Az előadás letöltése folymat van. Kérjük, várjon

Az előadás letöltése folymat van. Kérjük, várjon

Dominók és kombinatorika Hajnal Péter SZTE, Bolyai Intézet.

Hasonló előadás


Az előadások a következő témára: "Dominók és kombinatorika Hajnal Péter SZTE, Bolyai Intézet."— Előadás másolata:

1 Dominók és kombinatorika Hajnal Péter SZTE, Bolyai Intézet

2 A szereplők Dominó

3 A szereplők Dominó Tábla

4 A szereplők Dominó Tábla Mezők, szomszédság (4-szomszédság)

5 A szereplők Dominó Tábla Fedés

6 Lefedhető-e? ALAPPROBLÉMA: Adott T tábla. Lefedhető-e?

7 0. Feladat: Lefedhető-e az alábbi tábla dominókkal?

8 Lefedhető-e? 0. Feladat: Lefedhető-e az alábbi tábla dominókkal? NEM Fedés esetén páros sok mezőnek kell lenni.

9 Lefedhető-e? 0.5 Feladat: Lefedhető-e az alábbi tábla dominókkal?

10 Lefedhető-e? 0.5 Feladat: Lefedhető-e az alábbi tábla dominókkal? NEM A két fekete mezőnek egy szomszédja van.

11 Lefedhető-e? 1. Feladat: Egy sakktábla két átellenes sarokmezőjét elhagyjuk. Lefedhető-e a maradék tábla dominókkal?

12 Lefedhető-e? 1. Feladat: Egy sakktábla két átellenes sarokmezőjét elhagyjuk. Lefedhető-e a maradék tábla dominókkal?

13 Lefedhető-e? 1. Feladat: Egy sakktábla két átellenes sarokmezőjét elhagyjuk. Lefedhető-e a maradék tábla dominókkal? NEM Minden dominó egy fehér és egy fekete mezőt fed le. 32 fekete és 30 fehér mezőnk van.

14 Lefedhető-e? 1. Feladat: Egy sakktábla két átellenes sarokmezőjét elhagyjuk. Lefedhető-e a maradék tábla dominókkal? NEM 32 fekete mezőnknek a szomszédsága 30 fehér mező.

15 Lefedhető-e? Tétel: Egy tábla akkor és csak akkor nem fedhető le dominókkal, ha valamelyik színben kijelölhető néhány mező úgy, hogy szomszédainak száma kevesebb legyen mint a kijelölt mezők száma.

16 Lefedhető-e? Probléma: Adott tábla lefedhető-e dominókkal? Válasz: NEM Bizonyítási séma: Adjunk meg valahány azonos színű mezőt úgy, hogy szomszédaik kevesebben legyenek mint ők maguk. Tétel: A fenti séma egy teljes séma.

17 Lefedhető-e? Adott egy T tábla. Lefedhető-e? IGEN Hány fedés van? NEM Maximum hány dominó rakható le?

18 Lerakható dominók maximális száma 2. Feladat: Maximum hány dominó rakható le az alábbi táblára?

19 Lerakható dominók maximális száma 16 dominó könnyen larakható:

20 Lerakható dominók maximális száma 16 fekete, 24 fehér mező. Minden dominó 1 fekete mezőt fed le. Maximum 16 dominó rakható le.

21 Lerakható dominók maximális száma 3. Feladat: Maximum hány dominó rakható le az alábbi táblára?

22 Lerakható dominók maximális száma 7 dominó könnyen lerakható:

23 Lerakható dominók maximális száma 8 fekete mezőt, 3 fehér szomszéddal jelöltünk be. A bejelölt 8 fekete mezőből legfeljebb 3 lehet fedve.

24 Lerakható dominók maximális száma 8 fekete mezőt, 3 fehér szomszéddal jelöltünk be. A bejelölt 8 fekete mezőből legfeljebb 3 lehet fedve. Legalább 5 fekete mező fedetlen.

