ÁLTALÁNOS STATISZTIKA I.

Az előadások a következő témára: "ÁLTALÁNOS STATISZTIKA I."— Előadás másolata:

1 ÁLTALÁNOS STATISZTIKA I.

2 A statisztika definíciója.
információk gyűjtése, feldolgozása és közzététele. A statisztika mint módszertudomány, magában foglalja a statisztikai fogalmak, módszerek elméleti ismereteit; a különböző szakstatisztikák speciális ismereteit; az információk gyűjtéséhez, feldolgozásához szükséges módszertani ismereteket.

3 A statisztika definíciója. (folyt.)
A mindennapi gyakorlatban a statisztikai munka: végezhető főtevékenységként (hivatalos statisztikai szolgálat) végezhető egy adott tudományág művelésében segédtevékenységként (pl. csillagászat, gyógyszerkutatás, stb.)

4 A főtevékenységként végzett statisztikai munka: közszolgáltatási tevékenység.
1993. évi XLVI. Törvény a statisztikáról „A statisztika feladata és célja, hogy valósághű, tárgyilagos képet adjon a társadalom, a gazdaság, a tulajdonviszonyok, a környezet állapotáról és változásairól. A statisztikai tevékenység ellátása a hivatalos statisztikai szolgálat feladata.” A hivatalos statisztikai szolgálat által létrehozott termékek és szolgáltatások ingyenesek. A szolgálat működését az állami költségvetésben erre a célra előirányzott pénzügyi támogatás biztosítja.

5 A KSH 2006. évi költségvetése.
Milliárd Ft-ban Megoszlás %-a Személyi juttatás 6,4 54,7 Munkaadókat terhelő járulékok 1,9 16,2 Dologi és egyéb folyó kiadások 2,7 23,1 Felhalmozási kiadások 0,7 6,0 Kiadások összesen 11,7 100,0

6 A statisztikai tevékenység termelési folyamata.
Kiindulópont: a felhasználói igények felmérése és lefordítása a statisztikai fogalmak nyelvezetére. Az ezt követő termelési folyamat fő szakaszai: az adatgyűjtések tervezése és szervezése; a begyűjtött elemi adatok ellenőrzése és feldolgozása; a statisztikai adatok közzététele, tájékoztatás.

7 Mi a statisztikai adat? A statisztikai adatgyűjtés egy adott sokaság egyedeire vonatkozik, melynek során az egyedek különböző tulajdonságainak (ismérveinek) a megfigyelés időpontjában fennálló állapotát rögzítik. Így keletkeznek az elemi (vagy egyedi) adatok. Az elemi adatokkal különböző műveleteket végeznek, melynek eredményei azok a statisztikai adatok, amelyekkel gyakorlatban találkozunk.

8 A STATISZTIKAI ADAT ÁLTALÁNOS LEÍRÁSA.
(vállalat, háztartás, termék) (termelési érték, létszám, lakóhely) a megfigyelési egység tulajdonságai (a megfigyelés időpontja) (a megfigyelési egységek sokasága) adatgyűjtés adatbevitel és javítás elemi adatok (osztályozások, csoportosítások) (műveletek) adatfeldolgozás statisztikai adat

9 A statisztika alapfogalmai.
1) Sokaság. 2) Ismérvek. 3) Mérési skálák. 4) Statisztikai sorok. 5) Statisztikai táblák.

10 Sokaság. sokaság nem akarjuk v. tudjuk megfigyelni
a regiszter lefedési hibái célsokaság felvételi keret minta-sokaság

11 Sokaság. (folyt.) Célsokaság: azon egységek összessége, amelyre az adott statisztikai felvételből számított adatok vonatkoznak. Felvételi keret: a célsokaságba tartozó egyedek azon halmaza, amelynek megfigyelése egy adott felvétellel történik. A célsokaság helyett a tényleges felvétel lehetőségét a keretsokaság biztosítja, de a következtetések a célsokaságra vonatkoznak. Mintasokaság: a vizsgált sokaságnak egy olyan részsokasága, amelynek megfigyeléséből kapott eredményeket, becsléssel a célsokaság egészére vonatkoztatjuk.

