Az előadás letöltése folymat van. Kérjük, várjon

Az előadás letöltése folymat van. Kérjük, várjon

Miki és a nyerő stratégia Waldhauser Tamás SZTE Bolyai Intézet.

Hasonló előadás


Az előadások a következő témára: "Miki és a nyerő stratégia Waldhauser Tamás SZTE Bolyai Intézet."— Előadás másolata:

1 Miki és a nyerő stratégia Waldhauser Tamás SZTE Bolyai Intézet

2

3 Nyerő stratégia keresése diszkrét kétszemélyes determinisztikus teljes információs véges végesfokú szimmetrikus normál játékokban.

4 X XX XXX XXX O XOX O X O XXOX O X O X O X O XX O O XX O O XXX O OXO OXX XOX OXX O X OXX XOO XX OXX OOO

5 Claude Gaspar Bachet de Méziriac (1581-1638)

6 Bachet játéka ⋯ 7778798081828384858687888990919293949596979899 100

7 Bachet játéka ⋯ 7778798081828384858687888990919293949596979899 100

8 Bachet játéka ⋯ 7778798081828384858687888990919293949596979899 100

9 Bachet játéka ⋯ 7778798081828384858687888990919293949596979899 100

10 Bachet játéka ⋯ 7778798081828384858687888990919293949596979899 100

11 Bachet játéka ⋯ 7778798081828384858687888990919293949596979899 100

12 Bachet játéka ⋯ 7778798081828384858687888990919293949596979899 100

13 Bachet játéka ⋯ 7778798081828384858687888990919293949596979899 100

14 végállások jó állások rossz állások Jó és rossz állások

15 végállások jó állások rossz állások Jó állásból csak rossz állásba lehet

16 végállások jó állások rossz állások Rossz állásból mindig lehet jó állásba

17 végállások jó állások rossz állások A játszma menete

18 Legyen H ⊆ N, például H  { 0, 1, 2, 4, 6 }. max H  6 (maximal) min H  0 (minimal) mex H  3 (minimal excluded) Magyarul minimális kimaradó: miki H  min N ∖ H  min { 3, 5, 7, 8,  }  3. A Sprague–Grundy-függvény

19 a b1b1 b2b2 bkbk Rendeljünk a játék minden a állásához egy  (a) természetes számot a következő szabály szerint:  (a)  miki {  (b 1 ),  (b 2 ), ,  (b k ) }.

20 Tétel (Sprague 1935, Grundy 1939): Ilyen  függvény létezik, mégpedig pontosan egy, és ennek zérushelyei éppen a jó állások. A Sprague–Grundy-függvény

21 a b1b1 b2b2 bibi bkbk  (a)  miki {  (b 1 ),  (b 2 ), ,  (b k ) } Jó állásból csak rossz állásba lehet

22 a b1b1 b2b2 bibi bkbk  (a)  miki {  (b 1 ),  (b 2 ), ,  (b k ) }  0 Jó állásból csak rossz állásba lehet

23 a b1b1 b2b2 bibi bkbk  (a)  miki {  (b 1 ),  (b 2 ), ,  (b k ) }  0   i   (b i )  0 Jó állásból csak rossz állásba lehet

24 a b1b1 b2b2 bibi bkbk  (a)  miki {  (b 1 ),  (b 2 ), ,  (b k ) } Rossz állásból mindig lehet jó állásba

25 a b1b1 b2b2 bibi bkbk  (a)  miki {  (b 1 ),  (b 2 ), ,  (b k ) }  0 Rossz állásból mindig lehet jó állásba

26 a b1b1 b2b2 bibi bkbk  (a)  miki {  (b 1 ),  (b 2 ), ,  (b k ) }  0   i   (b i )  0 Rossz állásból mindig lehet jó állásba

27 Kivonási játékok állás: természetes szám lépés: az aktuális számot egy előre megadott K kivonási halmaz valamely elemével csökkentjük A Bachet játéknál K  { 1, 2, , 10 }. Mini Bachet játék: K  { 1, 2 }.

