Az előadás letöltése folymat van. Kérjük, várjon

Az előadás letöltése folymat van. Kérjük, várjon

Miki és a nyerő stratégia Waldhauser Tamás SZTE Bolyai Intézet.

Hasonló előadás


Az előadások a következő témára: "Miki és a nyerő stratégia Waldhauser Tamás SZTE Bolyai Intézet."— Előadás másolata:

1 Miki és a nyerő stratégia Waldhauser Tamás SZTE Bolyai Intézet

2

3 Nyerő stratégia keresése diszkrét kétszemélyes determinisztikus teljes információs véges végesfokú szimmetrikus normál játékokban.

4 X XX XXX XXX O XOX O X O XXOX O X O X O X O XX O O XX O O XXX O OXO OXX XOX OXX O X OXX XOO XX OXX OOO

5 Claude Gaspar Bachet de Méziriac ( )

6 Bachet játéka ⋯

7 Bachet játéka ⋯

8 Bachet játéka ⋯

9 Bachet játéka ⋯

10 Bachet játéka ⋯

11 Bachet játéka ⋯

12 Bachet játéka ⋯

13 Bachet játéka ⋯

14 végállások jó állások rossz állások Jó és rossz állások

15 végállások jó állások rossz állások Jó állásból csak rossz állásba lehet

16 végállások jó állások rossz állások Rossz állásból mindig lehet jó állásba

17 végállások jó állások rossz állások A játszma menete

18 Legyen H ⊆ N, például H  { 0, 1, 2, 4, 6 }. max H  6 (maximal) min H  0 (minimal) mex H  3 (minimal excluded) Magyarul minimális kimaradó: miki H  min N ∖ H  min { 3, 5, 7, 8,  }  3. A Sprague–Grundy-függvény

19 a b1b1 b2b2 bkbk Rendeljünk a játék minden a állásához egy  (a) természetes számot a következő szabály szerint:  (a)  miki {  (b 1 ),  (b 2 ), ,  (b k ) }.

20 Tétel (Sprague 1935, Grundy 1939): Ilyen  függvény létezik, mégpedig pontosan egy, és ennek zérushelyei éppen a jó állások. A Sprague–Grundy-függvény

21 a b1b1 b2b2 bibi bkbk  (a)  miki {  (b 1 ),  (b 2 ), ,  (b k ) } Jó állásból csak rossz állásba lehet

22 a b1b1 b2b2 bibi bkbk  (a)  miki {  (b 1 ),  (b 2 ), ,  (b k ) }  0 Jó állásból csak rossz állásba lehet

23 a b1b1 b2b2 bibi bkbk  (a)  miki {  (b 1 ),  (b 2 ), ,  (b k ) }  0   i   (b i )  0 Jó állásból csak rossz állásba lehet

24 a b1b1 b2b2 bibi bkbk  (a)  miki {  (b 1 ),  (b 2 ), ,  (b k ) } Rossz állásból mindig lehet jó állásba

25 a b1b1 b2b2 bibi bkbk  (a)  miki {  (b 1 ),  (b 2 ), ,  (b k ) }  0 Rossz állásból mindig lehet jó állásba

26 a b1b1 b2b2 bibi bkbk  (a)  miki {  (b 1 ),  (b 2 ), ,  (b k ) }  0   i   (b i )  0 Rossz állásból mindig lehet jó állásba

27 Kivonási játékok állás: természetes szám lépés: az aktuális számot egy előre megadott K kivonási halmaz valamely elemével csökkentjük A Bachet játéknál K  { 1, 2, , 10 }. Mini Bachet játék: K  { 1, 2 }.

