Az előadás letöltése folymat van. Kérjük, várjon

Az előadás letöltése folymat van. Kérjük, várjon

Számítógépes grafika és képfeldolgozás III előadás: Fourier-módszerek a képfeldolgozásban Jegyzet: Székely Vladimír: Képfeldolgozás 6. fejezet.

Hasonló előadás


Az előadások a következő témára: "Számítógépes grafika és képfeldolgozás III előadás: Fourier-módszerek a képfeldolgozásban Jegyzet: Székely Vladimír: Képfeldolgozás 6. fejezet."— Előadás másolata:

1 Számítógépes grafika és képfeldolgozás III előadás: Fourier-módszerek a képfeldolgozásban Jegyzet: Székely Vladimír: Képfeldolgozás 6. fejezet

2 A mai előadás tartalma Fourier sorfejtés 2D-ben –1D összefoglaló –2 változós fv Fourier-sora –Fourier-összetevők értelmezése A diszkrét Fourier-transzformáció –DFT 1D-ben –DFT 2D-ben –DFT képek jellegzetességei Műveletek Fourier-tartományban –textúra analízis –szűrés –képjavítás/élkiemelés –inverz szűrés –3D objektum vetületekből

3 A Fourier-sorfejtés

4 1D eset Fourier-együtthatók: L hosszúsággal periódikus függvényt ad Ez a periodicitás nem gond, mert minket a függvény csak a [0, L] intervallumban érdekel. ha f(x) valós

5 2D függvény Fourier-sora Sorfejtés x irányban – ekkor az y-tól függő Fourier-együtthatók: C m (y) sorfejtése: A függvény: f(x,y)

6 2D függvény Fourier-sora Együttesen: Ekvivalens átalakítások után: C mn – az f(x,y) függvény 2D Fourier-együtthatói.

7 2D függvény Fourier-sora Bebizonyítható, hogy az f(x,y) függvény ezen együtthatók alapján visszaállítható az alábbi módon: x- és y-irányú periodicitás LxLx LyLy y x f(x,y)f(x,y) ha f(x,y) valós

8 A 2D Fourier-együtthatók értelmezése komplex harmónikusok mert cos(x) = (exp(jx)+exp(-jx))/2 sin(x) = (exp(jx)-exp(-jx))/2j

9 A 2D Fourier-együtthatók értelmezése az f(x,y) függvény átlagértéke – valós térharmónikusok: cos-hullámok C mn valós része egy cos-hullám, képzetes része egy sin-hullám amplitudója

10 Térharmónikusok

11 m=6 n=4 A 2D Fourier-együtthatók értelmezése C mn valós része egy cos-hullám, képzetes része egy sin-hullám amplitudója térharmónikusok: térfrekvencia: hullámhossz: m=3 n=2 

12 Térharmónikusok

13

14

15 DFT

16 A diszkrét Fourier-transzformáció

17 Fourier-együtthatók számítására vonatkozó közelítés f(x k ) = F k mintavételezett függvényre (mintavételi tv.!)   Új transzformáció F k  D n – az F k minták diszkrét Fourier-transzformáltja

18 A diszkrét Fourier-transzformáció F k minták: N db valós szám D n értékek: –periodicitás N szerint: – valós – azaz – valós (mert önmaga konjugáltja kell legyen) Az F k mintasorozat (N db valós szám) diszkrét Fourier-transzformáltját egyértelmüen megadja a D n értéksor fele: A 0. és az N/2-edik valós, a többi komplex: N db adat.

19 A diszkrét Fourier-transzformáció Az F k mintasorozat (N db valós szám) diszkrét Fourier-transzformáltját egyértelmüen megadja a D n értéksor fele. Az eddigiek alapján F k kapcsolata a harmónikus összetevöivel: Ha az F k értéksort f(x) mintavételezésével kaptuk, akkor:

20 DFT 2D-ben Transzformáljuk a 2D mátrix formájában adott mintákat: A DFT együtthatók is egy mátrixot alkotnak: Visszatranszformálás:

21 DFT 2D-ben Mind a D mn transzformált, mind az F rs visszatransz-formált értéksor N-nel periódikus: Valós függvény transzformáltjára igaz: LxLx LyLy y x f(x,y)f(x,y) Mint folytonos esetben:

22 Képek DFT-je A ciklikusság miatt a négy sarokban vannak a 0 térfrekvenciához tartozó elmek 0 térfrekvenica: a kép "DC értéke" == átlgafényesség Középen az f max -hoz tartozó pont Origóra szimmetrikusan:

23 Képek DFT-je

24 DFT képek jellegzetességei Valós kép és DFT-je Komplex kép kellene legyen. Ez csak az amplitudó infomáció, a fázist nem ábrázoltuk. Nagy nagyságrendi átfogás miatt logaritmikus az ábrázolás. f=0 f max A DFT kép alapján általában nehéz következtetést levonni az eredeti képre vonatkozólag. Zérus közeliek a nagy térfrekvenciás tagok, tehát a valós kép "lágy", nincsenek benne erős élek.

