Az előadás letöltése folymat van. Kérjük, várjon

Az előadás letöltése folymat van. Kérjük, várjon

Fourier transzformált, szűrés frekvenciatartományban

Hasonló előadás


Az előadások a következő témára: "Fourier transzformált, szűrés frekvenciatartományban"— Előadás másolata:

1 Fourier transzformált, szűrés frekvenciatartományban
Vámossy Zoltán 2004 Gonzales – Woods: Digital Image Processing, Prentice Hall, alapján

2 Témakör Fourier sorok, Fourier transzformált (FT)
Fontosabb tulajdonságok A szűrés lépései frekvenciatartományban Alul áteresztő (low pass - LPF), felül áteresztő (high pass - HPF) szűrők Homomorf szűrők

3 Miért FT? – 1

4 Miért FT? – 2 Szűrés: 1. a kép Fourier transzformáltját szorozzuk a szűrő-függvény Fourier transzformáltjával H(u,v) 2. Inverz Fourier tr. segítségével visszatérünk képtartományba

5 Példa FT-re

6 Fourier sorok Fourier sorok (SF) egy véges TF intervallumon bármely függvényt közelítik TF intervallumon kívül, SF periodikusán ismétlődik TF periódussal.

7 Fourier sorok (folytatás)
TF az s(t) jelnek az intervalluma, amely felett a Fourier sorozat megjelenik fF = 1/TF a Fourier soros reprezentáció alapfrekvenciája (alap harmonikus) n a “harmonikus szám” 2fF az alapfrekvencia (fF) második harmonikusa A Fourier sor mindig periodikus és lineáris kombinációja fF frekvenciájú szinuszoknak és azok harmonikusainak

8 Fourier transzformáció (FT)
Frekvencia tartományban leírás cn (0,0) u nfF v

9

10 1-D Fourier transzformáció
CFT Folytonos Fourier Tr. DFT Diszkrét Fourier Tr. Fourier tr.: Inverz FT: Komplex alak: Fourier spektrum Teljesítmény spektrum (spektrál sűrűség) Fázis szög:

11 2-D Fourier transzformáció
CFT DFT

12 Impulzus transzformált R. N
Impulzus transzformált R. N. Bracewell’s “Two-Dimensional Imaging,” Prentice Hall, 1995.

13 Néhány példa Gauss  Gauss Gauss rámpa Vonal impulzus

14 2D FT Pairs

15 Az FT fontos tulajdonságai
Egyszerű számíthatóság és implementálhatóság Lineáris (disztributív és skálázható) Szeparálható (felbontható oszlop és sor műveletek egymás utáni végrehajtására) Eltolási tulajdonság Periodicitás Konjugált szimmetria Elforgatási tulajdonság Konvolúciós tétel Korrelációs tétel Mintavételezés …

16 A Fourier transzformáció megértése és implementálása
y (0,0) (0,0) y (0,0) v 255 255 x x u f(x,y) |F(u,v)| f(x,y)(-1)x+y

17

18 A Fourier transzformáció megértése és implementálása
Az “eltolási tulajdonság” (lásd később) értelmében: y y (0,0) (0,0) -255 v -0 255 (0,0) x x u |F(u-M/2,v-N/2)| f(x,y) f(x,y)(-1)x+y

19 Linearitás FT lineáris képfeldolgozó módszer Lineáris rendszer y1(t)
x1(t) y2(t) x2(t) a*x1(t) + b*x2(t) a*y1(t) + b*y2(t)

20 Szeparálhatóság f(x, y) F(x, v) F(u, v) Sor tanszformáció
Oszlop transzf. f(x, y) F(x, v) F(u, v)

21 Eltolási tulajdonság

22 Periodicitás és konjugált szimmetria
Ha f(x, y) valós, akkor Fourier transzformáltja konjugált szimmetrikus Fourier transzformált spektruma szimmetrikus

23 Példa – eltolt és log skálázott FT

24 Példa – periodicitás és eltolás

25 Elforgatás

26 Átlag Átlag: a transzformáció értéke (u, v) = (0, 0)-ban a kép átlaga

27 A Laplace transzformált frekvencia tartományban

28

29 Konvolúció Folyamatos és diszkrét konvolúció Konvolúciós tétel:
A képtérben számított konvolúció a gyakorlatban gyorsabban számítható a frekvenciatartományban elem-elem szorzással egy bizonyos méret felett

30 Korreláció Folytonos és diszkrét korreláció Korrelációs tétel

31 Autokorreláció Autokorreláció (önmagával vett kereszt korreláció)
Autokorrelációs tétel Alkalmazás: mintaillesztés

32 Szűrés főbb lépései (FTIFT)
f(x,y)(-1)x+y g(x,y)(-1)x+y

33 Szűrés frekvencia tartományban
Szorozzuk meg az input képet (-1)x+y értékkel, hogy a transzformált eredmény majd középre kerüljön, az (u = M/2 és v = N/2) (ha M és N páros, akkor az eltolás koordináták egészek) Számoljuk ki F(u,v)-t, az (1) kép DFT-ját Szorozzuk meg F(u,v)-t H(u,v) szűrő fgv-nyel Számoljuk ki (3) inverz DFT-ját (4) valós részét tekintsük Az (5) eredményét szorozzuk meg (-1)x+y értékkel, hogy a képet “visszatoljuk”