12 Sokaság. (folyt.) Példa. Sokaság: Gazdasági szervezetek.
Célsokaság: 5 főnél többet foglalkoztató gazdasági szervezetek. Felvételi keret: Adott időszakban működő 5 főnél többet foglalkoztató gazdasági szervezetek. Mintasokaság: A gazdasági szervezetek mintavételi terv alapján kiválasztott, 10%-a.

13 A sokaság nyilvántartása: a regiszter.
Egy adott sokaságba tartozó azonosítható egyedek rendszerezett listája, mely tartalmazza az egyedek legfontosabb paramétereit is.

14 Regiszterek. Gazdasági szervezetek regisztere
Népességnyilvántartás Gazdasági szervezetek regisztere Kiskereskedelmi regiszter Gépjármű-nyilvántartás Földnyilvántartás Tartalmuk: Azonosítási paraméterek (név, cím, azonosító szám) Réteg-paraméterek (tevékenység, méret, gazdálkodási forma) Demográfiai paraméterek (keletkezés, megszűnés) Kapcsolati paraméterek

15 Ismérvek. Mennyiségi ismérv: A sokaság egységeit jellemző olyan tulajdonság, mely számokkal fejezhető ki. (Például: életkor, a termelés nagysága, a foglalkoztatottak száma). Minőségi ismérv: A sokaság egységeit jellemző olyan tulajdonság, mely minőségi jellemzővel fejezhető ki. (Például: nem, foglalkozás, tevékenység). Területi ismérv: a sokaság egységeinek térbeli elhelyezkedése. Időismérv: a megfigyelés időpontja, időszaka.

16 Példák az ismérvekre.

17 Mérési skálák. Névleges: az ismérvértékek azonossága, vagy különbözősége állapítható csak meg (pl. nem). Sorrendi: egy ismérv szerinti sorba rendezés (pl. helyezési sorrend) Intervallum: a kezdőpont kiválasztása önkényes, így csak a skálaértékek különbségei adnak információt (pl. hőmérséklet) Arány: ezen a skálán a kezdőpont adott és rögzített (0), így minden matematikai és statisztikai művelet egyértelműen elvégezhető.

18 Statisztikai sorok. Leíró sorok: a sokaság különböző ismérvek szerinti adatainak felsorolása. Összehasonlító sorok: több sokaság adatainak, összehasonlítása, illetve egy sokaság különböző időszakra vonatkozó adatainak, összehasonlítása. Csoportosító sorok: a sokaság egyedeinek értékeit csoportosítjuk, egy adott ismérv szerint.

19 A statisztikai adatok pontossága.
Statisztikai táblák. Egyszerű tábla: csoportosítást nem tartalmaz, nincs összesen rovat (általában leíró sorokhoz használják). Kombinációs tábla: két vagy több ismérv szerinti csoportosítást tartalmaz. A statisztikai adatok pontossága. Abszolút hiba: az utolsó szignifikáns számjegy helyértéke osztva kettővel. Relatív hiba: az abszolút hiba és a közölt adat hányadosa. Egy vállalkozás 2005.évi nettó árbevétele ezer Ft volt. Abszolút hiba(korlát): Ft Relatív hiba: :25218=0,0198 ~2%.

