Babiloni matematika Jutasi Szilvia Infotanár MA.

Az előadások a következő témára: "Babiloni matematika Jutasi Szilvia Infotanár MA."— Előadás másolata:

1 Babiloni matematika Jutasi Szilvia Infotanár MA

2 Babiloni matematika Babilóniai matematika alatt azt a rendszert értjük, melyet Mezopotámiában (mai Irak területe) használtak a korai sumerektől a hellenisztikus kor kezdetéig. Azért nevezik babilóniai matematikának, mert Babilonnak, mint tudományos központnak központi szerepe volt benne, ezt a szerepét azonban a hellenisztikus korban elvesztette.

3 Babiloni matematika Ekkortól kezdve a babilóniai matematika egyesült a görög és egyiptomi rendszerekkel, amely a hellenisztikus matematika kialakulásához vezetett. Később az arab birodalom uralma alatt Mezopotámia, különösképpen Bagdad ismét fontos szerepet kapott, mint a muzulmán matematika tudományos központja.

4 Babiloni matematika Az első helyiértékes számírás emlékeit Mezopotámiában és annak fővárosában, Babilonban találták meg. Ezek kb éves (Kr. e körül) agyagtáblák.

5 Babiloni matematika Kr. e és 1600 között készítették az emberiség egyik legősibb számelméleti dokumentumát, a Plimpton 322 néven is ismertté vált babiloni agyagtáblát. Ezen megtalálható egy sor ún. Pitagoraszi számhármas, jóval Pitagorasz előtt.

6 Babiloni matematika Ezeken az agyagtáblákon a 60-as számrendszer fedezhető fel. A 60-as számrendszer nyomait ma is megtalálhatjuk, hiszen az idő illetve a szög fokban történő mérésénél 60 a váltószám. 1 óra = 60 perc, 1 perc = 60 másodperc

7 Babiloni matematika A babiloniak az első kilenc számjegyet megfelelő számú vonással jelölték (ék). A 10-re külön jelük volt (sarokpánt), annak ismétlésével írták le a 20-at, 30-at, 40-et és 50-et. A 60 jelölésére újból az 1-es jelét használták (helyiérték!).

8 Babiloni matematika A 60-as számrendszerben dolgoztak, de nem volt 60 különböző számjegyük, ahogy azt az ember elsőre elvárná. A babiloniak nem használták a nullát, így aztán leírva pl. az 1 és a 60 ugyanúgy nézett ki. Csak a szövegkörnyezetből lehetett következtetni rá, hogy pontosan melyikről van szó.

9 Babiloni számok 1től 59ig

10 Agyagtáblák A babiloniak nádpálcával puha agyagtáblákba írtak, majd azt kiégették. A pálca alakja okozza az ékírás jellegzetes formáját.

11 A babiloni táblázatok: Plimpton 322
A babiloniak a táblázatok megszállottjai voltak. Az egyik tábla, amelyet megfejtettek rendkívüli. Ez a tábla a Columbiai Egyetem múzeumának birtokában van.

12 Plimpton 322 Nincs rajta semmi más, csak 15 számhármas.
Mindegyik számhármasra igaz, hogy az első szám négyzetszám, és megegyezik a másik kettő összegével, amelyek maguk is négyzetszámok – azaz a tábla tizenöt pitagoraszi számhármast tartalmaz.

13 Pitagoraszi számhármasok (néhány)
5 3 4 13 12 25 7 24 17 8 15 41 9 40 61 11 60 37 35 85 84 65 16 63 29 20 21 53 28 45 33 56 36 77 89 39 80 97 72

14 Négyzetgyök 2 Az 1-nél kisebb helyiértékeket is használták, „hatvanados” törteket írtak. Így maradt fent a értéke: 1·600+24· · ·60-3 alakban, 4 tizedesjegy pontossággal (1,4142):

15 Négyzetgyök 2 A Yale egyetemen található es agyagtábla jegyzetekkel

16 Négyzetgyök 2 A gyökvonás elvégzésére egyébként a numerikus matematikában ma is használt iterációs eljárást alkalmazták: legyen a0 a első, tetszőleges közelítése (akár 1-et is vehetünk), minden további közelítést pedig az előzőből a fenti képlet szerint számolták. Ez az eljárás meglepően gyorsan konvergál: ha pl. a0=1-ből indulunk, akkor a1=1,5 és a2=1,415...

17 Babiloni táblázatok Szorzótábla
Az osztást reciprokkal történő szorzással végezték. Számolásaik megkönnyítésére különböző táblázatokat használtak. Volt szorzó és reciprok táblázatuk, sőt négyzet, köb és négyzetgyök táblázatuk is. Szorzótábla

18 Egyenletek A régészeti leletek azt mutatják, hogy már ismerték az első és másodfokú egyenletek megoldását, sőt oldottak meg harmadfokú egyenletet is. Egy általuk megoldott akkori időből származó feladat: Két négyzet területének összeg Az egyik négyzet oldala a másik oldalának kétharmadánál tízzel kisebb. Mekkorák a négyzet oldalai? Ennek a feladatnak a megoldása során a 13x2-120x-8100=0 másodfokú egyenlethez jutunk.

19 Pitagorasz tétele Ismerték és bizonyítani is tudták a Pitagorasz tételt. A babiloni matematika közvetlenül is nagy hatással volt az ókori görög matematikusokra, elsősorban Thalész-ra és Pitagorasz-ra, valamint a hindu matematikára is.

20 Pitagorasz tételének egy bizonyítását is a babiloniakhoz kötik:
Ha mindkét ábráról elhagyjuk a négy-négy egybevágó háromszöget, a maradék idomok területe megegyezik. a2+b2=c2 a b c

21 Háromszögek Ismerték a háromszögek hasonlóságát
Az írásos emlékekből tudjuk, hogy geometriai ismereteik meglepően fejlettek voltak, de ezek elsősorban a gyakorlati életet szolgálták.

22 Kamatszámítás I.e. 600-as évekből származó leleteken kamatszámítási feladatokat találtak, tehát ismerték a százalékszámítást.

23 Babiloni matematika Összefoglalva:
A babiloniak két legnagyobb, máig élő hozzájárulása a matematikához a 60-as számrendszer és a helyiérték bevezetése.

24 Felhasznált irodalom