34 Szűrés frekvencia tartományban
FFT Kép spektrum Pixel-pixel szorzás Szűrt spektrum Szűrő maszk Inverz FFT Szűrt kép

35 Maszk alapú (ablakos szűrők) Szűrés frekvencia tartományban
Pont alapú Egyszerű intenzitás transzformációk Kép negálás Log transzformációk Hatvány transzformációk (gamma korrekció) Kontraszt növelés Intenzitás tartomány kiemelés Bit síkok kiemelése Hisztogram alapú Hisztogram kiegyenlítés Hisztogram illesztés Aritmetikai/logikai műveletek Képkivonás Kép átlagolás Maszk alapú (ablakos szűrők) Simító szűrők (részletek elmosása) Átlagoló, súlyozott átlagoló Gauss szűrő Binomiális szűrő Rank order szűrők (pl. median) Élesítő szűrők (részletek kiemelése) Élesítés Felül erősítés Differencia szűrők Laplace Gradiens Szűrés frekvencia tartományban Simító szűrők (részletek elmosása) Ideális alul áteresztő Butterworth alul áteresztő szűrő Gauss alul áteresztő Élesítő szűrők (részletek kiemelése) Élesítés Felűl erősítés Laplace Ideális felül áteresztő Butterworth felül áteresztő szűrő Gauss felül áteresztő szűrő Homomorf szűrő

36 Notch filter Ez a szűrő az F(0,0) értéket hangsúlyozza, ami a a kép átlagos értéke (a spektrum dc komponense) Kiemelkedő élek az outputban Az output képet (annak negatív és 0 értékei miatt) skálázni kell!

37 Különböző szűrők Lowpass filter - alul áteresztő szűrő
Highpass filter - felül áteresztő szűrő Band filter - sávszűrő Homomorf szűrő (homomorphic filter)

38 Tipikus szűrőalakok E: frekvencia tartomány W: képtartomány

39 Alul áteresztő szűrő (kép lassan változó komponensei)
Ideális szűrő (ILPF) D(u, v): (u, v) pont távolsága az origótól Vágási frekvencia (D0) Fizikailag nem valósítható meg Körkörösen szimmetrikus Butterworth szűrők (BLPF) Gauss-féle alul áteresztő szűrő

40 Simító szűrők frekvencia tartományban: Ideális alul áteresztő szűrő (ILPF)

41 Teljesítmény körök (power circles)

42 Példa - ILPF Teljes teljesítmény spektrum
A teljesítmény spektrum nagy része relatíve kis körben helyezkedik el Hirtelen vágási frekvencia miatt begyűrűzés

43 Begyűrűzés példa Begyűrűzés (ringing) Maszk: -1/8 1 -1/8 Input:
Output: 0 0 -1/8 7/8 7/8 -1/8 0 0

44 Teljesítmény százalékok
99.9699.6599.0497.84

45 Butterworth alul áteresztő szűrő: BLPF

46 Példa - BLPF

47 BLPF térbeli reprezentációja

48 Gauss alul áteresztő szűrő: GLPF

49 Példa - GLPF

50 Példa - GLPF

51 Felül áteresztő (gyorsan változó komponensek: élek, zajok)
Ideális felül áteresztő (IHPF) Butterworth felül áteresztő (BHPF) Gauss felül áteresztő (GHPF)

52 A felül áteresztőknél adjunk hozzá a szűrő magasságának ½-ét

53

54 Az IHPF, BHPF és GHPFfelül áteresztő szűrők térbeli reprezentációja

55 Példa: IHPF

56 Példa: IHPF

57 Példa: BHPF

58 Példa: GHPF

59 Élesítő szűrők Homomorf szűrő

60 Homomorf szűrés Egyszerű képmodell:
f(x,y): monokróm kép szürkeségi értéke (vagy más szóval intenzitása) f(x, y) = i(x, y).r(x, y) 0 < i(x, y) < ∞, megvilágítás 0< r(x, y) < 1, visszaverődés (reflexió)

61 Homomorf szűrés A megvilágítás komponens Reflexiós komponens
Térben lassan változik Alacsony frekvenciás Reflexiós komponens Hirtelen változások, főként nem hasonló objektumok találkozásánál Magas frekvenciás Homomorf szűrők (Homomorphic filters) Az alacsony és a magas frekvenciákra eltérően hat Az alacsonyfrekvenciák dinamikus tartományát összenyomja Kiemeli a magas frekvenciákban a kontrasztot

62 Homomorf szűrés

63 Példa – Homomorf szűrés

64 Ellenőrző kérdések Kép Fourier spektruma mit jelent?
Milyen egy függőleges vonal Fourier spektruma és miért? Mi történik a Fourier spektrummal, ha a térbeli koordinátákat skálázzuk?

65 Praktikus megfontolások – konvolúció implementálása frekvencia tartományban
Intenzitástartományban Frekvencia tartományban f*g  F(f)G(g) Fázis? Amplitúdó nagyság? Hogyan egészítsük ki 0-kal (pad)?

66

67

68

69


Letölteni ppt "Fourier transzformált, szűrés frekvenciatartományban"

Hasonló előadás


Google Hirdetések