25 Lerakható dominók maximális száma 6 fehér mezőt, 2 fekete szomszéddal jelöltünk be. A bejelölt 6 fehér mezőből legfeljebb 2 lehet fedve. Legalább 4 fehér mező fedetlen.

26 Lerakható dominók maximális száma Összesen 12 fekete és 11 fehér mező: Legfeljebb 12-5=11-4=7 dominó rakható le.

27 Lerakható dominók maximális száma Probléma: Adott T tábla. Maximum hány dominó rakható le? Válasz: k

28 Lerakható dominók maximális száma Probléma: Adott T tábla. Maximum hány dominó rakható le? Válasz: k I. séma: Mutassunk fel egy M dominó lerakást, amelyben k dominó szerepel. Legyen d az M által lefedetlen fekete mezők száma.

29 Lerakható dominók maximális száma Probléma: Adott T tábla. Maximum hány dominó rakható le? Válasz: k I. séma: Mutassunk fel egy M dominó lerakást, amelyben k dominó szerepel. II. séma: Adjunk meg s+d fekete színű mezőt úgy, hogy s szomszédja legyen.

30 Lerakható dominók maximális száma Probléma: Adott T tábla. Maximum hány dominó rakható le? Válasz: k I. séma: Mutassunk fel egy M dominó lerakást, amelyben k dominó szerepel. II. séma: Adjunk meg s+d fekete színű mezőt úgy, hogy s szomszédja legyen. Tétel: Ez egy teljes séma.

31 Hányféleképpen fedhető le? 4. Feladat: Az alábbi tábla hányféleképpen fedhető le dominókkal? Válasz=V(tábla oszlopainak száma) V(16)=?

32 Hányféleképpen fedhető le? Első fajta indulás: V(n-1)-féle befejezés.

33 Hányféleképpen fedhető le? Első fajta indulás: V(n-1)-féle befejezés. Második fajta indulás: V(n-2)-féle befejezés.

34 Hányféleképpen fedhető le? Kaptuk: V(n)=V(n-1)+V(n-2).

35 Hányféleképpen fedhető le? Kaptuk: V(n)=V(n-1)+V(n-2). Egyszerű: V(0)=1, V(1)=1, V(2)=2.

36 Hányféleképpen fedhető le? Kaptuk: V(n)=V(n-1)+V(n-2). Egyszerű: V(0)=1, V(1)=1, V(2)=2. Teljes indukció: V(n)= Fibonacci-számok.

37 Hányféleképpen fedhető le? 5. Feladat: Az alábbi tábla hányféleképpen fedhető le dominókkal? Válasz=V’(tábla oszlopainak száma) V’(16)=? V’(2k+1)=0, V’(2k)=?

38 Hányféleképpen fedhető le? Lehetséges kezdések: …

39 Hányféleképpen fedhető le? V’(n)=3V’(n-2)+2V’(n-4)+2V’(n-6)+2V’(n-8)+... V’(n-2)= 3V’(n-4)+2V’(n-6)+2V’(n-8)+… V’(n)-V’(n-2)=3V’(n-2)-V’(n-4) V’(n)=4V’(n-2)-V’(n-4) Könnyen számolható: V’(0)=1,V’(2)=3, V’(4)=11

40 Hányféleképpen fedhető le? 6. Feladat Bizonyítsuk be, hogy V’(16) páratlan.

41 Hányféleképpen fedhető le?

42

43 Egy tábla típus:

44 Hányféleképpen fedhető le? Azték gyémánt, AGy(n): n

45 Hányféleképpen fedhető le? Azték gyémánt, AGy(n): Kék mezők száma: n =n(n-1)/2 Összes mezők száma: 4 n

46 Hányféleképpen fedhető le? AGy(2) fedései:

47 Hányféleképpen fedhető le? Tétel: n AGy(n) fedéseinek száma 2.

48 Hányféleképpen fedhető le? Egy tábla típus: N(2n)

49 Hányféleképpen fedhető le? Tétel: N(2n)-nek fedése van.

50 A fedések összessége 7. Feladat: Bizonyítsuk be, hogy N(2n) minden fedésében van két szomszédos dominó:

51 A fedések összessége 7. Feladat: Bizonyítsuk be, hogy N(2n) minden fedésében van két szomszédos dominó: 7.5 Feladat: Bizonyítsuk be, hogy AGy(n) minden fedésében van két szomszédos dominó.