25 DFT képek jellegzetességei Valós kép... a DFT kép Periodicitás a DFT képben: ismétlődő elemek a valós képben Világos foltok a nagy térfrekvenciáknál: határozott élek a valós képben Integrált áramkör elektronmikroszkópi képe. 180 o -os forgatási szimmetria  DFT képen!

26 DFT képek jellegzetességei Valós kép... a DFT kép Határozott periódikusság: szabályos minta a valós képben Nagy amplitudók a nagy térfrekvenciákon: határozott élek a valós képben sin(x)/x jellegű DFT: résfüggvény jellegű valós kép Szabályos kép, valóban résfüggvény jellegű kép  1D emlékeztető:

27 DFT képek – kioltási vonalak Sötét négyszögrács a DFT képen: a vonalaknak megfelelő térfrekvenciákon 0 érték 9 px 6 px N x pixel K x pixel 0-t kapunk, ha K x egész számú többszöröse valamelyik térharmónikus hullámhosszának Az alapharmónikus hullámhossza az N x képméret. Az m -edik felharmónikus hullámhossza: N x /m A kioltott frekvenciák indexe: A kioltási vonalak távolsága:  m = N x /K x Tehát a kioltási vonalak a képet K x részre osztják 6 9 A kioltás feltétele:

28 Műveletek a Fourier-térben: textúra analízis szűrés képjavítás/élkiemelés inverz szűrés alakfelismerés 3D objektum vetületekből

29 Textúra analízis DFT-vel

30 Textúra analízis Pirolitikus grafit kristály, STM felvétel. A kristályfelület atomi szerkezete látható. Hexagonális kristályrács

31 Textúra analízis Jellegzetes elemek (vonalak) a DFT képen is megjelennek, a valós képen látható elemre merőleges vonalként, hasonló periodicitással Notre Dame, Párizs. Gótikus homlokzat – jellegzetes elemekkel

32 Textúra analízis Ujjlenyomat (küszöbölés után). Irány információ nem olvasható ki, hiszen az eredeti képen sincs jellemző irányultság. Nagyobb térharmónikus arány az alapharmónikustól (középpont) kb. 26 pixelnyi távolságra: Az ujjlenyomat barázdák átlagos térharmónikusa az alapharmónikusnak kb. 26-szorosa, irányuk nem jellemző.

33 Textúra analízis teljesítményspektrum A "teljesítményt" így definiáljuk: A P nm értékekből folytonos P(n, m) függvény interpolációval 1/f γ Átszámítás polár koordinátákra: P(f, γ) A következő integrálokat számoljuk:

34 Textúra analízis teljesítményspektrum Domináns térfrekvenciák domináns irányok

35 Szűrés, képjavítás

36 Szűrés a frekvenciatartományban Kép Fourier- transzformáció DFT kép Szűrés: egyes térfrekvenciás komponensek módosítása Szűrt DFT kép Inverz Fourier- transzformáció Szűrt kép Szűrőkarakterisztikák: Egyszerű töréspontos aluláteresztő: Butterworth-szűrő:

37 Szűrés a frekvenciatartományban Bármely lineáris szűrési művelet megvalósítható a frekvenciatartományban: helyett Konvolúció helyett szorzás a frekvenciatartományban Megjegyzések: –a transzformált értékek komplexek, ezért itt komplex szorzásról van szó –a transzformáció periódikus eredményt ad, ezért ez a konvolúció ún. ciklikus konvolúció. A DFT térben való szorzás pontos megfelelője az alábbi:

38 Szűrés a frekvenciatartományban 8fa8fa 16f a Nagy térfrekvenciájú komponensek kiszűrése Zajtalanabb, lágyabb kép Csökken az élesség f a – az alapharmónikus térfrekvenciája

39 Szűrés a frekvenciatartományban 10f a Kis térfrekvenciájú komponensek kiszűrése Lassú változások törlése: mindenütt egyen-szürke Az élesség (nagy térfrekvenciás rész) megmarad f a – az alapharmónikus térfrekvenciája 4fa4fa Minél erősebb a vágás, annál szürkébb lesz a kép

40 Szűrés a frekvenciatartományban Képjavítás: nagy térfrekvenciák kiemelése Az erős átmenetek hangsúlyosabbak lesznek, de a zaj is nő. Hasonló a hatása a Laplace-oprátoréhoz. Még azonos is lehet vele.

