Az előadás letöltése folymat van. Kérjük, várjon

Az előadás letöltése folymat van. Kérjük, várjon

Kocsisné Dr. Szilágyi Gyöngyi. Elérehet ő ség: aszt.inf.elte.hu/~szilagyi/ aszt.inf.elte.hu/~szilagyi Fogadó óra: hétf ő 10-12.

Hasonló előadás


Az előadások a következő témára: "Kocsisné Dr. Szilágyi Gyöngyi. Elérehet ő ség: aszt.inf.elte.hu/~szilagyi/ aszt.inf.elte.hu/~szilagyi Fogadó óra: hétf ő 10-12."— Előadás másolata:

1 Kocsisné Dr. Szilágyi Gyöngyi

2 Elérehet ő ség: aszt.inf.elte.hu/~szilagyi/ aszt.inf.elte.hu/~szilagyi Fogadó óra: hétf ő szoba Jegyzet: Pásztorné Varga Katalin, Várterész Magda: A MATEMATIKAI LOGIKA ALKALMAZÁSSZEMLÉLET Ű TÁRGYALÁSA

3 Bevezetés A 0. rendű logika (Itéletkalkulus) Szintaxis Szemantika 0. rendű logikai törvények Szemantikus következmény Normálformák Automatikus tételbizonyítás (szemantikus, szintaktikus) Az 1. rendű logika (Predikátumkalkulus) Szintaxis Szemantika 1. rendű logikai törvények Szemantikus következmény Szintaktikus megközelítés ( Rezolúció)

4 1. Ha fúj a szél, akkor Kati a munkahelyére megy. 2. Ha Kati a munkahelyére megy, akkor dolgozik. 3. Katinak nincs lehetősége otthon dolgozni. Formalizáljon. Következmény-e: 4. Ha fúj a szél, akkor Kati nem marad otthon. F: Fúj a szél M: Kati a munkahelyére megy D: Kati dolgozik O: Kati otthon van 1. F  M 2. M  D 3.  (O  D ) 4. F   O

5 EGY FORMULA Van-e olyan interpretáció, ahol igaz Minden interpretációban igaz Egyetlen interpretációban sem igaz KÉT FORMULA Az interpretációkban egyformán viselkednek-e

6 Az ítéletlogikai formulák szemantikai tulajdonságuk alapján az alábbi ábra szerint osztályozhatók:

7 Definíció: Tautológikus következmény A  formula hamaznak a B formula tautológikus következménye (  |= o B), ha  I: I |= o , akkor I |= o B ( vagyis  minden modellje B-nek is modellje ).

8 Tétel::  I: I |= o { A 1,..., A n }  I |= o A 1 ...  A n Tétel:: { A 1,..., A n } |= o B  A 1 ...  A n  B kielégíthetetlen Tétel:(dedukciós) Az {F1, F2,..., Fn}  = 0 G akkor és csak akkor, ha {F1, F2,..., Fn-1}  = 0 (Fn  G). Tétel:(eldöntésprobléma) Az {F1, F2,..., Fn}  = 0 G akkor és csak akkor, ha  = 0 F1  (F2  (...  ( Fn-1  (Fn  G))...) tautológia. Tétel: Az {F1, F2,..., Fn}  = 0 G akkor és csak akkor, ha  = (F 1 ...  F n )  G tautológia

9 Tétel: Egy feladat kiinduló állításaiból (axiómák) egy újabb állításra következtetünk (konklúzió) Több megfogalmazása lehetséges A szemantikus következményfogalom írja le {F1, F2,..., Fn}  = 0 G, ahol - F1, F2,..., Fn: a tétel axiómái / feltételei / premisszái - G: következmény / konklúzió a pontosan akkor törvények alapján Például: Definíció: Tétel A bizonyítandó (F 1 ...  F n ) G formulát tételnek nevezzük. Definíció: Tételbizonyítás Annak belátása, hogy (F 1 ...  F n ) G tautológia. Definíció: Automatikus Tételbizonyítás Olyan eljárás, amellyel mechanikusan lehet matematikai tételeket belátni. Speciális esetben döntési probléma formában történik a megfogalmazás (tautológia-e: igen / nem)

10 Eldöntésprobléma: Egy olyan feladat, melynek megoldása egy eldöntendő kérdésre adott igen, nem válasz. Döntési eljárás / Kalkulus: Az eldöntésprobléma megoldására kidolgozott módszer. Kérdés: Létezik-e olyan univerzális döntési eljárás, mely egy általában végtelen osztály minden elemét eldönti, azaz egy igen / nem választ képes adni a vele kapcsolatban felmerült döntési problémára