52 A fedések összessége Bizonyítás: N(6) ?

53 A fedések összessége ?

54 ?

55 ?

56

57 Lemma: N(2n) minden fedésében van két szomszédos dominó: Lemma: AGy(n) minden fedésében van két szomszédos dominó. Szomszédos dominók=Csavarás a fedésben.

58 A fedések összessége

59

60

61 AGy(2) gráfja:

62 A fedések összessége AGy(2) gráfja: Tétel: AGy(n) és N(2n) gráfja összefüggő.

63 Tábla telítése Tábla: Telített tábla: további dominó nem rakható le.

64 Tábla telítése Tábla: Telített tábla: további dominó nem rakható le.

65 Tábla telítése Tábla: Telített tábla: további dominó nem rakható le. Mi a minimális számú dominó, ami a telítéshez szükséges?

66 Tábla telítése 8. Feladat: Bizonyítsuk be, hogy a 6x6-os táblán bárhogy elhelyezünk 11 dominót lesz hely egy továbbinak is.

67 Tábla telítése Megjegyzés: A 6x6-os tábla telíthető 12 dominóval:

68 Tábla telítése Megoldás: INDIREKT 11 dominó=14 üres mező

69 Tábla telítése Megoldás: 11 dominó=14 üres mező Az első öt sorban x üres mező. Mindegyik alatt egy dominó.

70 Tábla telítése Megoldás: 11 dominó=14 üres mező Az első öt sorban x üres mező. Mindegyik alatt egy dominó. Ezek különbözőek.

71 Tábla telítése Megoldás: 11 dominó=14 üres mező Az első öt sorban x üres mező. Mindegyik alatt egy dominó. Ezek különbözőek. x≤11.

72 Tábla telítése Megoldás: 11 dominó=14 üres mező Az első öt sorban x üres mező. Mindegyik alatt egy dominó. Ezek különbözőek. A legalsó sorban legalább 3 üres mező.

73 Tábla telítése Megoldás: 11 dominó=14 üres mező Az első öt sorban x üres mező. Mindegyik alatt egy dominó. Ezek különbözőek. A legalsó sorban pontosan 3 üres mező.

74 Tábla telítése Megoldás: 11 dominó=14 üres mező Az első öt sorban x üres mező. Mindegyik alatt egy dominó. Ezek különbözőek. A legalsó sorban pontosan 3 üres mező.

75 Tábla telítése Megoldás: 11 dominó=14 üres mező Az első öt sorban x üres mező. Mindegyik alatt egy dominó. Ezek különbözőek. A legalsó sorban pontosan 3 üres mező.

76 Tábla telítése Megoldás: 11 dominó=14 üres mező Az első öt sorban x üres mező. Mindegyik alatt egy dominó. Ezek különbözőek. A legalsó sorban pontosan 3 üres mező.

77 Tábla telítése Az alsó féltáblán legalább 6=5+0,5+0,5 dominó. Az felső féltáblán legalább 6 dominó. Ellentmondás.

78 Tábla telítése Jóval NEHEZEBB feladat: Mi a helyzet n x n-es táblával?

79 Dominó lerakás javítása Telítésnél addig rakunk le dominókat, amíg két szomszédos üres mezőt találunk.

80 Dominó lerakás javítása Telítésnél addig rakunk le dominókat, amíg két szomszédos üres mezőt találunk. Triviális javítás: két szomszédos üres mezőre egy új dominó lerakása.

81 Dominó lerakás javítása Telítésnél addig rakunk le dominókat, amíg két szomszédos üres mezőt találunk. Triviális javítás: két szomszédos üres mezőre egy új dominó lerakása. Telítés: triviális javításokat végzünk, amíg lehet.

