Az előadás letöltése folymat van. Kérjük, várjon

Az előadás letöltése folymat van. Kérjük, várjon

Készítette: Stettner Eleonóra és Teveliné Matejdesz Anikó Lineáris transzformáció sajátértékei és sajátvektorai A lineáris transzformáció invariáns alterei.

Hasonló előadás


Az előadások a következő témára: "Készítette: Stettner Eleonóra és Teveliné Matejdesz Anikó Lineáris transzformáció sajátértékei és sajátvektorai A lineáris transzformáció invariáns alterei."— Előadás másolata:

1 Készítette: Stettner Eleonóra és Teveliné Matejdesz Anikó Lineáris transzformáció sajátértékei és sajátvektorai A lineáris transzformáció invariáns alterei Lineáris transzformáció sajátértékének és sajátvektorának meghatározása TARTALOMJEGYZÉK

2 Készítette: Stettner Eleonóra és Teveliné Matejdesz Anikó Az L lineáris tér valamely L’ lineáris alterét a tér T(x) lineáris transzformációjára invariáns altérnek nevezzük, ha L’ minden elemére a T(x) is benne van az L’ altérben. x2x2 x3x3 α v T(v) Példák: α szögű elforgatás x3 tengely körül  x1, x2 sík invariáns altér  2 dimenziós invariáns altér x1x1 x2x2 T(v 1 )=v 1 v2v2 T(v 2 ) Tükrözés az x 1 tengelyre  x 1 tengely invariáns altér  1 dimenziós invariáns altér x 2 tengely is invariáns altér  1 dimenziós invariáns altér Fontosak az 1 dimenziós invariáns alterek A lineáris transzformáció invariáns alterei

3 Készítette: Stettner Eleonóra és Teveliné Matejdesz Anikó Egy  T skalárt az A lineáris transzformáció sajátértékének nevezzük, ha létezik olyan v  V nem nulla vektor, amelyre Av= v Egy v  V nem nulla vektort az A lineáris transzformáció sajátvektorának nevezzük, ha létezik olyan  T skalár, amelyre Av= v A sajátvektorok közül kizárjuk a 0 vektort, mert A0= 0 esetben a sajátérték tetszőleges lehet. A sajátértékek közül nem zárjuk ki a 0 skalárt, mert Av=0v=0, ekkor a sajátvektorok a magtér nem nulla elemei lesznek.

4 Készítette: Stettner Eleonóra és Teveliné Matejdesz Anikó TÉTEL: A komplex lineáris térben minden lineáris transzformációnak létezik legalább egy sajátvektora. Bizonyítás: Karakterisztikus polinom: | E – A| Karakterisztikus egyenlet: | E – A|=0 A karakterisztikus egyenlet -ban n-ed fokú egyenlet  n gyöke van, melyek között azonosak is lehetnek  n sajátérték van, azonosak is lehetnek közöttük, ezek a többszörös sajátértékek Egy sajátérték multiplicitása megmutatja, hogy a sajátérték hányszor fordul elő a karakterisztikus polinom gyökei között. Karakterisztikus mátrix: E – A

5 Készítette: Stettner Eleonóra és Teveliné Matejdesz Anikó 1. Az n-ed fokú karakterisztikus egyenlet megoldása  sajátértékek meghatározása A feladatok megoldásának lépései: 2. A kapott sajátértékek behelyettesítése ( E – A)x=0 homogén egyenlet- rendszerbe, az egyenletrendszer megoldása a sajátvektorokat (x) adja meg. Lineáris transzformáció sajátértékének és sajátvektorának meghatározása

6 Készítette: Stettner Eleonóra és Teveliné Matejdesz Anikó Példák: I. Határozzuk meg a következő lineáris transzformáció sajátértékeit és a hozzájuk tartozó sajátvektorokat: A karakterisztikus mátrix: A karakterisztikus polinom: A karakterisztikus egyenlet: Az egyenlet megoldásai a sajátértékek: 1 =2, 2 =5 1. A sajátértékek meghatározása:

7 Készítette: Stettner Eleonóra és Teveliné Matejdesz Anikó 2. A sajátvektorok meghatározása: 1 =2 sajátértékhez tartozó sajátvektor: Helyettesítsük be 1 =2 sajátértéket a K mátrixba: K1x=0K1x=0 x1x1 x2x2 x2x2 x1x x 1 =x 2, x 2 =t, x 1 = - t Minden t  0 esetén a sajátvektor: 2 =5 sajátértékhez tartozó sajátvektor: K 2 x=0

8 x1x1 x2x2 x1x1 x2x x 2 =2x 1, x 1 =t, x 1 = 2t Minden t  0 esetén a sajátvektor: Sajátérték, sajátvektor geometriai jelentése: 1 =2 A lineáris transzformáció a x’ sajátvektor irányába eső vektorokat (az x’ vektorral párhuzamos vektorokat) kétszeresére nyújtja Ax’= x’  Ax’=2x’ 2 =5 A lineáris transzformáció a x’’ sajátvektor irányába eső vektorokat (az x’’ vektorral párhuzamos vektorokat) ötszörösére nyújtja Ax’= x’  Ax’=5x’ A két sajátvektor (iránya) adja meg a két egy dimenziós invariáns alteret. Pozitív sajátérték  nyújtás a sajátvektor irányába, negatív sajátérték  tükrözés és nyújtás a sajátvektor irányába.