28 A mini Bachet játék SG-függvénye 10 5 7 8 4 2 1 0 3 6 9

29 A mini Bachet játék SG-függvénye 10 5 7 8 4 2 1 0 3 6 9 miki ∅  0

30 A mini Bachet játék SG-függvénye 0 10 5 7 8 4 2 1 0 3 6 9 miki ∅  0

31 A mini Bachet játék SG-függvénye 0 10 5 7 8 4 2 1 0 3 6 9 miki { 0 }  1

32 A mini Bachet játék SG-függvénye 0 1 10 5 7 8 4 2 1 0 3 6 9 miki { 0 }  1

33 A mini Bachet játék SG-függvénye 0 1 10 5 7 8 4 2 1 0 3 6 9 miki { 0, 1 }  2

34 A mini Bachet játék SG-függvénye 0 1 2 10 5 7 8 4 2 1 0 3 6 9 miki { 0, 1 }  2

35 A mini Bachet játék SG-függvénye 0 1 2 10 5 7 8 4 2 1 0 3 6 9 miki { 1, 2 }  0

36 A mini Bachet játék SG-függvénye 0 1 2 0 10 5 7 8 4 2 1 0 3 6 9 miki { 1, 2 }  0

37 A mini Bachet játék SG-függvénye 0 1 2 0 10 5 7 8 4 2 1 0 3 6 9 miki { 0, 2 }  1

38 A mini Bachet játék SG-függvénye 0 1 2 1 0 10 5 7 8 4 2 1 0 3 6 9 miki { 0, 2 }  1

39 A mini Bachet játék SG-függvénye 0 1 2 1 0 10 5 7 8 4 2 1 0 3 6 9 miki { 0, 1 }  2

40 A mini Bachet játék SG-függvénye 0 1 2 1 2 0 10 5 7 8 4 2 1 0 3 6 9 miki { 0, 1 }  2

41 A mini Bachet játék SG-függvénye 0 1 2 1 2 0 0 10 5 7 8 4 2 1 0 3 6 9 miki { 1, 2 }  0

42 A mini Bachet játék SG-függvénye 0 1 2 1 2 1 0 0 10 5 7 8 4 2 1 0 3 6 9 miki { 0, 2 }  1

43 A mini Bachet játék SG-függvénye 0 1 2 1 2 1 2 0 0 10 5 7 8 4 2 1 0 3 6 9 miki { 0, 1 }  2

44 A mini Bachet játék SG-függvénye 0 1 2 1 2 1 2 0 0 0 10 5 7 8 4 2 1 0 3 6 9 miki { 1, 2 }  0

45 A mini Bachet játék SG-függvénye 0 1 2 1 2 1 2 1 0 0 0 10 5 7 8 4 2 1 0 3 6 9 miki { 0, 2 }  1

46 A mini Bachet játék SG-függvénye 0 1 2 1 2 1 2 1 0 0 0 10 5 7 8 4 2 1 0 3 6 9  (n)  n mod 3

47 A mini Bachet játék SG-függvénye 0 1 2 1 2 1 2 1 0 0 0 10 5 7 8 4 2 1 0 3 6 9 n jó állás  3  n

48 A Bachet játék SG-függvénye 0 01234567891011121314151617181920212223 ⋯ miki ∅  0

49 A Bachet játék SG-függvénye 01 01234567891011121314151617181920212223 ⋯ miki {0}  1

50 A Bachet játék SG-függvénye 012 01234567891011121314151617181920212223 ⋯ miki {0,1}  2

51 A Bachet játék SG-függvénye 0123 01234567891011121314151617181920212223 ⋯ miki {0,1,2}  3

52 A Bachet játék SG-függvénye 012345678910 0123456789 11121314151617181920212223 ⋯ miki {0,1, ,9}  10

53 A Bachet játék SG-függvénye 0123456789100 0123456789 11121314151617181920212223 ⋯ miki {1,2, ,10}  0

54 A Bachet játék SG-függvénye 01234567891001 0123456789 11121314151617181920212223 ⋯ miki {2,3, ,10,0}  miki {0,2,3, ,10}  1

55 A Bachet játék SG-függvénye 0123456789100123456789 012 0123456789 11121314151617181920212223 ⋯  (n)  n mod 11

56 A Bachet játék SG-függvénye 0123456789100123456789 012 0123456789 11121314151617181920212223 ⋯ n jó állás  11  n

57 Kivonási játékok Tétel: Ha a kivonási halmaz véges, akkor a kivonási játék SG-függvénye periodikus. Tétel (Althöfer, Bültermann): A K = {1,8,31,38,39} kivonási halmaz esetén a periódus hossza 11757.

58 KöMaL 1997/12

59 7 6 5 4 3 2 1 0 01234567 Sarokba a bástyát!

60 7 6 5 4 3 2 1 00 01234567 miki ∅  0 Sarokba a bástyát!

61 7 6 5 4 3 2 1 001 01234567 miki {0}  1 Sarokba a bástyát!

62 7 6 5 4 3 2 1 0012 01234567 miki {0,1}  2 Sarokba a bástyát!

63 7 6 5 4 3 2 1 00123 01234567 miki {0,1,2}  3 Sarokba a bástyát!

64 77 66 55 44 33 22 110 001234567 01234567 miki {1}  0 Sarokba a bástyát!

65 77 66 55 44 33 22 1103 001234567 01234567 miki {0,1,2}  3 Sarokba a bástyát!

66 77 66 55 44 33 22 11032 001234567 01234567 miki {0,1,3}  2 Sarokba a bástyát!

67 776543 667452 5547610 445670123 332107654 223016745 110325476 001234567 01234567 miki {1,4,5,6,7}  0 Sarokba a bástyát!

68 miki {0,1,2,4,5,6,7}  3 776543 667452 55476103 445670123 332107654 223016745 110325476 001234567 01234567 Sarokba a bástyát!

69 776543210 667452301 554761032 445670123 332107654 223016745 110325476 001234567 01234567

70 776543210 667452301 554761032 445670123 332107654 223016745 110325476 001234567 01234567

71 KöMaL 1993/12

72 7 6 5 4 3 2 1 0 01234567 Sarokba a bástyát! (6,5)

73 Nim Két kupac kaviccsal játszunk. Egy lépésben valamelyikből (de csak az egyikből!) elvehetünk bármennyit. Az nyer, aki az utolsó kavicsot elveszi. Nyerő stratégia: törekedjünk szimmetriára!

