Az előadás letöltése folymat van. Kérjük, várjon

Az előadás letöltése folymat van. Kérjük, várjon

Fraktálok. Iteráció  A természetben, a technikai megoldásokban gyakran találkozunk azzal a jelenséggel, hogy egy történés eredménye a megismétlődő történés.

Hasonló előadás


Az előadások a következő témára: "Fraktálok. Iteráció  A természetben, a technikai megoldásokban gyakran találkozunk azzal a jelenséggel, hogy egy történés eredménye a megismétlődő történés."— Előadás másolata:

1 Fraktálok

2 Iteráció  A természetben, a technikai megoldásokban gyakran találkozunk azzal a jelenséggel, hogy egy történés eredménye a megismétlődő történés kiindulópontjává válik. Ezt a jelenséget nevezzük visszacsatolásnak.  A matematikában hasonló elven működő számításokat iterációnak nevezzük.  Egy egyszerű iterációt mutat be az alábbi rekurzív definícióval megadott sorozat.

3 Példa iterációra: a n+1 =a n 2 n≥2 pl.: a 0 =0,6 0,36 0,1296 0,0168… 0,0003… … 0 a 0 =1,4 1,96 3, ,7579… 217,795…... ∞

4 Nemlineáris sor:a n+1 =a n 2 +c pl.:c = −1−1 a 0 =0,5 -0,75 -0, ,8085… -0,9492… -0,0985… -0,9902… -0,0194… -0,9996… -0,0007… (ahol c tetszőleges állandó)

5 c= −1 a 0 =1, , … 1, … 1, … 1, … 0, … -0, … -0, … -0, … -0, … c= −1 a 0 =1, , … 1, … 1, … 1, … 2, , … 12, … 151,204840… 22861,9036… ,7… a n+1 =a n 2 +c

6 Komplex számok  A komplex számok 2 részből állnak, s a koordináta síkon tudjuk őket ábrázolni.  A szám 2 része adja meg a két koordinátát.  Az x tengelyen mért koordináta a szám valós részét jelenti, míg az y tengelyen mért az ún. képzetes részt.

7  Az y tengelyen lévő egység neve i, jelentése √-1, amely számot R-ben nem találunk, de képzeljük el formálisan egy, ennek a szimbólumnak megfelelő számot, nevezzük el képzetes egységnek.  Komplex számok alakja és helye ily módon: pl.: z 1 =5+3i z 2 =-3+1i z 3 =2-2i valós rész k é p z e t e s r é s z z1z1 z2z2 z3z3 -2

8 Benoît Mandelbrot ( ) 11924-ben született Varsóban AA fraktálgeometria megalkotója. Róla nevezték el a - talán legismertebb fraktált -, a Mandelbrot-halmazt. AAz IBM kutatómunkatársaként ben először jelenítette meg számítógépén a Mandelbrot-halmazt. 22010. október 14-én hunyt el.

9 A fraktál szó eredete fractus(lat) : törött, töredezett fraktál Az elnevezés utal ezen alakzatok végtelen finom, töredezett szerkezetére és arra is, hogy dimenziójuk gyakran egy tört szám.

10 Hogyan lehet a dimenzió tört szám? hasonlósági dimenzió box-dimenzió

11 a a/2 A négyzet a oldalát a felére, vagyis egykettedszeresére csökkentettük. Az így kapott négyzetből viszont már négy darab kell az eredeti négyzet lefedéséhez. Box-dimenzió 2 D = 4 D = 2

12 3 D = 4 D = 1,26 Az ún. Koch-hópelyhet úgy hozhatjuk létre, hogy a háromszög egyik oldalát harmadrészére csökkentjük, és 4 ilyen vonalból hozunk létre egy tört vonalat az ábrán látható módon. A kitevő itt is a box-dimenziót adja meg, ami ebben az esetben tört szám lesz.

13 Több iteráció elvégzése után láthatjuk, hogy a fraktálunk szép hópehely-alakot formáz.

14 Színezés A többi pontot pedig tetszés szerint kiszínezzük aszerint, hogy hányadik lépés után szalad el a végtelenbe. Azokat a pontokat, amelyek végtelen iteráció után is a képernyőn maradnak, feketére színezzük.

15 (Kísérlet: fraktálnövesztés mézben, webkamerás élő kivetítés a vászonra)

16 Fraktálok a természetben A természetben gyakran találkozhatunk fraktálszerű képződményekkel. Erre látványos példa pl. a páfrány: Valódi páfránySzámítógép által generált fraktál

17 Ha figyelmesen megvizsgálunk több természeti képződményt, szintén fraktálszerű alakzatokkal találkozhatunk. Tibeti hegyvonulat Felhők kialakulása

18 Ez a kép valóságosnak tűnik… Pedig teljes egészében számítógép által lett generálva, mégpedig a fraktálgeometria segítségével. Filmekben gyakran alkalmazzák ezt a módszert hátterek, tájképek készítéséhez.


Letölteni ppt "Fraktálok. Iteráció  A természetben, a technikai megoldásokban gyakran találkozunk azzal a jelenséggel, hogy egy történés eredménye a megismétlődő történés."

Hasonló előadás


Google Hirdetések