Lineáris egyenletrendszerek megoldása

Az előadások a következő témára: "Lineáris egyenletrendszerek megoldása"— Előadás másolata:

1 Lineáris egyenletrendszerek megoldása
Előadó: Beregszászi István

2 Módszerek Direkt Iteratív Kiküszöbölési eljárás (direkt módszer)
Fokozatos közelítés (iteratív módszer)

3 Lineáris egyenletrendszer

4 Gauss elimináció Gauss-féle kiküszöbölési eljárás (Gauss elimináció)
A lineáris egyenletrendszer sorozatos átalakításokkal először felső háromszög mátrixú egyenletrendszerré alakítjuk, melyből sorozatos visszahelyettesítéssel megkapjuk a megoldásvektor elemeit.

5 Gauss elimináció

6 Gauss elimináció

7 Gauss elimináció

8 Gauss elimináció

9 Gauss elimináció részleges főelem-kiválasztással
Ha az együtthatók különbsége nagy, és a főátlón lévő elem (az osztó) értéke kicsi, a megoldás során jelentős hiba keletkezhet. Jobb eredményt kapunk, ha az i-edik ismeretlent az egyenletnek abból az egyenletéből küszöböljük ki, ahol az ismeretlen együtthatója abszolút értéke a legnagyobb. A módszert részleges főelem-kiválasztásnak nevezzük.

10 Részleges főelem-kiválasztás

11 Gauss elimináció teljes főelem-kiválasztással
Ha a Gauss eliminációs módszerben a kiküszöbölendő változó kiválasztásnál a k-ik lépésben nem feltétlenül a k-ik ismeretlent küszöböljük ki, hanem helyette az összes szóba jöhető elemből választott legnagyobb abszolút értékű elemmel generáljuk az eljárást, akkor a módszert teljes főelem-kiválasztásúnak nevezzük.

12 Teljes főelem-kiválasztás

13 Gauss-Jordan módszer A Gauss-Jordan módszerben a főátlón lévő ismeretlenek együtthatóit egyesekre alakítjuk, minek folytán a szabad változók értékei lesznek majd az egyenletrendszer megoldásai. A módszer alkalmazása során a k-ik közelítésben a k-ik sor együtthatói az képlettel, míg a k-tól különböző i-edik sor együtthatói az képlettel számolhatók ki. Ilyekor az i-ik ismeretlent nem csak az i+1-ik, i+2-ik, … , n-edik egyenletből is kiküszöböljük és így a kiküszöbölés befejezés után már meg is kapjuk az ismeretleneket.

14 Gauss-Jordan módszer

15 Jacobi iteráció Jacobi iteráció (fokozatos közelítés módszere)

16 Jacobi iteráció Közelítések: - kezdő értékek
a közelítések konvergálnak, ha a főátlón lévő elemek dominálnak

17 Gauss-Seidel módszer Az kiszámításakor már ismerjük az
közelítéseket, és ezeket fel is használjuk

18 Példa