20 A statisztikai tábla kellékei.
Táblacím. Mértékegység Fejrovat Oldalrovat Forrás

21 A statisztikai tábla kellékei.
A vendégforgalom megoszlása a motiváció szerint 2005-ben. százalék Szállás-típus Motiváció Szabadidő-eltöltés Kongresszus, konferencia Hivatalos (üzleti) utazás Gyógy-és termál-turizmus Egyéb Összesen Szálloda 54 14 21 7 4 100 Panzió 49 6 29 13 Turista-szálló 67 5 8 2 19 Ifjúsági szálló 74 3 1 15 Üdülőház 79 9 Kemping 86 12 57 11 Forrás: KSH

22 A sokaság egy ismérv szerinti vizsgálata.
Rangsor, osztályközös gyakorisági és értékösszegsorok. Középértékek. Szóródási mutatók. Koncentráció-mutató. Momentumok. Alakmutatók.

23 Rangsor. Egy áruházlánc napi forgalma millió Ft-ban boltonként
A sokaság: egy áruházlánc boltjai Ismérv: a bolt napi forgalma Értékek: 14; 12,3; 15; 14; 12,6; 15,8; 15,2; 16,2; 17; 16,8; 17,6; 18,4; 19,4; 18,6; 20,2; 20,8; 21,8; 22,2; 23,2; 23; 24,8. Az értékeket növekvő rangsorba állítva: Rangsor: 12,3; 12,6; 14; 14; 15; 15,2; 15,8; 16,2; 16,8; 17; 17,6; 18,4; 18,6; 19,4; 20,2; 20,8; 21,8; 22,2; 23; 23,2; 24,8.

24 Osztályközös statisztikai sorok.
Az osztályköz-szám meghatározása: a „2” olyan hatványa, ami már nagyobb, mint a sokaság száma (a kitevő adja az osztályközök számát) A példában: a sokaság száma N= 21; 2 az ötödiken (32) már meghaladja ezt az értéket, tehát az osztályközök száma (k): 5 Osztályköz-hossz meghatározása a rangsorból: A példában: 24,8 – 12,3 = 12,5 : 5 = 2,5

25 Osztályközös statisztikai sorok.
Az osztályköz-határok megállapítása: Úgy kell meghatározni, hogy az ismérvértékek egyértelműen besorolhatók legyenek valamelyik – de csak egy – osztályközbe. A valódi osztályköz határok azonban hézagmentesen illeszkednek. Ezért közlési osztályköz határokat állapítunk meg úgy, hogy az osztályközök felső határát egy egységgel csökkentjük. Példa: Valódi osztályközök Közlési osztályközök 12,3-14,8 14,8-17,3 17,3-19,8 19,8-22,3 22,3-24,8 12,3-14,7 14,8-17,2 17,3-19,7 19,8-22,2 22,3-24,8

26 Osztályközös gyakorisági sorok.
osztályközök gyakoriság relatív gyakoriság, % normál kumulált i fi f’i gi g’i 12,3-14,7 4 19,0 14,8-17,2 6 10 28,6 47,6 17,3-19,7 14 66,6 19,8-22,2 18 19,1 85,7 22,3-24,8 3 21 14,3 100,0 Gyakoriság (fi): az osztályközbe tartozó ismérvértékek száma Relatív gyakoriság (gi): az ismérvértékek számának %-os megoszlása osztályközönként

27 Osztályközös gyakorisági sorok.
Kumulálás: az osztályközök gyakoriságának, értékösszegének összeadása lépésről-lépésre lefelé, vagy felfelé: (f’i; g’i;S’i;Z’i) Az osztályközép kiszámítása: (az osztályközepeket a hézagmentesen igazodó valódi osztályköz határok alapján számítjuk ki) Például: 12,3+14,8 = 27,1: 2 = 13,55 ~ 13,6

28 Osztályközös értékösszeg-sorok.
osztály-közök osztály-közép érték-összeg relatív érték-összeg, % normál kumulált xi Si Zi Z’i 12,3-14,7 13,6 53 14,0 14,8-17,2 16,1 96 25,3 39,3 17,3-19,7 18,6 74 19,5 58,8 19,8-22,2 21,1 85 22,4 81,2 22,3-24,8 23,6 71 18,8 100,0 379 Értékösszeg (Si): az osztályközbe tartozó ismérvértékek összege Például az első osztályközben: 12,3+12, =52,9 ~53 Relatív értékösszeg (Zi): az értékösszegek %-os megoszlása osztályközönként

