Az előadás letöltése folymat van. Kérjük, várjon

Az előadás letöltése folymat van. Kérjük, várjon

Kvantum informatika. Kvantum és klasszikus fizika Klasszikus fizika: A világnak leegyszer ű sített ugyanakkor elképeszt ő en pontos leírása. Pontszer.

Hasonló előadás


Az előadások a következő témára: "Kvantum informatika. Kvantum és klasszikus fizika Klasszikus fizika: A világnak leegyszer ű sített ugyanakkor elképeszt ő en pontos leírása. Pontszer."— Előadás másolata:

1 Kvantum informatika

2 Kvantum és klasszikus fizika Klasszikus fizika: A világnak leegyszer ű sített ugyanakkor elképeszt ő en pontos leírása. Pontszer ű test leírása: r(x,y,z) + v(v x,v y,v z ) r = r(x 0,y, 0,z 0 ) és v = v(v x0,v y,0 v z0 )  r(x 1,y 1,z 1 ) és v(v x1,v y,1 v z1 ), szigorúan kauzális Kvantum fizika: Pontszer ű részecske a térben kiterjedten mozog, amit a ψ (r,t) hullámfüggvénnyel írunk le. Benne van minden az r-r ő l, P-r ő l és még sok mindenr ő l. Id ő beli változását a Schrödinger-egyenlet adja meg: H ψ = E ψ, ahol:

3 Hilbert – tér: f,g: C  C, ekkor, a két függvény skalárszorzata: Ez a hullámfüggvénnyel jellemezhet ő kvantumállapotok Hilbert- tere Geometriai fogalmakkal lehet leírni olyan elemek halmazát, amelyek között definiálható az összeadás és a skalárszorzat. Összeadás: Szuperpozíció Skalárszorzat: Kvadratikus Born-szabály biztosítja: P = | ψ (r,t)| 2 d 3 r megtalálási valószín ű ség L 2 -beli függvények alkotják

4 1.: Hullámfüggvény Hilbert-térbeli reprezentációja: | ψ (t)>= Σ n c n (t)|n>, ahol: |n> (n=1,2,…) jele egy u n (r) hullám-függvényekb ő l álló ortonormált bázisnak: = δ mn | ψ (t)>= Σ n |n>, Σ n |n>

5 Mérés, Unitér operátor Bázisváltás: Áttérünk |m>  | α > | ψ >= Σ m c m | m > = Σ α d α | α >  d α = Σ U α m c m U:= transzformációs mátrix Fizikai mennyiségnek megfelel ő operátorok mátrixának transzformáltja: =(U A U -1 ) αβ U unitér mátrix: U + U=1, ui.: (U -1 ) αβ = (U αβ )*  A bázisváltás nem változtatja meg a kvantumállapot normálását.

6 Izolált rendszer Egy elszigetelt kvantumrendszer transzformálása: | ψ (t)>= U(t) | ψ (0) >, ahol Ez mindig unitáris, de nincs valóban elszigetelt rendszer (Esetleg az egész Univerzum?) Hogyan írható fel egy valós rendszer Schrödinger egyenlete? Rendszer: Q, Környezete: T Felírjuk Q változásának Schrödinger – egyenletét. Ez nem unitáris (mivel a projekció nem unitáris)

7 Informatika és Kvantummechanika 1. Tekinthetünk a Természetre úgy, mint egy információs processzorra? 2. Tudja-e egy számítógép szimulálni az egész Természetet? A válasz az els ő re igen: | ψ (t)> ↔ Absztrakt egység, mely pontosan tartalmaz mindent Q-ról. Ugyanakkor nem csak | ψ (t)> egy teljes leírása Q-nak.

8 Church - Turing tézis Minden formalizálható probléma, ami megoldható algoritmussal, az megoldható Turing-géppel vagy lambda- kalkulussal is. Church Turing princímium (1985): Minden valóságos és véges fizikai rendszer tetsz ő leges közelítéssel szimulálható egy univerzális számítógépen véges er ő forrással.  Ez nem utal Turing gépre

9 Kvantum számítógép Klasszikus Bitek  kvantum állapotok alakulása Lehetséges Univerzális Turing gép Klasszikus számítógép nem tudja szimulálni a Természet bizonyos viselkedéseit. Lehet ő ség van új fajta számoló eljárást kifejleszteni, ami különbözik klasszikus számítógép tudománytól.