82 Dominó lerakás javítása Dominó kígyó:

83 Dominó lerakás javítása Ha a dominó kígyó fejénél üres mező van:

84 Dominó lerakás javítása Ha a dominó kígyó fejénél üres mező van:

85 Dominó lerakás javítása Ha a dominó kígyó fejénél üres mező van:

86 Dominó lerakás javítása Ha a dominó kígyó fejénél üres mező van:

87 Dominó lerakás javítása Ha a dominó kígyó fejénél üres mező van:

88 Dominó lerakás javítása Ha a dominó kígyó fejénél üres mező van:

89 Dominó lerakás javítása Ha a dominó kígyó fejénél üres mező van:

90 Dominó lerakás javítása Ha a dominó kígyó fejénél üres mező van:

91 Dominó lerakás javítása Ha a dominó kígyó fejénél üres mező van:

92 Dominó lerakás javítása Ha a dominó kígyó fejénél üres mező van:

93 Dominó lerakás javítása Ha a dominó kígyó fejénél üres mező van:

94 Dominó lerakás javítása Ha a dominó kígyó fejénél üres mező van:

95 Dominó lerakás javítása Ha a dominó kígyó fejénél üres mező van:

96 Dominó lerakás javítása Ha a dominó kígyó fejénél üres mező van:

97 Dominó lerakás javítása Ha a dominó kígyó fejénél üres mező van:

98 Dominó lerakás javítása Ha a dominó kígyó fejénél és farkánál is üres mező van:

99 Dominó lerakás javítása Ha a dominó kígyó fejénél és farkánál is üres mező van:

100 Dominó lerakás javítása Kígyó javítás: Szükséges két üres mező, köztük egy dominó kígyó. A dominó kígyó ”megeszi” a fejénél lévő üres mezőt, ezzel helyet csinál a farkánál egy új dominónak.

101 Dominó lerakás javítása Kígyó javítás: Szükséges két üres mező, köztük egy dominó kígyó. A dominó kígyó ”megeszi” a fejénél lévő üres mezőt, ezzel helyet csinál a farkánál egy új dominónak. Tétel: Ez egy univerzális javítási technika.

102 Dominó lerakás javítása 9. Feladat: Bizonyítsuk be, ha a 6 x 6-os sakktábla bármely két különböző színű mezőjét elvesszük, a maradék tábla lefedhető dominókkal.

103 Dominó lerakás javítása Megoldás: Vegyük a következő fedést: Egy önmaga farkába harapó kígyó.

104 Dominó lerakás javítása Vegyük a két kiüresítendő mezőt. Meghatá- roznak egy részkígyót: A részkígyó fejét és farkát kell kiüríteni.

105 Dominó lerakás javítása Kígyójavítás megfordítása megoldja a feladatot:

106 Dominó lerakás javítása Kígyójavítás megfordítása megoldja a feladatot:

107 Dominó lerakás javítása Kígyójavítás megfordítása megoldja a feladatot:

108 Dominó lerakás javítása Kígyójavítás megfordítása megoldja a feladatot:

109 Dominó lerakás javítása Kígyójavítás megfordítása megoldja a feladatot:

110 Dominó lerakás javítása Kígyójavítás megfordítása megoldja a feladatot:

111 Dominó lerakás javítása Kígyójavítás megfordítása megoldja a feladatot:

112 Dominó lerakás javítása Kígyójavítás megfordítása megoldja a feladatot:

113 Dominó lerakás javítása Kígyójavítás megfordítása megoldja a feladatot:

114 Dominó lerakás javítása Kígyójavítás megfordítása megoldja a feladatot:

115 Dominó lerakás javítása Kígyójavítás megfordítása megoldja a feladatot:


Letölteni ppt "Dominók és kombinatorika Hajnal Péter SZTE, Bolyai Intézet."

Hasonló előadás


Google Hirdetések