29 Becsült értékösszeg-sor kiszámítása.
osztályközök osztályközép gyakoriság becsült értékösszeg xi fi Ŝi 12,3-14,7 13,6 4 54,4 14,8-17,2 16,1 6 96,6 17,3-19,7 18,6 74,4 19,8-22,2 21,1 84,4 22,3-24,8 23,6 3 70,8 380,6 Becsült értékösszeg (Ŝi): az osztályközepek megszorzása a gyakoriságokkal: Például: 4 * 13,6 = 54,4

30 Középértékek. Számított középértékek számtani átlag mértani átlag
harmonikus átlag négyzetes átlag Helyzeti középértékek módusz medián

31 Számtani átlag. Példa. A Sziget fesztivál napi látogatóinak száma (ezer fő): 50,0; 53,2; 57,4; 60,0; 62,5; 64,6; 66,2; 68,8; 70,0. Mennyi a napi átlagos látogatószám? ezer fő

32 Mennyi lesz a napi átlagos látogatószám?
Transzformáció. Példa. A Sziget fesztivál napi látogatóinak száma jövőre mindennap 2 ezer fővel több lesz, azaz: 52,0; 55,2; 59,4; 62,0; 64,5; 66,6; 68,2; 70,8; 72,0. Mennyi lesz a napi átlagos látogatószám? ezer fő Transzformációval:

33 Transzformáció. (folyt.)
Példa. A Sziget fesztivált 30-szor annyian nézik naponta a TV-ben, mint amennyien kilátogatnak egy-egy napon. (napi látogatók száma (e fő): 50,0; 53,2; 57,4; 60,0; 62,5; 64,6; 66,2; 68,8; 70,0) TV nézők száma (e fő): 1500; 1596; 1722; 1800; 1875; 1938; 1986; 2064; 2100. Mennyi a TV-nézők napi átlagos száma? ezer fő Transzformációval:

34 Egy árusnál kínált görögdinnyék jellemzői:
Súlyozott számtani átlag. Példa. Egy árusnál kínált görögdinnyék jellemzői: Osztályköz /Dinnye súlya (kg)/ (db) 2,5-4,9 3,7 3 11,1 5,0-7,4 6,2 2 12,4 7,5-9,9 8,7 1 10,0-12,4 11,2 7 78,4 12,5-14,9 13,7 5 68,5 15,0-17,4 16,2 32,4 20 211,5 Mekkora a dinnyék átlagos súlya?

35 kg

36 A számtani átlag tulajdonságai:
Az átlagolandó értékek és az átlag különbségének összege nulla. Ha az átlagolandó értékekből levonunk egy konstans számot, és a különbségeket négyzetre emeljük, akkor az eltérések négyzetösszege akkor lesz a legkisebb, ha a konstans a számtani átlag. (Négyzetes minimum tulajdonság)

37 Mértani átlag. vagy a logaritmusok számtani átlaga.
Hamburgerek eladása. Példa. Év Forgalom (ezer db) Az előző év %-ában 2001 732,1 - 2002 801,9 109,5 2003 768,5 95,8 2004 744,6 96,9 2005 858,5 115,3 Hány %-kal változott évente átlagosan a hamburgerek eladása 2001-ről 2005-re?