28 A mini Bachet játék SG-függvénye

29 A mini Bachet játék SG-függvénye miki ∅  0

30 A mini Bachet játék SG-függvénye miki ∅  0

31 A mini Bachet játék SG-függvénye miki { 0 }  1

32 A mini Bachet játék SG-függvénye miki { 0 }  1

33 A mini Bachet játék SG-függvénye miki { 0, 1 }  2

34 A mini Bachet játék SG-függvénye miki { 0, 1 }  2

35 A mini Bachet játék SG-függvénye miki { 1, 2 }  0

36 A mini Bachet játék SG-függvénye miki { 1, 2 }  0

37 A mini Bachet játék SG-függvénye miki { 0, 2 }  1

38 A mini Bachet játék SG-függvénye miki { 0, 2 }  1

39 A mini Bachet játék SG-függvénye miki { 0, 1 }  2

40 A mini Bachet játék SG-függvénye miki { 0, 1 }  2

41 A mini Bachet játék SG-függvénye miki { 1, 2 }  0

42 A mini Bachet játék SG-függvénye miki { 0, 2 }  1

43 A mini Bachet játék SG-függvénye miki { 0, 1 }  2

44 A mini Bachet játék SG-függvénye miki { 1, 2 }  0

45 A mini Bachet játék SG-függvénye miki { 0, 2 }  1

46 A mini Bachet játék SG-függvénye  (n)  n mod 3

47 A mini Bachet játék SG-függvénye n jó állás  3  n

48 A Bachet játék SG-függvénye ⋯ miki ∅  0

49 A Bachet játék SG-függvénye ⋯ miki {0}  1

50 A Bachet játék SG-függvénye ⋯ miki {0,1}  2

51 A Bachet játék SG-függvénye ⋯ miki {0,1,2}  3

52 A Bachet játék SG-függvénye ⋯ miki {0,1, ,9}  10

53 A Bachet játék SG-függvénye ⋯ miki {1,2, ,10}  0

54 A Bachet játék SG-függvénye ⋯ miki {2,3, ,10,0}  miki {0,2,3, ,10}  1

55 A Bachet játék SG-függvénye ⋯  (n)  n mod 11

56 A Bachet játék SG-függvénye ⋯ n jó állás  11  n

57 Kivonási játékok Tétel: Ha a kivonási halmaz véges, akkor a kivonási játék SG-függvénye periodikus. Tétel (Althöfer, Bültermann): A K = {1,8,31,38,39} kivonási halmaz esetén a periódus hossza

58 KöMaL 1997/12

59 Sarokba a bástyát!

60 miki ∅  0 Sarokba a bástyát!

61 miki {0}  1 Sarokba a bástyát!

62 miki {0,1}  2 Sarokba a bástyát!

63 miki {0,1,2}  3 Sarokba a bástyát!

64 miki {1}  0 Sarokba a bástyát!

65 miki {0,1,2}  3 Sarokba a bástyát!

66 miki {0,1,3}  2 Sarokba a bástyát!

67 miki {1,4,5,6,7}  0 Sarokba a bástyát!

68 miki {0,1,2,4,5,6,7}  Sarokba a bástyát!

69

70

71 KöMaL 1993/12

72 Sarokba a bástyát! (6,5)

73 Nim Két kupac kaviccsal játszunk. Egy lépésben valamelyikből (de csak az egyikből!) elvehetünk bármennyit. Az nyer, aki az utolsó kavicsot elveszi. Nyerő stratégia: törekedjünk szimmetriára!

74 6  5  Nim-összeadás

75 Nim A k kupac kaviccsal játszott nim (n 1, n 2, , n k ) állásához tartozó SG-érték n 1  n 2    n k. A k  2 esetben: n 1  n 2  0  n 1  n 2.

76 Sarokba a királyt!

77 miki ∅  0 Sarokba a királyt!

78 miki {0}  1 Sarokba a királyt!

79 miki {1}  0 Sarokba a királyt!

80 miki {0}  1 Sarokba a királyt!

81 miki {0,1}  2 Sarokba a királyt!

82 miki {0,1,2}  3 Sarokba a királyt!

83 miki {0,1,3}  2 Sarokba a királyt!

84 miki {2,3}  0 Sarokba a királyt!

85 miki {0,2,3}  1 Sarokba a királyt!

86 (n,m) jó állás  2  n,m Sarokba a királyt!

87 Sarokba a királynőt!

88 miki ∅  0 Sarokba a királynőt!

89 miki {0}  1 Sarokba a királynőt!

90 miki {0,1}  2 Sarokba a királynőt!

91 miki {0,1,2}  3 Sarokba a királynőt!

92 miki {0,1}  2 Sarokba a királynőt!

93 miki {1,2}  0 Sarokba a királynőt!

94 miki {0,1,2,3}  4 Sarokba a királynőt!

95 miki {2,3,4,5,6}  0 Sarokba a királynőt!

96 miki {0,2,3,4,5,6,7,8}  Sarokba a királynőt!

97 Sarokba a királynőt!

98 Sarokba a királynőt!

99 (6,5)

100 Wythoff-nim Két kupac kaviccsal játszunk. Egy lépésben elvehetünk az egyikből bármennyit, vagy mindkettőből ugyanannyit. Az nyer, aki az utolsó kavicsot elveszi. Nyerő stratégia? A szimmetria nem segít!

101 Willem Abraham Wythoff ( )

102 Wythoff-nim

103

104

105

106 n ⋯ anan ⋯ bnbn ⋯ Legyen (a n,b n ) a Wythoff-nim n-edik jó állása. Tétel (Wythoff 1907):

107 Osztályozás 33 Tic-tac-toe 44 Bachet 55 Bachet játék nyerő stratégiája Jó és rossz állások Miki 1818 SG-függvény Kivonási játékok 2727 Mini Bachet SG Bachet SG Kivonási játék SG periodikus 5757 KöMaL: kivonási játék 5858 Sarokba a bástyát! KöMaL: Sarokba a sánta bástyát! 7171 Sarokba a bástyát! -> nim 7272 Nim 7373 Nim-összeadás 7474 Többcsomós nim SG 7575 Sarokba a királyt! Sarokba a királynőt! Sarokba a királynőt! -> Wythoff-nim 9999 Wythoff-nim Wythoff Wythoff SG Wythoff SG Wythoff tétele


Letölteni ppt "Miki és a nyerő stratégia Waldhauser Tamás SZTE Bolyai Intézet."

Hasonló előadás


Google Hirdetések