11 1. Szintaktikus megközelítés Formai jellegű, a formulák jelentése nem játszik szerepet. Formális nyelv: az állításaink leírására Axiómák: olyan formulák, melyeket igaznak fogadunk el. Következtetési / Levezetési szabályok: olyan leképezések, melyek egy vagy több formulából újabb formulát állítanak elő A levezetési szabályokkal nyerhető formulákat nevezzük az axiomatikus elmélet tételeinek. Cél: adott formuláról megállapítani, hogy tétel-e. Kérdés: a matematikai diszciplináknak melyek az axiómái Például: Hilbert féle formális bizonyítás, Gentzen stílusú kalkulus, REZOLÚCIÓ 2. Szemantikus megközelítés

12 Figyelembe vesszük a formula jelentését is. Formális nyelv: az állításaink leírására Szabályok: Ezek adnak jelentést a formulának (interpretáció, kiértékelés) Az a feladat, hogy a formula azonosan igaz voltát / kielégíthetetlenségét eldöntsük. Például: Igazságtábla, Lusta kiértékelés, Igazságértékelés, Wang algoritmusa, Quine-McCluskey algoritmusa (KDNF és KKNF egyszerűsítése), Szemantikus fa és klózillesztés

13 Kielégíthetőség eldöntése: igazságtáblával Ha van olyan sor A igazságtáblájában, ahol a Boole-értéke „i”. igazságértékelés fával Ha A i nem üres, azaz  (A) i fában nem minden ág ellentmondásos. Kielégíthetetlenség eldöntése: igazságtáblával Ha A igazságtáblájában minden sor Boole-értéke „h”. igazságértékelés fával Ha  (A) i fában minden ág ellentmondásos, tehát A i üres. Tautológia tulajdonság eldöntése: igazságtáblával Ha A igazságtáblájában minden sor Boole-értéke „i”. igazságértékelés fával Ha  (A) h fa minden ága ellentmondásos, tehát A h üres.

14 MÓDSZER( def. ) igazságtábla ( Tk. 77. old. ) lusta kiértékelés ( Tk. 77. old. ) igazságértékelés ( Tk. 78. old. ) VISSZAKÖVETKEZTETÉS def. szerint igazságtábla lusta kiértékelés igazságértékelés tétel szerint ( Lemma 2 ) igazságtábla ( Tk. 83. old. ) lusta kiértékelés ( Tk. 83. old. ) igazságértékelés ( Tk. 84. old. ) ELŐREKÖVETKEZTETÉS( tétel ) igazságtábla ( Tk. 85. old. ) lusta kiértékelés ( Tk. 85. old. )

15 A szintaktikus és a szemantikus módszer ugyanoda vezet-e ?

16 Egy kalkulussal szemben azok a legfontosabb követelések merültek fel, hogy legyen Ellentmondásmentes (konzisztens): levezethető-e egy állítás és annak tagadása is teljes: minden állítást vagy igazolni, vagy cáfolni lehessen helyes: minden ami levezethető, az valóban tétel (következmény) eldönthetőség: létezik olyan algoritmus, amely az elmélet bármely állításáról eldönti, hogy levezethető-e vagy sem Eredmények (17. század és utána): Leibniz: automatikus tételbizonyítás megalapozása Tarski: Az elemi geometria eldönthető Zermelo-Fraenkel féle halmazelméletben a Kiválasztási axióma sem nem bizonyítható, sem nem cáfolható Kurt Gödel nemteljességi tételei: minden elég erős formális elméletben van eldönthetetlen állítás (a közönséges aritmetika nem formalizálható teljes rendszerben formális elmélet nem tudja igazolni a saját konzisztenciáját. Church és Turing egymástól függetlenül: Negatív válasz az eldönthetőségi problémára G. Boole: algebrai módszerekkel vizsgálta a logikát De Morgan: a matematika különböző területeinek logikai megalapozása Ezek a tételek azt is jelentik, hogy a logika kevés ahhoz, hogy minden tudáshoz keretet adjon.