38 Egy fapados légitársaság pilótái ennyi órát repültek egy adott napon:
Súlyozott mértani átlag. Példa. Egy fapados légitársaság pilótái ennyi órát repültek egy adott napon: Repült idő (óra) Pilóták száma (fő) 2 3 4 1 8 12 10 Átlagosan hány órát repültek aznap a pilóták? óra

39 Harmonikus átlag. Példa.
Egy Forma1-es autóversenyen három versenyzőnél mért kerékcsere-idők (másodperc): ,5; 7,1; 8,3. Átlagosan mennyi idő volt a kerékcsere? mp

40 A fagylalt forgalma és ára három árusnál:
Súlyozott harmonikus átlag. Példa. A fagylalt forgalma és ára három árusnál: Árus Napi forgalom (Ft) Egységár (Ft / gombóc) 1. 90 2. 110 3. 94 500 105 Átlagosan mennyibe kerül egy gombóc fagylalt? Ft / gombóc

41 Négyzetes átlag. Példa. Egy mobiltelefonnal egy-egy napon készített fényképek száma: 5, 14, 18, 22, 55, 90, Átlagosan hány db fényképet készítettek naponta? db

42 Súlyozott négyzetes átlag.
Példa. Egy görkorcsolya-parkban a sportolni vágyó fiatalok ennyi időt töltöttek el adott napon: Eltöltött idő (óra) Látogatók száma (fő) 1 20 2 53 3 110 4 37 5 10 230 Átlagosan mennyi időt töltöttek a látogatók aznap a görkorcsolya-parkban?

43 óra

44 A módusz. a.) Diszkrét változó esetén: a leggyakrabban előforduló ismérvérték. b.) Osztályközös gyakorisági sor esetén: 1.lépés: a legnagyobb gyakorisággal rendelkező osztályköz kiválasztása a példában a második osztályköz gyakorisága a legnagyobb (6)

45 2.lépés: a módusz értékének meghatározása
a példában:

46 A módusz. (folyt.) Ha eltérő az osztályközök hossza, akkor a gyakoriságokat át kell számolni azonos hosszúságú osztályközökre. Példa. Egy uszodában az alábbi távokat úszták az emberek: Leúszott táv (méter) (fő) 1-500 20 500 45 60 1000 30 12 6 * 500 m-es osztályköz-hosszúságra eső gyakoriságok

47 m

48 A kvantilisek.

49 a.) Meghatározása rangsorból.
Először megállapítjuk, hogy a rangsor hányadik tagja lesz. A példában az első kvartilis: A keresett kvantilis az ott található x érték. A rangsornak az ötödik értéke 15, a hatodik 15,2. A kettő közötti különbséget szorozzuk a sorszám tört részével 0,2 x 0,5 = 0,1 és hozzáadjuk az alsó értékhez Tehát az első kvartilis: 15,1 tagja a rangsornak

50 A példában a második kvintilis:
tagja a rangsornak A keresett kvintilis az ott található x érték. A rangsornak a nyolcadik értéke 16,2 ; a kilencedik 16,8. A kettő közötti különbséget szorozzuk a sorszám tört részével: 0,6 x 0,8 = 0,48 és hozzáadjuk az alsó értékhez: 0, ,2 Tehát a második kvintilis: 16,68

51 b.) Meghatározása osztályközös gyakorisági sorból.
1. lépés: a kvantilis osztályközének meghatározása: A példából a harmadik (felső) kvartilis meghatározása: az i=3; a k=4; az N=21 azaz (3*21) : 4 = 15,75-dik érték a kumulált gyakoriságok alapján ez a negyedik osztályközbe esik

52 2.) lépés: a kvartilis értékének meghatározása:

53 A legismertebb kvantilis: a medián.
a.) Diszkrét változó esetén: Ha az N páratlan: akkor a rangsor középső ismérvértéke, azaz tagja a rangsornak Ha az N páros: a két középső ismérvérték átlaga.