10 EPR Paradoxon

11 EPR Paradoxon leírása Az EPR-paradoxon Bohm által adott (EPRB-paradoxonnak is nevezett) megfogalmazásában egy forrás két elektront bocsát ki, amelyek együttes spinje nulla, és mindkett ő a pozitív és a negatív spin kvantum szuperpozíciójában van, (azaz a két részecske összefonódott állapotban van). A részecskék eléggé eltávolodnak egymástól ahhoz, hogy fénysebességnél lassabb kölcsönhatás ne jöhessen közöttük számításba. Ha ezek után a két részecske spinjét megmérjük a (tetsz ő legesen választott) z tengely mentén, azt kapjuk, hogy ellentétes spin ű ek. Ha az x tengely mentén mérjük meg, ugyanezt kapjuk. A másodjára mért részecskénél tehát a mérés eredménye determinisztikus (az els ő részécskénél mért érték ellentéte). A Heisenberg-féle határozatlansági reláció szerint egy részecske spinje két, egymásra mer ő leges irányban egyszerre nem mérhet ő meg. Így, ha megmérjük az els ő részecskén a z, majd a másodikon az x tengely menti spint, a második részecske x irányú spinje nem lehet ellentéte az els ő részecske mérések el ő tti spinjének, mert akkor az els ő részecske mindkét iránybeli spinjét ismernénk. Így tehát az els ő részecske z irányú mérésének valahogy „el kell rontania” a második részecske x irányú spinjét, éppúgy, ahogy a saját x irányú spinjét elrontja. A két részecske azonban – ha a lokalitást elfogadjuk – túl messze van ahhoz, hogy bármiféle kölcsönhatás felléphessen közöttük.

12 EPR Paradoxon El ő zmények: - Honnan tudják a detektorok, hogy az egyik megszólalt? Kétfoton állapot nem két foton állapot Einstein – féle nonszeparabilitás 1935: Ha szétrepül ő 2 részecskék 2 független rendszert alkotnak, akkor a kvantummechanika nem teljes, ui. ellentmondásra jutunk. 1965: Egy szinglett állapotú részecskepárt kell szétrepíteni, akkor a spinvetületét megmérve (Stern-Gerlach k.) tökéletes antikorrelációt kapunk.

13 „EPR követelmények” Tökéletes antikorreláció Lokalitás: A 2. rendszer állapotát nem befolyásolhatja, hogy mit mérünk az els ő n. Valóság: 2. spinvetület értékét az els ő mérés után a rendszer megzavarása nélkül biztosan tudjuk, ezért „egy eleme a fizikai valóságnak”, ami kvantummechanikában nincs benne. Teljesség Ma: A kvantummechanika teljes, de csak a kétrészecske – állapotok a valóságosak, amelyek egy részecske spin vetületét megmérve meghatározhatók, a második mérés ezt csak ellen ő rizheti.  Ez nem lokális kapcsolat Jeladásra nem használható.

14 Bell, 1964 Véletlen = Rejtett paraméterek, hiányos a leírás Lokális rejtett paraméter idézi el ő az (anti)korrelációt Bell kérdése: Le lehet-e írni a tökéletes antikorrelációt egy lokális közös okkal, vagy egy véletlen paraméterrel, amelyek egyes értékeihez ( ↑, ↓ ), másokhoz ( ↓, ↑ ) tartozik? Ha a két spin vetülete nem párhuzamos a Stern-Gerlach analizátorral mérjük  Válasz: NEM.