17 Gödel t eljességi tétele a matematikai logika fontos tétele, azt mondja ki, hogy ha egy elsőrendű elméletben egy tetszőleges mondat minden modellben igaz, akkor bizonyítható is. Az igazság tétel A tétel szerint, ha egy L elsőrendű nyelvben megadott T elméletnek (zárt formulák halmazának) van modellje, akkor konzisztens (ellentmondásmentes). Ez nyilvánvaló, hiszen a modellben minden T-ből levezethető állításnak igaznak kell lennie, márpedig a modellen nem teljesülhet egyszerre egy zárt formula és tagadása. A teljességi tétel A teljességi tétel az igazság tétel megfordítása: Ha egy L elsőrendű nyelvben megadott T elmélet (zárt formulák halmaza) konzisztens, akkor van modellje. A teljességi tétel másik alakja Ha egy L elsőrendű nyelvben T elmélet és F zárt formula, amire teljesül T  = F, azaz F igaz T minden modelljében, akkor F levezethető T-ből. Ez az állítás ekvivalens a teljességi tétel fenti alakjával

18 Tétel – Gödel első nemteljességi tétele Minden ellentmondásmentes, a természetes számok elméletét tartalmazó, formális- axiomatikus elméletben megfogalmazható olyan mondat, mely se nem bizonyítható, se nem cáfolható. Terminológiai megjegyzések 1 – Formális-axiomatikus elmélet alatt bármilyen formalizált (például elsőrendű nyelvre épített) axiomatikus-deduktív elméletet érthetünk,. 2 – Ellentmondásos egy axiomatikus elmélet, ha van benne olyan mondat, mely bizonyítható is és cáfolható is. Amennyiben kizárt, hogy akármelyik mondat bizonyítható és cáfolható is legyen, akkor azt mondjuk, hogy az elmélet ellentmondásmentes. 3 – Azon, hogy tartalmazza a természetes számok elméletét, azt értjük, hogy szerepeljenek a formális nyelvben olyan kifejezések, melyek megfeleltethetők a természetes számoknak, az összeadásnak, a szorzásnak úgy, hogy a Peano-aritmetika axiómái megfogalmazhatók és egyben levezethetők is legyenek az elméletben. Ezt a feltételt még úgy is meg szokták fogalmazni, hogy az elmélet elegendően erős. 4 – Megfogalmazható, azaz létezik a formális nyelvnek ilyen mondata. (Ez a fajta létezés ráadásul konstruktív abban az értelemben, hogy valamilyen eljárással véges lépésben kikereshető az összes mondat közül – bár a kikeresés idejére vonatkozóan nem feltétlenül lehet felső korlátot megadni.) 5 – Bizonyítható, azaz formalizált axiomatikus-deduktív elméletek levezethetőség kritériumának megfelel. 6 – Cáfolható egy S mondat, ha negációja (azaz a 'nem S' mondat) bizonyítható.

19 Gödel második nemteljességi tétele Gödel első nemteljességi tételének egy lényeges kiterjesztése. Míg az első nemteljességi tétel azt mondja ki, hogy minden „valamirevaló” elméletnek van megoldhatatlan problémája, addig ez a tétel konkrét példát mutat: minden „valamirevaló” elméletben bizonyíthatatlan, hogy maga az elmélet ellentmondásmentes.

20 A matematikusok a szintaktikus vagy a szemantikus megközelítést alkalmazzák?

21 Bevezetés: A DNF-ek egyszerűsítési algoritmusainak kutatása az es évekre tehető. Ez volt az az időszak, amikor az elektronikus berendezések tervezése korábban funkcionális ( ˄, ˅, ¬, ¬ ˄, ¬ ˅ funkciókat realizáló) elemek alapján, később a programozható logikai mátrixok (PLA), valamint memóriaelemek felhasználásával történt. Egy n-változós A formula az igazságtáblájával megadott b: {i,h} n  {i,h} leképezést (logikai műveletet) ír le. A lehetséges interpretációk száma: 2 n 2 n Az n változós logikai műveletek száma: 2 Melyik logikai műveletek kellenek ahhoz, hogy egy adott nyelven mindegyik logikai művelethez tartozzon legalább egy logikai formula?

22 Definíció: A logikai összekötőjelek halmazát funkcionálisan teljes művelethalmaznak nevezzük, ha e logikai összekötő jelhalmaz elemeinek és ítéletváltozóinak felhasználásával tetszőleges {i,h} n →{i,h} leképezéshez lehet konstruálni a leképezést leíró jólformált formulát. Tetszőleges {i,h} n →{i,h} leképezés leírható csak (¬, ˄, ˅ ) műveleti jeleket tartalmazó jólformált formulával, vagyis hogy a (¬, ˄, ˅ ) funkcionálisan teljes művelethalmaz.