9 Készítette: Stettner Eleonóra és Teveliné Matejdesz Anikó II. Határozzuk meg a következő lineáris transzformáció sajátértékeit és a hozzájuk tartozó sajátvektorokat: A karakterisztikus mátrix: A karakterisztikus polinom: A sajátvektor meghatározása 1 =4+2i sajátértékhez x1x1 x2x2 x1x1 x2x2 -2+2i i0 x 2 =(2 – 2i)x 1 =tx 2 =(2 – 2i)t t0t0

10 Készítette: Stettner Eleonóra és Teveliné Matejdesz Anikó A sajátvektor meghatározása 1 =4 - 2i sajátértékhez x1x1 x2x2 x1x1 x2x i i0 t0t0

11 Készítette: Stettner Eleonóra és Teveliné Matejdesz Anikó III. Határozzuk meg a következő lineáris transzformáció sajátértékeit és a hozzájuk tartozó sajátvektorokat: 1 =1  kétszeres gyök 2 = - 1 A sajátvektor meghatározása 1 =1 sajátértékhez x1x1 x2x2 x3x3 x2x2 x3x3 x1x t0t0 A sajátvektor meghatározása 1 = - 1 sajátértékhez x1x1 x2x2 x3x3 x2x2 x3x3 x3x3 x1x x2x t0t0

12 Készítette: Stettner Eleonóra és Teveliné Matejdesz Anikó A lineáris transzformáció sajátértékei között akkor és csakis akkor fordul elő 0, ha a transzformáció mátrixa szinguláris Egy lineáris transzformáció mátrixának karakterisztikus polinomja a bázis megválasztásával szemben invariáns. Egy lineáris transzformáció sajátértéke minden bázisban ugyanaz, a sajátvektor nem a bázis megváltoztatásával transzformálódik. A lineáris transzformáció egy sajátértékéhez tartozó sajátvektorok alteret alkotnak. A lineáris transzformáció különböző sajátértékeihez tartozó sajátvektorok lineárisan függetlenek. Ha az n dimenziós tér egy lineáris transzformációjának n lineárisan független sajátvektora van, akkor ezeket választva bázisnak a transzformáció mátrixa diagonális lesz.

13 Készítette: Stettner Eleonóra és Teveliné Matejdesz Anikó Térjünk vissza az I. példához 1 =2 2 =5 Ha t =1 a1a1 a2a2 e1e1 a2a2 e1e1 e2e2 a1a /3 1/3 a2a Ez lesz az új bázis, amiben felírjuk a transzformáció mátrixát

14 Készítette: Stettner Eleonóra és Teveliné Matejdesz Anikó Az új bázisban a transzformáció mátrixa: Olyan diagonális mátrixot kaptunk, amelynek főátlójában a sajátértékek vannak. Az n dimenziós tér egy lineáris transzformációjának A mátrixa diagonális alakra hozható, ha n különböző sajátértéke van. n különböző sajátérték  n lineárisan független sajátvektor  ez bázis  ebben a bázisban felírva a lineáris transzformáció mátrixa diagonális A fenti állítás a mátrix diagonalizálhatóságának szükséges, de nem elégséges feltétele Ha nem minden sajátérték különböző, akkor is előfordulhat, hogy A mátrix diagonalizálható.

15 Készítette: Stettner Eleonóra és Teveliné Matejdesz Anikó Az n dimenziós lineáris térben, ha a lineáris transzformációnak létezik n független sajátvektora, akkor diagonalizálható transzformációnak nevezzük. A hasonlósági transzformációval diagonalizálható mátrixok az egyszerű struktúrájú mátrixok. Egy lineáris transzformáció akkor és csakis akkor diagonalizálható, ha minimálpolinomjának minden gyöke egyszeres gyök. (Szükséges és elégséges feltétel.) Minimálpolinom: Karakterisztikus polinom A karakterisztikus mátrix adjungált determinánsában az elemek legnagyobb közös osztója

16 Készítette: Stettner Eleonóra és Teveliné Matejdesz Anikó TARTALOMJEGYZÉK

17 Készítette: Stettner Eleonóra és Teveliné Matejdesz Anikó y=Ax a transzformáció egyenlete az egységbázisban x sajátvektor, ha valamely -ra teljesül az Ax= x egyenlőség. Átrendezve: x - Ax =0( E – A)x=0 paramétertől függő homogén lineáris egyenletrendszert kaptunk, amelynek akkor van a triviálistól különböző megoldása is, ha K= E – A szinguláris, ahol A-t karakterisztikus mátrixnak nevezzük. |K|=| E – A |=0 A determinánst kifejtve -ra n.ed fokú egyenlet adódik. Az algebra alaptételéből következik, hogy az egyenletnek van legalább egy valós, vagy komplex gyöke  0 ( 0 E – A)x=0 Így homogén egyenletrendszer adódik, amelynek van zérusvektortól különböző megoldása, mert 0 E – A mátrix szinguláris., tehát van a lineáris transzformációnak sajátvektora. Vissza


Letölteni ppt "Készítette: Stettner Eleonóra és Teveliné Matejdesz Anikó Lineáris transzformáció sajátértékei és sajátvektorai A lineáris transzformáció invariáns alterei."

Hasonló előadás


Google Hirdetések