15 A Kísérlet Két SG irány egységvektora: a = (sin θ 1 cos φ 1, sin θ 1 sin φ 1, cos θ 2 ) b = (sin θ 2 cos φ 2, sin θ 2 sin φ 2, cos θ 2 ) Mindkett ő höz tartozzon egy detektorpár  Egyikhez +1 a másikhoz -1 tartozik, ħ /2 egységekben mérve Amikor a forrás kibocsájt egy részecske párt, akkor az szinglett állapotban van: A két oldalon egy-egy detektor megszólal, a két oldali eredményeket összeszorozva +1 vagy -1-et kapunk Átlagoljuk a méréseket: E ψ (a,b)= -a b

16 Cél az volt, hogy találjon olyan kísérletsorozatot, amelyben a kvantummechaniai eredményt nem lehet reprodukálni lokális rejtett paraméteres modellel. CHSH: Koincidenciák: ++, +- ….  1. analizátor iránya: a vagy a’ 2. analizátor iránya b vagy b’ : |E(a,b) – E(a,b’) + E(a’,b) + E(a’,b’)| ≤ 2 Könny ű olyan a,b,a’,b’ vessz ő irányokat találni, melyek sértik az egyenl ő tlenséget. Ezekbe az irányokba állítva az analizátorokat, a kísérletek a CHSH (Bell) egyenl ő tlenséget megsért ő eredményt adnak Cáfolat a lokális rejtett paraméterek feltevésének

17 Aliz és Bob Aliz és Bob mérik a spin komponenseket különböz ő tengelyeken: x’,z’, amelyek az x-z síkon vannak. Mindkét mérés eredménye + vagy -. Mindkét válasz valószín ű sége egyforma: sin 2 (( φ A - φ B )/2), ahol φ A, φ B tengelyek x’ z illetve z’ z tengelyek között. Eredmények: φ A = φ B  Ellentétes, 0 φ A = φ B  Egyenl ő,1 φ A - φ B = 120  3/4

18 Kvantum Információk

19 Qbitek Kvantumbit: bit = 0 vagy 1, addig a qbit két állapot szuperpozíciójában is képes lenni. n db qbit a Hilbert térben 2 n dimenziós teret alkot, ami 2 n kölcsönösen ortogonális kvantumállapot. Például: 3 regiszteres qbit: | ψ >=a|000>+b|001>+c|010>+d|011>+e|100>+f|101> +g|110>+h|111>, ahol a,..h є C Egy kvantum regiszter leírásához exponenciálisan növekv ő számú komplex szám szükséges (a fenti 3-qubites regiszter leírásához 2 3 = 8 komplex szám szükséges). A valamely kvantumállapot becslésére szükséges klasszikus bitek száma a qubitek számával exponenciálisan n ő (n  2 n ). Egy 300 qubites kvantum regiszterhez nagyságrend ű klasszikus regiszter szükséges, ami több, mint ahány atom van a megfigyelhet ő világegyetemben

20 Qbitek hordozói Mezoszkópikus kvantumrendszerek, makro- és mikro rendszerek között Repül ő qbit: A foton, többféle módon kódolható bele egy qbitnyi koherens információ.  Lineáris polarizáció Cirkuláris polarizáció Id ő ben szétválasztott imp. Pár Foton hullámcsomagok lelassítása gondot okoz Fotonokkal gyorsan lehet számolni, de át kell írni tömeges adathordozókról qbitre Szilárdtest rendszer; Kvantum - pötty Keresztezett lézersugarak Chipek, stb.

21 Kvantum kapuk 1. Qbitek egyszer ű unitáris operátorai. Például: |0>  |0> és |1>  exp(i ω t)|1>, akkor t id ő elteltével a m ű veletet elvégezzük a qbiten, azaz: P = |0>

22 Kvantum kapuk 2. I ≡ |0> <1| Identitás X ≡ |0> <0| Nem Z ≡ P( π ) Y ≡ XZ H ≡ (1/√2)[(|0>+|1>) - |1>)<1|] Az unitáris operátorok két qbiten végeznek m ű veletet, de: |0> <1| X U, ahol I: szinglett - qbit identitás operátor U: szinglett –qbit Irányított-NEM (Controlled-NOT): |00>  |00> ; |01>  |01> |10>  |11> ; |11>  |10> a  a, b  a X b X: XOR ÉS (AND): 3 qbit „ Irányított-Irányított-NEM” kapu: a  a, b  b, 0  ab