54 b.) Osztályközös gyakorisági sor esetén:
Első lépés: a medián osztályközének meghatározása. Azt az osztályközt keressük, amelyik kumulált gyakorisága nagyobb, mint N/2. A példában: N/2= 10,5; a második osztályköz kumulált gyakorisága 10, a harmadiké: 14, tehát a harmadik osztályköz. Második lépés: a medián értékének meghatározása az osztályközön belül. az előző osztályköz kumulált gyakorisága az osztályköz hossza az osztályköz gyakorisága az osztályköz alsó határa

55 Szóródási mutatók. A szóródás terjedelme:
Átlagos abszolút különbség (Gini együttható):

56 Példa a Gini együttható (átlagos abszolút különbség) kiszámítására.
Hat dolgozó havi keresete ezer Ft-ban: 64, 42, 96, 48, 75, 88 Mennyi a keresetek átlagos abszolút különbsége? első lépés: sorba rendezzük. 42, 48, 64, 75, 88, 96 második lépés: munkatábla a különbségek kiszámításához. 42 48 64 75 88 96 6 22 33 46 54 16 27 40 11 24 32 13 21 8 161 137 105 131 163 802

57

58 A szórás. illetve A számítás egyes lépései:
az egyes értékeknek az átlagtól való eltérésének meghatározása: az eltérések négyzeteinek meghatározása: az eltérések négyzeteinek az összege: (eltérés négyzetösszeg: SST)

59 az eltérések négyzeteinek az átlaga:
(szórásnégyzet: ) az előző érték négyzetgyöke a szórás ( ) A szórás kiszámítható a négyzetes és a számtani átlag négyzeteinek különbségéből is:

60 Példa a szórás kiszámítására (súlyozatlan).
A budapesti Úszó EB napi látogatóinak száma (ezer fő): 1,6; 2,8; 3,2; 3,6; 3,7; 3,9; 4,2; 4,6; 5,2; 5,5; 6,1; 7,5. Mennyi a napi látogatószám szórása? Átlag:

61 1,6 -2,7 7,29 2,56 2,8 -1,5 2,25 7,84 3,2 -1,1 1,21 10,24 3,6 -0,7 0,49 12,96 3,7 -0,6 0,36 13,69 3,9 -0,4 0,16 15,21 4,2 -0,1 0,01 17,64 4,6 0,3 0,09 21,16 5,2 0,9 0,81 27,04 5,5 1,2 1,44 30,25 6,1 1,8 3,24 37,21 7,5 56,25 27,59 252,05

62

63 Kiszámítható az átlagokból is:
Relatív szórás:

64 A szórás tulajdonságai:
Ha a sokaság minden értékéhez hozzáadunk egy azonos számot, akkor a szórás nem változik. Példa. Egy műhely hat dolgozójának kereseti adatai (ezer Ft): 52; 64; 73; 80; 85; 110. Az átlagkereset: A keresetek szórása:

65 -25,3 640,09 -13,3 176,89 -4,3 18,49 2,7 7,29 7,7 59,29 32,7 1069,29 1971,34

66 Új keresetek (e Ft): 57; 69; 78; 85; 90; 115.
Minden dolgozó 5000 Forint fizetésemelést kap. Mennyi lesz az új keresetek szórása? Új keresetek (e Ft): 57; 69; 78; 85; 90; 115. -25,3 640,09 -13,3 176,89 -4,3 18,49 2,7 7,29 7,7 59,29 32,7 1069,29 1971,34

67 2.) Ha a sokaság minden értékét megszorozzuk egy azonos számmal, akkor a szórás is annyiszor nagyobb lesz. Példa. Öt évvel ezelőtt a műhely jelenlegi hat dolgozójának keresete egyformán 30%-kal kevesebb volt. Mennyi volt öt évvel ezelőtt a keresetek szórása? Öt évvel ezelőtti keresetek (e Ft): 36,4; 44,8; 51,1; 56,0; 59,5; 77,0. Az eredeti szórásból ( ) számítva:

68 -17,7 313,29 -9,3 86,49 -3,0 9,0 1,9 3,61 5,4 29,16 22,9 524,41 965,96

69 Példa a szórás kiszámítására osztályközös gyakorisági sorból (súlyozott).

70

71 Koncentráció.

72 termelés vállalatszám

73 A koncentrációs terület (tc) a négyzet átlója és a görbe által közrezárt terület. Nagysága a koncentráció erősségét mutatja. A koncentrációs együttható: G= a Gini mutató