23 Definíciók: 1.Literálnak nevezünk egy x prímformulát/ítéletváltozót vagy annak a negáltját, ¬x-et. A literál alapja a prímformula jele. 2. Azonos alapú literálok azok a literálok, amelyek ugyanazt a prímformulát tartalmazzák. X és ¬x 3. Különböző literálok a különböző alapú literálok. X és Y 4. Elemi konjukciónak nevezzük különböző literálok konjukcióját. X ˄ ¬x ˄ Y ˄ Z 5. Elemi diszjunkciónak nevezzük különböző literálok diszjunkcióját. Az elemi diszjunkciót klóznak is nevezzük. X ˅ ¬x ˅ Y ˅ Z 6. Teljes elemi konjukciónak nevezzük az olyan elemi konjukciót, amelyben a leképezésben szereplő minden ítéletváltozóból alkotott literálpár valamelyike szerepel. 7. Teljes elemi diszjunkciónak nevezzük az olyan elemi diszjunkciót, amelyben a leképezésben szereplő minden ítéletváltozóból alkotott literálpár valamelyike szerepel.

24 Definíciók: 8. Diszjunktív normálforma (DNF) elemi konjunkciók diszjunkciója. (X ˄ ¬x) ˅ (Y ˄ Z) 9. Konjuktív normálforma (KNF) elemi diszjunkciók (vagy klózok) konjunkciója. (X ˅ ¬x) ˄ (Y ˅ Z) 10. Kitűntetett diszjunktív normálforma (KDNF) teljes elemi konjunkciók diszjunkciója. 11. Kitűntetett konjuktív normálforma (KKNF) teljes elemi diszjunkciók konjunkciója. A továbbiakban megadunk két algoritmust, amellyel tetszőleges {i,h} n →{i,h} leképezéshez az azt leíró speciális alakú formula állítható elő. Ezek a kitűntetett diszjunktív normálforma és a kitűntetett konjuktív normálforma. Tekintsük az α={i,h} n →{i,h} leképezés igazságtábláját. Legyenek x 1,x 2,…,x n az igazságtáblán szereplő ítéletváltozók.

25 Kitüntetett diszjunktív normálforma előállítása Válasszuk ki az igazságtábla azon sorait ahol α=i. 1.Minden ilyen sorhoz rendeljünk hozzá egy x’ 1 ˄ x’ 2 ˄ … ˄ x’ n =k s teljes elemi konjunkciót úgy, hogy az x’ i literál x i vagy ¬x i legyen aszerint, hogy ebben a sorban x’ 1 oszlopában i vagy h áll. 2.Az így kapott teljes elemi konjunkciók diszjunkciója k i1 ˅ k i2 ˅ … ˅ k iα az α leképezést leró kitűntetett diszjunktív normálforma. Vegyük észre, hogy k s csak az igazságtábla hozzátartozó sorának megfelelő igazságértékelésre igaz, és így a k i1 ˅ k i2 ˅ … ˅ k iα formula pontosan az i 1,i 2,…,i α igazságkiértékelések mellett igaz.

26 xyzα hhhi**** (¬x ˄ ¬y ˄ ¬z) hhih hihi**** (¬x ˄ y ˄ ¬z) hiii**** (¬x ˄ y ˄ z) ihhi**** (x ˄ ¬y ˄ ¬z) ihih iihi**** (x ˄ y ˄ ¬z) iiih Kitűntetett diszjunktív normálforma előállítása az igazságtábla az elemi konjunkciók A fenti α leképezést leíró kitűntetett diszjunktív normálforma (¬x ˄ ¬y ˄ ¬z) ˅ (¬x ˄ y ˄ ¬z) ˅ (¬x ˄ y ˄ z) ˅ (x ˄ ¬y ˄ ¬z) ˅ (x ˄ y ˄ ¬z) (=α)

27 Kitűntetett konjunktív normálforma előállítása Válasszuk ki az igazságtábla azon sorait, ahol α =h. 1.Minden ilyen sorhoz rendeljünk hozzá egy x 1 ’ ˅ x 2 ’’ ˅ … ˅ x n ’’=d t teljes elemi diszjunkciót úgy, hogy az x 1 ’’ literál x i vagy ¬x i legyen aszerint, hogy ebben a sorban x i oszlopában h vagy i áll. 2.Az így kapott teljes elemi diszjunkciók konjunkciója d i1 ˄ d i2 ˄ … ˄ d iα az alfa leképezést leíró kitűntetett konjunktív normálforma. Vegyük észre, hogy d t csak az igazságtábla hozzátartozó sorának megfelelő igazságértékelésre hamis, és így a d i1 ˄ d i2 ˄ … ˄ d iα formula pontosan az i 1,i 2,…,i α igazságértékelések mellett hamis.

