Az előadás letöltése folymat van. Kérjük, várjon

Az előadás letöltése folymat van. Kérjük, várjon

5.1 Kiválasztási axióma 1 VÉGTELEN HALMAZOK 5. VÉGTELEN HALMAZOK Másképp: nemüres halmazok bármely családjának a szorzata nem üres.

Hasonló előadás


Az előadások a következő témára: "5.1 Kiválasztási axióma 1 VÉGTELEN HALMAZOK 5. VÉGTELEN HALMAZOK Másképp: nemüres halmazok bármely családjának a szorzata nem üres."— Előadás másolata:

1 5.1 Kiválasztási axióma 1 VÉGTELEN HALMAZOK 5. VÉGTELEN HALMAZOK Másképp: nemüres halmazok bármely családjának a szorzata nem üres.

2 2 Def Rövidítés: B majorálja A-t. Ha B majorálja A-t, de nem ekvivalensek, akkor B szigorúan majorálja A-t. Példa: Legyen B:= Z, A:= 2Z (páros számok halmaza). B  A, mert  : B  A,  (x) := 2x, bijekció, és

3 Kérdések: trivi igaz, nem biz. Cantor-tétel Schröder-Bernstein-tétel 3

4 4 Schröder-Bernstein-tétel: Biz. Feltehetjük, hogy X, Y diszjunkt halmazok és legyen f: X  Y, g: Y  X injektív függvény. Utódok (ősök) sorozata: x  X esetén f(x), g(f(x)), f(g(f(x))), … „Árva” : olyan X \ g (Y) vagy Y \ f(X) beli elem, amelynek nincs „őse” a másik halmazban. árvába torkollik végtelen

5 5 Legyen X X = X \ g (Y)  { az X \ g (Y)-beli elemek X-beli utódai } Legyen X Y = { az Y \ f(X)-beli elemek X-beli utódai } Legyen X  = { X-beli elemek, amelyeknek nincs árva őse } X XYXY XX f(X  ) = g  1 (X  ) = Y  f(X X ) = Y X g  1 (X Y ) = Y Y

6 6 Biz. f bijektív és  y  X : f(y) = Y  y  Y y  Y = f(y)

7 7 5.2 Megszámlálható halmazok

8 8 Biz. Ha X véges  X nem lehet végtelen, mert lenne  többi trivi

9 9 Biz.

10 10 Biz. esetén legyen bijekció f :

11 11 Biz. A = A 1  A 2  … Diszjunkt halmazokat csinálunk: A 1 ’ = A 1, A 2 ’ = A 2 \ A 1 ’, A 3 ’ = A 3 \ (A 1 ’  A 2 ’)...

12 12 A i ’ halmazokra igaz: 1. A i ’  A i  i -re. 2. A = A 1 ’  A 2 ’  A i ’  A j ’ =   olyan i, j esetén, ahol i  j. Feltétel  A i ’ halmazok sorbarendezhetők : A 1 ’ = { a 11, a 12, a 13,...}, A 2 ’ = { a 21, a 22, a 23,...}, A 3 ’ = { a 31, a 32, a 33,...},

13 13 Biz. Z = N +  {0}  N  Tétel  megszámlálható  is

14 Biz. 14 diszjunktság miatt helyettesítsük X-et X \ Y-nal Legyen Z  Y megszámlálható végtelen, f : Z  X  Z bijekció, és g : Y  X  Y bijekció !

15 15 Biz. Tfh Y véges 4. fejezet  nem lehet ekvivalens saját valódi részhalmazával Tfh Y végtelen, x  Y, és legyen Z = { x }, X = Y \ Z Y = X  Z ~ X végtelenmegszámlálható tétel

16 Nem megszámlálható halmazok Biz.

17 17 Biz.* A N-en értelmezett karakterisztikus függvénye N összes véges részhalmaza: megszámlálható sok N összes végtelen részhalmaza f leképezés f bijekció

18 Lemma. nem megszámlálható számosságú. 18 Biz. Előzőekből tudjuk: (0,1)  [0,1)  [0,1]  R. Legyen A = {x  x  R, 0  x < 1}. Probléma: a szokásos módon nem tudjuk leírni a 0 egészrészű számokat: 0, ,  vizsgálatunk tárgya: B = {x  x 0-val kezdődő tizedestört, és nem tartalmaz valamely helytől kezdve csupa 9-est}.

19 19 Próbáljuk meg B halmazt sorbarendezni ! x 1 = 0,a 11 a 12 a x 2 = 0,a 21 a 22 a x 3 = 0,a 31 a 32 a y = 0,b 1 b 2 b 3... b k  a kk, b k  [0..8].... y  [0, 1) és y  B, de y  x i !

20 20 Biz. megszámlálható végtelen = X

21 Kontinuumhipotézis: Nem létezik olyan X halmaz, amire NX  (N). Általánosított kontinuumhipotézis: YX  (Y). Tetszőleges Y halmazra nem létezik olyan X halmaz, amire Válasz: ZFC-ben egyik sem cáfolható és egyik sem bebizonyítható! Gödel 1939 Cohen


Letölteni ppt "5.1 Kiválasztási axióma 1 VÉGTELEN HALMAZOK 5. VÉGTELEN HALMAZOK Másképp: nemüres halmazok bármely családjának a szorzata nem üres."

Hasonló előadás


Google Hirdetések