74 Példa a koncentrációs együttható kiszámítására:
A dolgozók a havi keresete ezer ft-ban: 64, 42, 96, 48, 75, 88 első lépés: sorba rendezzük. 42, 48, 64, 75, 88, 96 második lépés: munkatábla a különbségek kiszámításához. 42 48 64 75 88 96 6 22 33 46 54 16 27 40 11 24 32 13 21 8 161 137 105 131 163 802

75 N=6 X= =413 : 6=68,8 L= G / 2 X L=26,7:137,6=0,19

76 Momentumok. A sokaság értékei és egy tetszőleges "A" szám közötti eltérések hatványának átlaga. Ha „r” a hatvány és A= 0, akkor a nevük "r"-edik momentum. Ha „r” a hatvány és A= , akkor a nevük "r"-edik centrális momentum. általános képlete: Hatvány Momentum Centrális momentum r= -1 - r= 1 r= 2 σ²

77 Asszimetria (ferdeség) mutatói.
Alakmutatók. Asszimetria (ferdeség) mutatói. Egy vállalat dolgozóinak teljesítmény adatai, tonna/fő: osztályköz To/fő (xi) Létszám (fi) Kumulált létszám (f’i) Teljesítmény (Ŝi = fi xi) 20,1-25 22,6 8 180,8 25,1-30 27,6 12 20 331,2 30,1-35 32,6 24 44 782,4 35,1-40 37,6 32 76 1203,2 40,1-45 42,6 4 80 170,4 2668,0

78 1.) A Pearson-féle asszimetria mutató kiszámítása.
a.) az átlagos teljesítmény: b.) a teljesítmények mediánja: A medián osztályköze: 80/2=40, tehát ahova a 40. érték esik, azaz a 3. osztályköz. A medián értéke:

79 c.) a szórás értéke: osztály-köz To/fő (xi) Létszám (fi) 20,1-25 22,6
8 -10,75 115,5625 924,50 25,1-30 27,6 12 -5,75 33,0625 396,75 30,1-35 32,6 24 -0,75 0,5625 13,50 35,1-40 37,6 32 4,25 18,0625 578,00 40,1-45 42,6 4 9,25 85,5625 342,25 80 2255,00

80 Létszám, fő Teljesítmény, to/fő Átlag: 33,35 Me: 34,27 ! < Me
negatív érték: jobb oldali asszimetria!! Átlag: 33,35 Me: 34,27 ! Jobboldali ferdeség! < Me Létszám, fő 20,1-25 25,1-30 30,1-35 35,1-40 40,1-45 Teljesítmény, to/fő

81 2.) F-mutató kiszámítása.
{Me= 34,27} osztályköz To/fő (xi) Létszám (fi) f’i 20,1-25 22,6 8 25,1-30 27,6 12 20 30,1-35 32,6 24 44 35,1-40 37,6 32 76 40,1-45 42,6 4 80 negatív érték: jobb oldali asszimetria!!

82 3.) α3 - mutató kiszámítása.
negatív érték: jobb oldali asszimetria!!

83 Csúcsossági mutatók. 1.) K - mutató. Q1= 30,1 Q3= 37,6
D1 80:10 = azaz az 1. osztályköz, D9 9*80 :10 = 72 azaz a 4. osztályköz A normális eloszlásnál a K értéke 0,263; ha kisebb az érték, akkor csúcsos eloszlás!!

84 2.) α 4 mutató. Csúcsossági mutató ábrázolása
Csúcsos eloszlás (K<0,263) Normál eloszlás(K=0,263) Lapult eloszlás (K>0,263) 2.) α 4 mutató. normális eloszlásnál α4 mutató értéke 3; ha kisebb az érték, akkor lapult eloszlás!!