat megoldására (Hacsijan) 1984 Belső pontos módszer LP feladat megoldására (Karmarkar) Varró Zoltán

14 Lineáris programozás Termelésprogramozási probléma Elméleti alapok
Szimplex algoritmus LP modellek készítése Dualitás (árnyékárak) Érzékenységvizsgálat Parametrikus programozás Varró Zoltán

15 Komód Kft. Potenciális termékek: szék , asztal , ágy
Erőforrások: fűrészáru , gépek , élőmunka Tökéletes verseny (konstans árak) a termékek és az erőforrások piacán. Mennyit termeljenek az egyes termékekből, hogy a nyereség maximális legyen? Varró Zoltán

16 Komód Kft. Fajlagos erőforrásigény: szék asztal ágy fűrészáru 3 m 6 m
gépóra 5 óra 8 óra 25 óra élőmunka 10 óra 40 óra Varró Zoltán

17 Komód Kft. Kapacitások: fűrészáru m gépóra óra élőmunka óra Erőforrások ára: fűrészáru Ft/m gépóra Ft/óra élőmunka Ft/óra Fix költség: 1 millió 500 ezer Ft Varró Zoltán

18 Komód Kft. A termékek ára: szék Ft/db asztal Ft/db ágy Ft/db Varró Zoltán

19 Komód Kft. Változó költségek: szék: 3x x x1000 = Ft asztal: 6x x x1000 = Ft ágy: 15x x x1000 = Ft Varró Zoltán

20 Komód Kft. Fedezeti nyereség: szék: − = Ft/db asztal: − = Ft/db ágy: − = Ft/db Vizsgáljuk meg egyenként a termékeket! Varró Zoltán

21 Komód Kft. x1 = a legyártott székek száma Összbevétel = x1 Összköltség = x Határbevétel = Határköltség = Mindaddig növelni kell a termelést, amíg a határbevétel meghaladja a határköltséget. Maximális kibocsátás: 300 db (szűk keresztmetszet: élőmunka) Veszteség: Ft. Varró Zoltán

22 Komód Kft. Asztal: Maximimális kibocsátás: 250 db (szűk keresztmetszet: fűrészáru) Nyereség: Ft Ágy: Maximális kibocsátás: 75 db (szűk keresztmetszet: élőmunka) Veszteség: Ft Gyártsanak 250 db asztalt? Varró Zoltán

23 Komód Kft. Az eddigi legjobb megoldás tovább javítható! Ha 1 asztal helyett 2 széket gyártanak, akkor - ugyanannyi fűrészáru kell, - 2-vel több gépóra kell, de még van 150 óra, - 10 órával több élőmunka kell, de még van 500 óra. Varró Zoltán

24 Komód Kft. Minden csere 2x4000 – 7300 = 700 forinttal növeli a nyereséget. Nyereséges termék helyett veszteséges terméket gyártva is növelhető a nyereség. 50 csere után az élőmunkaórák elfogynak. Optimális 100 db széket és 200 db asztalt gyártani? Hogyan határozzuk meg az optimális termékmixet? Varró Zoltán

25 Komód Kft. Lineáris programozási modell:
max z = 4000x x x3 3x1 + 6x x3  1500 5x x x3  2150 10x x x3  3000 x1, x2, x3  0 Lineáris célfüggvény Lineáris feltételi függvények Varró Zoltán

26 Grafikus megoldás Termelésprogramozási probléma:
Egy vállalat két termék gyártásához két erőforrást használ fel. Célja a maximális árbevétel elérése. Mennyit állítson elő az egyes termékekből? Varró Zoltán

27 Grafikus megoldás 1. termék 2. termék kapacitás 1. erőforrás 1 2 14
10 eladási ár 6 7 Varró Zoltán

28 Grafikus megoldás Változók: x1 = az 1. termékből gyártandó mennyiség
x2 = a 2. termékből gyártandó mennyiség Modell: max z = 6x1 + 7x2 x x2  14 x x2  10 x1, x2  0 Varró Zoltán

29 Grafikus megoldás x2 2. feltétel: x1 + x2  10 10
7 x1 10 14 Varró Zoltán

30 A lehetséges megoldások halmaza konvex négyszög.
Grafikus megoldás A lehetséges megoldások halmaza konvex négyszög. 0, 7 6, 4 [0, 0 10, 0 Varró Zoltán

31 Grafikus megoldás A lehetséges megoldások halmaza konvex, mivel véges sok konvex halmaz metszete. A lehetséges megoldások halmazának véges sok csúcspontja van. Varró Zoltán

32 Grafikus megoldás 6 7 A célfüggvény egy szintvonala: 6x1+ 7x2 = 42
A célfüggvény leggyorsabb növekedési iránya. 6 7 Varró Zoltán

33 Ha van optimális megoldás, akkor csúcspontban is van.
Grafikus megoldás Ha van optimális megoldás, akkor csúcspontban is van. Az optimális megoldás x1 = 6, x2 = 4. Varró Zoltán

34 Grafikus megoldás A lehetséges megoldások halmazának egyetlen belső pontja sem lehet optimális. Ha egy LP feladatnak van optimális megoldása, akkor a lehetséges megoldások halmazának legalább egy csúcspontja is optimális.  Elegendő a lehetséges megoldások halmazának csúcspontjait vizsgálni! Varró Zoltán

35 Szimplex módszer Ha feltételrendszert egyenletrendszerré alakítjuk, akkor a csúcspontokat algebrai úton elő tudjuk állítani. A csúcspontok száma igen nagy is lehet, ezért lehetetlen minden csúcspontot előállítani és kiszámítani a célfüggvény értékét. Varró Zoltán

36 Szimplex módszer A szimplex módszer alapgondolata: A lehetséges megoldások halmazának valamely pontjából kiindulva mindig nagyobb célfüggvényértékű szomszédos csúcspontra lépünk át, mindaddig, amíg az optimális csúcspontba nem jutunk, vagy ki nem derül, hogy a célfüggvény nem korlátos a lehetséges megoldások halmazán. Varró Zoltán