28 xyzα hhhi hhih**** (x ˅ y ˅ ¬z) hihi hiii ihhi ihih**** (¬x ˅ y ˅ ¬z) iihi iiih****(¬x ˅ ¬y ˅ ¬z) Kitűntetett konjunktív normálforma előállítása. az igazságtáblája az elemi diszjunkciók A fenti α leképezést leíró kitűntetett konjunktív normálforma (x ˅ y ˅ ¬z) ˄ (¬x ˅ y ˅ ¬z) ˄ (¬x ˅ ¬y ˅ ¬z) (=α)

29 A normálforma egyszerűsítése (Quine-McCluskey) Legyen k egy elemi konjunkció és x egy ítéletváltozó, ekkor a k 1 =k ˄ x, k 2 =k ˄ ¬x konjunkciókra a (k ˄ x) ˅ (k ˄ ¬x)=k ˄ (x ˅ ¬x)=k ˄ (i)=k egyszerűsítési szabály alkalmazható. Ezt az egyszerűsítési szabályt alkalmazzuk a kitűntetett diszjunktív normálformák egyszerűsítésére. Az egyszerűsítési szabály alkalmazásával a k ˄ x, k ˄ ¬x kunjunkciópárt a k konjunkcióval helyettesítjük, és így a formulában szereplő konjunkciók száma is csökken. Az egyszerűsítések során a KDNF-ből egy DNF áll elő. A duális egyszerűsítési szabály hasonló módon alkalmas a kitűntetett konjunktív normálformák egyszerűsítésére, ahol k elemi diszjunkció, x ítéletváltozó és az egyszerűsítési szabály (k ˅ x) ˄ (k ˅ ¬x)=k ˅ (x ˄ ¬x)=k ˅ (h)=k.

30 Az alábbiakban megadunk egy algoritmust KDNF-ek egyszerűsítésére. 1.Felírjuk a KDNF-ben szereplő összes elemi konjunkciót. 2.Megvizsgáljuk a konjunkciólistában szereplő összes lehetséges elemi konjunkciópárt, hogy alkalmazható-e rájuk a (k ˄ x) ˅ (k ˄ ¬x)=k egyszerűsítés. Ha igen, akkor a két kiválasztott konjunkciót #-al megjelöljük, és az eredmény konjunkciót beírjuk egy új konjunkciólistába. Azok az elemi konjunkciók, amelyek az eljárás végén nem lesznek megjelölve, nem voltak egyszerűsíthetők, tehát belekerülnek az egyszerűsített diszjunktív normálformába. 3.Ha az új konjunkciólista nem üres, akkor megvizsgáljuk, hogy van-e olyan konjunkciópár, amelyekre a k ˅ k=k összefüggés alkalmazható. A lehetséges összevonások után kapott új konjunkciólista átveszi a konjunkciólista szerepét és a 2. lépés következik. 4.Az eljárás befejeződik, és az algoritmus során kapott, de meg nem jelölt elemi konjunkciókat a ˅ művelettel összekapcsoló formula az eredeti KDNF-el egyenértékű egyszerűsített DNF.

31 1. ¬x ˄ ¬y ˄ ¬z # 2. ¬x ˄ y ˄ ¬z # 3. ¬x ˄ y ˄ z #Minden konjunkció egyszerűsítve lett. 4. x ˄ ¬y ˄ ¬z # 5.x ˄ y ˄ ¬z# Példa: A 2.2. példabeli KDNF egyszerűsítése. A konjunkciólista: 1. ¬x ˄ ¬z (1,2) # 2. ¬y ˄ ¬z (1,4) # 3. ¬x ˄ y (2,3) Bekerül a DNF-be 4. y ˄ ¬z (2,5) # 5.x ˄ ¬z (4,5)# Az első egyszerűsítés eredménye 1.1. ¬z(1,5) ----összevonhatók 2.2. ¬z(2,4) A második egyszerűsítés eredménye Az eredmény: ¬z ˅ (¬x ˄ y).