23 Klónozás? Az eredeti és a klón közös Hilbert-térben rávetítene egy olyan altérre, ahol a klón és az eredeti megegyezik, azaz projektor, ami nem lehet unitér transzformáció. Ugyanakkor dekoherencia bevezetésével a projektorok is megvalósíthatók. DE: Ha egy kvantumállapotra elkészítjük ezt a projektort, az már egy másik állapotra nem m ű ködik.

24 Nincs klónozás Egy kvantum állapot nem klónozható / másolható Készítsünk| α > -ról másolatot: U: unitér operátor  U(| α >|0>)=| α >| α > U nem függ α -tól, így U(| β >|0>)= | β >| β > Összefonódott állapotuk | γ >=(| α >+ | β >)/√2, ekkor: U(| γ >|0>)= (| α >| α >+ | β >| β >)/√2≠| γ >| γ >  Hiba történt a másoláskor Kontraszt a klasszikus másolással C-NOT vagy XOR |0>-t vagy |1>-et „másolhat”, de már gond lehet a |+>=(|0>+|1>) √2 és a |->=(|0>-|1>)/ √2 állapotoknál is.

25 Következmény Nincs klónozás és az EPR paradoxonnal azt mutatja, hogy kvantum mechanika konzisztens. Ha van klónozás  EPR korrelációval lehet a fénysebességnél gyorsabban üzenni.

26 Sűrű kódolás 1. Qbitek alkalmasak információ tárolásra és küldésre. Például: Klasszikus string Aliz: |00101> Bob: Tudja tömöríteni az információt mindegyese qbit mérésével a {|0>,|1>} alapján. Aliz és Bob: |00> + |11> állapotban vannak Soha nem beszéltek még Aliz küld 2 klasszikus bitet, Bob 1 qbitet (Bennet és Weisner, 1992) Bell bázis: Kölcsönösen ortogonális állapotok: |00>+|11>, |00>-|11>,|01>+|10>,|01>-|10>

27 Sűrű kódolás 2 Aliz legenerálja valamelyik Bell bázis állapotot a qbit-jén az {I,X,Y,Z} operátorokkal. 4 lehet ő sége van, hogy a választása 2 klasszikus bitet reprezentáljon. Elküldi Bobnak, akinek vissza kell fejteni, melyik bázis állapotban van a qbit.  XOR kapu: |00> ±|11>-t ő l |01> ±|10>-ig Megtalálja a jelet egy szuperponált állapotban, H operátorral megméri a maradékokat. Nehezen megvalósítható Nem praktikus a klasszikus kommunikációban

28 Kvantum Teleportáció 1. Egy rendszer tetsz ő leges kvantum állapotát átmásolni lehet egy másik rendszerre úgy, hogy az eredeti megváltozik megvalósítható. Alapm ű velet Másolás: Foton  Atomos hordozók vagy vissza megfelel egy kvantumszámítógép memória m ű veleteire: írás-olvasás Egy összefonódott részecskepárt pl. polarizált szinglett fotonpárt használ átvitelre A fotonpárt szétküldjük az információt leadó ill. felvev ő rendszer felé. Ezután:

29 Határozzuk meg kvantumméréssel a teleportálandó állapotú rendszerek és a pár hozzá küldött tagjának közös kvantum állapotát Klasszikus információs csatornán továbbítás A megkapott eredmény és fotonpár vev ő oldali tagja együttesen meghatározza, hogy milyen unitér tr. viszi át a vev ő rendszert az eredetivel azonos, teleportált állapotba. Prototípus: LOCC Nem anyagot, hanem kvantum állapotot teleportálunk