41 Inverz szűrés

42 Ismert a csatorna torzításának S operátora (a csatorna szóródási függvénye vagy súlyfüggvénye) Inverz szűrés Adott egy T torzított kép Az eredeti E torzítatlan képet dekonvolícióval allíthatjuk helyre: ahol a dekonvolúció jele Dekonvolúció helyett osztás a frekvenciatartományban majd vissza transzformáljuk E -t ahol E a torzítatlan kép Ekkor:

43 Képhelyreállítás inverz szűréssel Inverz Fourier- transzformáció T torzított kép Fourier- transzformáció Csatorna S szóródási függvénye Fourier- transzformáció Helyre- állított kép

44 Képhelyreállítás inverz szűréssel Kísérlet – előkészítés torzított kép Lineáris szűrő eredeti kép Lineáris szűrő 1 fénylő pötty (Dirac-  ) szóródási függvény

45 Képhelyreállítás inverz szűréssel Kísérlet – helyreállítás inverz szűrés torzított kép szóródási függvény helyreállított kép A nagy térfrekvenciás részletek, ha nem vesztek el teljesen, az inverz szűrőkarakterisztikával visszanyerhetők. A nagy térfrekvenciás részletek kiemelése szükségképpen erősíti a zajt is. Ez látszik is a helyreállított képen. Zajmentes eredeti kép Zajos helyreállított kép

46 Ami információ nincs benne a képben, azt az inverz szűrés sem tudja pótolni. Kioltási vonalak: –Lehet, hogy a súlyfüggvényben, amivel osztanunk kell, sok 0 közeli érték lesz. –Ennek zajkiemelő hatása van, a kép élvezhetetlenné válhat. –Korlátozni kell az inverz szűréssel megvalósuló térharmónikus-kiemelés mértékét. A teljes képnek rendelkezésre kell állnia: lásd a szűrés miatt alkalmazott fekete keretet a kísérleti képben. Képhelyreállítás inverz szűréssel Megjegyzések

47 Körbecsavarodás (wrap-around): Ha a súlyfüggvény nem a sarkon elhelyezkedő 1 pixel képe, akkor a helyreállítás eredménye egy felvágott és körbecsavarodott kép lesz: Képhelyreállítás inverz szűréssel Megjegyzések Nemlinearitások: Fotók (papír képek) és TV kamerák gradációs függvénye – a szűrőkarakterisztika korrigálandó velük az inverz szűrés előtt.

48 Képhelyreállítás inverz szűréssel Példa Életlenre állított kamerával felvett kép Valami szöveg, de teljesen olvashatatlan Életlenre állított kamerával felvett folt és annak DFT-je: A helyreállított kép és a jó eredeti kép:

49 Képhelyreállítás inverz szűréssel Példa Háromszor exponált kép A háromszoros expozíció szóródási függvénye és annak DFT-je: A helyreállított kép

50 Alakfelismerés

51 Az alábbi, képként adott szövegrészletben szeretnénk az e betűket megtalálni: Alakfelismerés –olyan képhez szeretnénk jutni, ahol minden e betű helyén egy pont van, egyebütt üres a kép, –ennek a képnek a jele legyen EPOZ, –az egyetlen e betű képe pedig E. Ekkor a SZOVEG, mint kép így adható meg: ahol TOBBI a kép többi, e betűktől különböző része. Az E -vel dekonvolváljuk a SZOVEG -et:

52 Alakfelismerés Az E -vel dekonvolváljuk a SZOVEG -et: Megjelenik a keresett kép Ha a többi betű nem hasonlít az e-re, ez jól levágható háttérzaj Valóban az e betűk pozícióit találtuk meg!

53 További alkalmazások

54 –Rtg felvételek sorozata készül, különböző szögekből, –mindegyik felvétel 1-1 vetületi képet ad, –ezekből kell a térbeli képet előállítani. –Egy vetületből a térbeli kép Fourier-együtthatóinak egy része előállítható. –A testet körüljárva sok vetület készül, a Fourier- együtthatókból számolják vissza a test egy kereszt- metszetének a képét. –A számítógép által generált képeket rtg-filmen rögzítik. E képsorozatot használják az orvosok. További alkalmazások CT képek készítése

55 CT kiértékelés

56 –A(z optikai) mikroszkópok mélységélessége nem túl nagy. –Csak egy adott síkban elhelyezkedő objektumok képe lesz éles. –Minden síkban szeretnénk megkapni a tárgy T éles képét. –Ehhez meg kell kapni az adott síkban érvényes S szóródási függvényeket (számítással megoldható, mert ismerjük a mikroszkópot). –Egy adott síkban élesre állított T j képhez hozzáadódik a többi síkban adódó életlen kép: –A Fourier-térben a T j tárgyképekre ez megoldható További alkalmazások Mikroszkópi képek korrigálása


Letölteni ppt "Számítógépes grafika és képfeldolgozás III előadás: Fourier-módszerek a képfeldolgozásban Jegyzet: Székely Vladimír: Képfeldolgozás 6. fejezet."

Hasonló előadás


Google Hirdetések