32 Ha egy leképezés tautológia, akkor a KDNF-re alkalmazott McCluskey algoritmus eredménye az üres konjunkció vagy tele klóz (jele ▪). Például ¬z ˅ z egyszerűsítése után marad ▪ Ha egy leképezés azonosan hamis,, akkor KKNF-re alkalmazott McCluskey algoritmus eredménye az üres diszjunkció vagy üres klóz Jele: Például ¬z ˄ z egyszerűsítése után marad

33 {F1, F2,..., Fn}  = 0 G bizonyítandó 1. Előállítani a megfelelő formulát, ami ha azonosan hamis, akkor a vizsgált formula következmény (korábbi pontosan akkor tételek) F 1 ...  F n  G 2. KKNF alakra hozni 3. KKNF-re alkalmazni McCluskey algoritmusát Ha egy leképezés azonosan hamis, akkor KKNF-re alkalmazott McCluskey algoritmus eredménye az üres diszjunkció. Nagyon nem hatékony!!!

34 Minimális információ elve: Az állítások halmaza az összes információt reprezentálja, ami belőle levezethető „Csak azt szabad, amit megengednek.” Maximális információ elve: Az állítások halmaza az összes vele összegyeztethető információt reprezentálja „Mindent szabad, amit nem tiltanak.” Az automatikus tételbizonyítás melyik elven működik?

35 1965. J.A. Robinson -- EELTERJEDT, HATÉKONY, SZINTAKTIKUS Bizonyítandó: {B 1, B 2, …, B n } |= 0 B 1. Felírjuk a B i -k és a ¬B konjunktív normálformáit, és előállítjuk a bennük szereplő klózok (elemi diszjunkciók) K=(C 1, C 2, …, C M ) klózhalmazát. 2. Rezolúcióval bizonyítjuk a klózhalmaz kielégíthetetlenségét 3. Ha a K klózhalmaz kielégíthetetlen, akkor a B 1, B 2, …, B n feltételek teljesülése esetén a B tétel fennáll.

36 Ha az {F1, F2,..., Fn}  = 0 G, akkor és csak akkor {F1,F2,..., Fn-1,Fn,  G} következésképen F1  F2 ...  Fn  G kielégíthetetlen. Átírva KNFF 1  KNFF 2 ...  KNFF n-1  KNFF n  KNF  G kielégíthetetlen ezért {KNFF 1,KNFF 2,...,KNFF n-1,KNFF n, KNF  G} kielégíthetetlen Más szóval a belőle kapott S klózhalmaz kielégíthetelen Példa: (  X  Y)  (  X  Z)  (X  Z)  (  Y  Z)   Z, A kapott klózhalamaz: {  X  Y,  X  Z, X  Z,  Y  Z,  Z} Elnevezések: n-változós klóz n-argumentumos klóz 1-változós klóz egységklóz 0-változós klóz üres klóz 

37 a) A ˅ ¬B, B ˅ ¬CA ˅ ¬C b) A ˅ ¬B, ¬B ˅ ¬C nincs, a közös literál azonosan negált c)A ˅ ¬B, D ˅ ¬Cnincs, mivel nincs közös literál Definíciók: -C 1 és C 2 klózok rezolvense létezik, ha bennük pontosan egy olyan azonos alapú literál van, amelyek egymás negáltjai. Tehát C 1 =C 1 ’ ˅ L 1, C 2 =C 2 ’ ˅ L 2 és L 1 =¬L 2. A C 1, C 2 rezolvense a C=C 1 ’ ˅ C 2 ’ klóz. -qn-nek a K-klózhalmazból való rezolúciós levezetése a q 1,q 2,…,q n klózsorozat, ha q i ∈ K, vagy q i a q j, q t rezolvense (j, t

38 Tétel: Rezolúciós elv helyessége és teljessége A K klózhalmazból levezethető az üres klóz, akkor és csak akkor, ha K kielégíthetetlen. Tétel: (Helyesség) Ha a K klózhalmazból levezethető az üres klóz, akkor a K klózhalmaz kielégíthetetlen. (könyv 230 old.) Tétel: (Teljesség) Ha a K klózhalmaz kielégíthetetlen, akkor a K klózhalmaznak van rezolúciós cáfolata. (könyv old.) Definíció: klózhalmaz levezetési fája Egy K klózhalmaz levezetési fája egy olyan bináris fa, amely a rezolúciós levezetés lépéseit mutatja. A fa leveleihez a K-beli klózokat, a belső csúcsaihoz a megfelelő rezolvenseket rendeljük. Az élek címkéi a rezolválásban résztvevő, a klóz illesztésének megfelelő literálok