30 Kvantum teleportáció 2. Aliz szeretne Bobbal kommunikálni egy szinglett qbit állapotban | φ >. Ha Aliz ismeri – mondjuk | φ >=0 – akkor tud üzenetet küldeni. Ha nem ismeri nem tud küldeni, és bizonyossággal nem is ismerheti meg  Vagy egy fizikai qbitet küld (elektron, atom) vagy állapotot változtat. Aliz és Bob pozíciója:|00>+|11> Aliz üzenni szeretne Bobnak az ismeretlen | φ > állapotba. Felírhatjuk, hogy | φ > = a|0> + b|1>, ahol a,b ismeretlen együttható 3 qbit inicializált állapota: a|000>+b|100>+a|011>+b|111> Aliz kiszámolja a Bell bázist az els ő 2 qbiten Aliz alkalamzza XOR és a H kapukat, miel ő tt megmérné a qbitjét, majd az állapot bekerül a 4 különböz ő lehetséges állapot egyikébe (összeomlik) és 2 bitet küld el.

31 Bob: {I,X,Y,Z} operátorokat alkalmazza az ő qbitjére  a|0> + b|1> = | φ > Megkapta azt az üzenetet, amit Aliz akart Amint megérkezik az üzenet Bobnak Aliznál eltünik  Ez nem klónozás.

32 Kvantum titkosírás Charles Bennett és Gilles Brassand 1984  BB’84 Polarizált fotonok sorozatában kódolva, kétféle polarizációs rendszer véletlen váltogatásával kell elküldeni, pl.: 0 = ↕ vagy ↗ 1 = ↔ vagy ↖ Példa: … Alíz: ↕ ↗ ↖ ↗ ↔ ↗ ↔ ↖ ↕ … Bob: Nem tudja, hogy a 2 közül melyik kódolást használta Aliz. Utólag nyilvános telefonon megbeszélik, hogy polarizátor-analizátor beállításait és amelyik bitnél azonos volt a beállítások, azt elfogadják a kód részének. Aliz és Bob feláldozzák a kód egy részét, hogy megállapítsák történt –e lehallgatás. Megmondják egymásnak, hogy a küldött és fogadott bit értékét és ha a kett ő különbözik, akkor zaj vagy lehallgatás történt. Ha a zaj szinthez képest túl sok az eltérés, akkor lehallgatás történt, és a kódot elvetik.

33 Lehallgatás legegyszerűbb módja Éva feltartóztatja a qbiteket és megnézi ő ket, majd tovább küldi Bobnak Átlagosan fele annyi id ő alatt Éva kitalálja Aliz bázisát helyesen és nem zavarja biteket. Habár kitalálja nem esik egybe Bobéval ui. Éva a bitek felét találta el. Aliz és Bob kés ő bb megzavarják a másik felét. Bob |+> Aliz |0>-t küld  Éva már csak n/4-t ismer Aliz és Bob most már tudják érzékelni a lehallgatást. Ha megegyezik minden bit, meggy ő z ő dhetnek arról, hogy nincs lehallgató, akkor annak a valószín ű sége, hogy mégis jelen van: n = 1000  (3/4) n/2 ≈ Sok rendszert dolgoztak már ki.: E91, EPR párok, stb.

34 Adattömörítés Mennyi információ nyerhet ő ki egy qbitb ő l?: S( ρ ) = -Tr ρ log ρ, ahol Tr.: nyom operátor (trace), ρ : s ű r ű ség operátor Tfh.: X valószín ű sége: p(X) Ha kvantum rendszer a |x> állapotban van, akkor: ρ = Σ x p(x)|x>>1, akkor bontsuk fel kisebb részekre és azokat küldjük el.  Encode – Decode q, n  átküldés  q’, n, ρ ’ akkor sikeres, ha: ρ ’ közel van ρ -hoz (q: kvantum rendszer állapota) H ű ség: Ha ρ, ρ ’ ua. az állapota | φ > | 2


Letölteni ppt "Kvantum informatika. Kvantum és klasszikus fizika Klasszikus fizika: A világnak leegyszer ű sített ugyanakkor elképeszt ő en pontos leírása. Pontszer."

Hasonló előadás


Google Hirdetések