74 6  5  3 776543210 667452301 554761032 445670123 332107654 223016745 110325476 001234567 01234567 Nim-összeadás

75 Nim A k kupac kaviccsal játszott nim (n 1, n 2, , n k ) állásához tartozó SG-érték n 1  n 2    n k. A k  2 esetben: n 1  n 2  0  n 1  n 2.

76 7 6 5 4 3 2 1 0 01234567 Sarokba a királyt!

77 7 6 5 4 3 2 1 00 01234567 miki ∅  0 Sarokba a királyt!

78 7 6 5 4 3 2 1 001 01234567 miki {0}  1 Sarokba a királyt!

79 7 6 5 4 3 2 1 0010 01234567 miki {1}  0 Sarokba a királyt!

80 7 6 5 4 3 2 1 00101 01234567 miki {0}  1 Sarokba a királyt!

81 71 60 51 40 31 20 112 001010101 01234567 miki {0,1}  2 Sarokba a királyt!

82 71 60 51 40 31 20 1123 001010101 01234567 miki {0,1,2}  3 Sarokba a királyt!

83 71 60 51 40 31 20 11232 001010101 01234567 miki {0,1,3}  2 Sarokba a királyt!

84 71212 60303 51212 403030 312123232 203010101 112323232 001010101 01234567 miki {2,3}  0 Sarokba a királyt!

85 71212 60303 51212 4030301 312123232 203010101 112323232 001010101 01234567 miki {0,2,3}  1 Sarokba a királyt!

86 712121212 603030301 512121232 403030101 312123232 203010101 112323232 001010101 01234567 (n,m) jó állás  2  n,m Sarokba a királyt!

87 7 6 5 4 3 2 1 0 01234567 Sarokba a királynőt!

88 7 6 5 4 3 2 1 00 01234567 miki ∅  0 Sarokba a királynőt!

89 7 6 5 4 3 2 1 001 01234567 miki {0}  1 Sarokba a királynőt!

90 7 6 5 4 3 2 1 0012 01234567 miki {0,1}  2 Sarokba a királynőt!

91 7 6 5 4 3 2 1 00123 01234567 miki {0,1,2}  3 Sarokba a királynőt!

92 77 66 55 44 33 22 112 001234567 01234567 miki {0,1}  2 Sarokba a királynőt!

93 77 66 55 44 33 22 1120 001234567 01234567 miki {1,2}  0 Sarokba a királynőt!

94 77 66 55 44 33 22 11204 001234567 01234567 miki {0,1,2,3}  4 Sarokba a királynőt!

95 7786 6678 5534 4453 3345620 220153486 112045378 001234567 01234567 miki {2,3,4,5,6}  0 Sarokba a királynőt!

96 miki {0,2,3,4,5,6,7,8}  1 7786 6678 5534 4453 33456201 220153486 112045378 001234567 01234567 Sarokba a királynőt!

97 778690145 6678191034 5534068 1 445327690 334562019 220153486 112045378 001234567 01234567 Sarokba a királynőt!

98 778690145 6678191034 5534068 1 445327690 334562019 220153486 112045378 001234567 01234567 Sarokba a királynőt!

99 7 6 5 4 3 2 1 0 01234567 (6,5)

100 Wythoff-nim Két kupac kaviccsal játszunk. Egy lépésben elvehetünk az egyikből bármennyit, vagy mindkettőből ugyanannyit. Az nyer, aki az utolsó kavicsot elveszi. Nyerő stratégia? A szimmetria nem segít!

101 Willem Abraham Wythoff (1865-1939)

102 Wythoff-nim

103

104

105

106 n0123456789 ⋯ anan 0134689111214 ⋯ bnbn 0257101315182023 ⋯ Legyen (a n,b n ) a Wythoff-nim n-edik jó állása. Tétel (Wythoff 1907):

107 Osztályozás 33 Tic-tac-toe 44 Bachet 55 Bachet játék nyerő stratégiája 6-13613 Jó és rossz állások 14-171417 Miki 1818 SG-függvény 19-261926 Kivonási játékok 2727 Mini Bachet SG 28-472847 Bachet SG 48-564856 Kivonási játék SG periodikus 5757 KöMaL: kivonási játék 5858 Sarokba a bástyát! 59-705970 KöMaL: Sarokba a sánta bástyát! 7171 Sarokba a bástyát! -> nim 7272 Nim 7373 Nim-összeadás 7474 Többcsomós nim SG 7575 Sarokba a királyt! 76-867686 Sarokba a királynőt! 87-988798 Sarokba a királynőt! -> Wythoff-nim 9999 Wythoff-nim 100100 Wythoff 101101 Wythoff SG 300 102102 Wythoff SG 25 103-105103105 Wythoff tétele 106106


Letölteni ppt "Miki és a nyerő stratégia Waldhauser Tamás SZTE Bolyai Intézet."

Hasonló előadás


Google Hirdetések