39 C1:  P ˅ Q C2:  Q ˅ RQ C3:  S ˅  R C4: P  R  Q ▫ C5: S A kapott rezolvensek mind tautologikus következményei K-nak.

40 Definíció: lineáris rezolúciós levezetés Egy K klózhalmazból való lineáris rezolúciós levezetés egy q 1, r 1, q 2, r 2, …, q n klózsorozat, ha a q i a q i-1 és az r i-1 rezolvense. A q i klózókat centrális vagy központi klózoknak, az r i klózokat pedig mellék klózoknak nevezik. A lineáris rezolúció jól áttekinthető, helyes és teljes kalkulus Lineáris rezolúció levezetési fája. K={B ˅ ¬C, A ˅ C, ¬A ˅ ¬B, ¬A ˅ C, ¬C}

41

42 Lineáris input rezolúció levezetési fája K={B ˅ ¬C, A ˅ C, ¬A ˅ ¬B, ¬A ˅ C, ¬C}

43 Egységrezolúciós stratégia esetén rezolvens csak akkor képezhető, ha legalább az egyik klóz egységklóz (helyes, de nem teljes) A lineáris input és az egységrezolúciós stratégia teljes a Horn logikában. lineáris input levezetésegységrezolúciós levezetés 1. B  C  S1. B  C  S 2.  A  B  S2. C  S 3.  A  C rez(1,2)3. B rez(1,2) 4. A  C  S4.  A  B  S 5.  C rez(3,4)5.  A rez(3,4) 6. C  S6. A  C  S 7.  rez(5,6)7.  C rez(5,6) 8.  rez(2,7)

44 Egy klózhalmaz kielégíthetetlen, ha a benne szereplő ítéletváltozók bármely igazságértékelése mellett van legalább egy hamissá váló klóz. Mivel egy klóz akkor és csak akkor hamis, ha minden literálja hamis, a klózhalmazok kielégíthetetlenségét az összes interpretációk végignézésével is egyszerű eldönteni. Ez egy újabb szemantikus módszert ad az automatikus tételbizonyításra. Ezt segíti a szemantikus fa. Definíció: Bináris, teljes szemantikus fa Legyenek x 1, x 2,…,x n logikai változók. Az x 1,x 2,…,x n összes interpretációját tartalmazó bináris, teljes szemantikus fa, egy olyan n-szintű bináris fa, amelyben a szintek és a logikai változók között egy-egyértelmű megfeleltetést definiálunk. Az x i -hez rendelt szinten az élpárokban az egyik élhez x i, a másik élhez ¬ x i címkét írunk.

45 Az A, B, C logikai változók teljes szemantikus fája

46  Jelentse az x i címke azt, hogy x i igaz és a ¬x i címke azt, hogy az x i hamis.  Ekkor a teljes szemantikus fa egy ága az x 1, x 2,…,x n egy interpretációját (igazságértékelését) adja, a teljes szemantikus fa ágai pedig az összes lehetséges igazságértékelést tartalmazzák.  A fa gyökerétől egy N nevű csúcsig vezető utat l(N)-el jelöljük.  Egy C s =L 1 ˅ L 2 ˅ … ˅ L k klózt hamissá tevő interpretációkat a szemantikus fában a következőképpen keressük meg. Válasszuk ki a szemantikus fa azon ágait, amelyeken a C s -beli literálok mind negált alakban szerepelnek. Azok az interpretációk, amelyeket ezek az ágak reprezentálnak, nem elégítik ki C s -t.  Az a folyamat, amikor egy C klózhoz megkeresünk egy olyan utat a szemantikus fában, amelyen C minden literálja negálva szerepel, a C-nek az illető ágra való illesztése.

47 Klózok illesztése szemantikus fára K={B ˅ ¬C, A ˅ C, ¬A ˅ ¬B, ¬A ˅ C, ¬C} Például a K={B ˅ ¬C, A ˅ C, ¬A ˅ ¬B, ¬A ˅ C, ¬C}–ben B ˅ ¬C-t az l(c3) és l(c7) utakhoz tartozó két igazságértékelés, ¬A ˅ ¬B-t az l(b2) úthoz tartozó két igazságértékelés nem elégíti ki.

48

49

50 Bevezetés A 0. rendű logika (Itéletkalkulus) Szintaxis Szemantika 0. rendű logikai törvények Szemantikus következmény Normálformák Automatikus tételbizonyítás (szemantikus, szintaktikus) Az 1. rendű logika (Predikátumkalkulus) Szintaxis Szemantika 1. rendű logikai törvények Szemantikus következmény Szintaktikus megközelítés ( Rezolúció)

51 Finomabb elemzést tesz lehetővé, nagyobb kifejező erővel rendelkezik! Példa: Panni kirándulni ment. individum predikátum Nevek: individum név vagy leírás, amiről állítunk valamit Predikátumok: A mondat többi része, amit állítunk; önmagában is értelmes kifejezés vagy kifejezés szerkezet. mondat  {i,h} Olyan logikai függvény, melyeknek a változószáma megegyezik a mondat individumszámával. ,  :  zR(z, g(z))  ( Q(g(x))   xR(x,x))

52 Nyelv=abc + szintaxis + szemantika. Abc Logikai rész: , , , , , ,  Indivídum változók (X, Y, …) Elválasztó jelek („(„ „)”) (ítélet változók) Logikán kívüli rész: Függvény, predikátum és konstans szimbólumok Elemfajták halmaza

53 Szintaxis - jól formált kifejezés előállításának szabályai Definíció: Term - matematikai leképezés szimbolizálása 1. Egy indivíduum változó x jól formált term (jft) 2. Ha f egy n változós függvényszimbólum és t 1, t 2,..., t n jft-ek, akkor f(t 1, t 2,..., t n ) jft. 3. Minden jft az 1., 2 véges sokszori alkalmazásával áll elő. Definíció: Formula - logikai leképezés szimbolizálása 1.. Ha P egy n változós predikátumszimbólum és t 1, t 2,..., t n jft-ek, akkor P(t 1, t 2,..., t n ) jól formált formula (jff). (atomi formula, primformula) 2. Ha A, B jff-ák, akkor (A) jff.,(zárójeles)  A, jff.(negációs formula) A  B jff., (konjunkciós formula) A  B jff., (diszjunkciós formula) A  B jff., (implikációs formula) A  B jff.(ekvivalencia formula) rendű formulák 3.  xA,  xA jff-ák. (kvantált formula, prim formula) rendű formulák 4. Minden jff az 1., 2 és 3 véges sokszori alkalmazásával áll elő.

54 1. Rendű logika: Hatáskörök, típusok Logikai műveleti jelek hatásköre A kvantorok ( ,  ) prioritása a legerősebb az összes logikai műveletei jel között. A ,  hatásköre a legszűkebb részformula jobbra. A hatókörök megállapításánál ezt a szabályt kell figyelembe venni, és az Ítéletkalkulusnál megismert szabályokkal együtt kell alkalmazni. Példa  xP(x)  y(Q(x,y)  P(y)  zQ(y,z))

55 Változó előfordulás típusa Egy formulában egy x változó egy előfordulása: szabad, ha nem esik x-re vonatkozó kvantor hatáskörébe kötött ha x-re vonatkozó kvantor hatáskörébe esik. Példa  xP(x)  y(Q(x,y)  P(y)  zQ(y,z)) A fenti formulában x első előfordulása kötött, második előfordulása viszont szabad. Y mindegyik előfordulása kötött. Z mindegyik előfordulása kötött (egy van).

56 Változó minősítése Egy x változó egy formulában: kötött változó ha x minden előfordulása kötött, szabad változó ha x minden előfordulása szabad, vegyes változó ha x -nek van szabad és kötött előfordulása is. Példa  xP(x)  y(Q(x,y)  P(y)  zQ(y,z)) A formulában : x vegyes, y kötött, z kötött Formula minősítése Egy formula zárt, ha minden változója kötött. Egy formula nyitott, ha legalább egy indivíduum változónak van legalább egy szabad előfordulása. Egy formula kvantormentes, ha nem tartalmaz kvantort. Példa A fenti formula nyitott, mert például x-nek van szabad előfordulása

57

58


Letölteni ppt "Kocsisné Dr. Szilágyi Gyöngyi. Elérehet ő ség: aszt.inf.elte.hu/~szilagyi/ aszt.inf.elte.hu/~szilagyi Fogadó óra: hétf ő 10-12."

Hasonló előadás


Google Hirdetések