Az előadás letöltése folymat van. Kérjük, várjon

Az előadás letöltése folymat van. Kérjük, várjon

Környezeti és Műszaki Áramlástan I. (Transzportfolyamatok I.) Dittrich Ernő egyetemi adjunktus PTE-PMMK Pécs Boszorkány út 2. B épület 039.

Hasonló előadás


Az előadások a következő témára: "Környezeti és Műszaki Áramlástan I. (Transzportfolyamatok I.) Dittrich Ernő egyetemi adjunktus PTE-PMMK Pécs Boszorkány út 2. B épület 039."— Előadás másolata:

1 Környezeti és Műszaki Áramlástan I. (Transzportfolyamatok I.) Dittrich Ernő egyetemi adjunktus PTE-PMMK Pécs Boszorkány út 2. B épület 039. PTE-PMMK Környezetmérnöki Szak 5. előadás: Nyugvó folyadékok egyensúlya - hidrosztatika dr. Vétek Lajos egyetemi docens PTE-PMMK Pécs Boszorkány út 2. B épület

2 A nyomás fogalma A nyugvó folyadék alapvető jellemzője a benne uralkodó nyomás. A nyomás az egységnyi felületre eső, a felületre merőleges nyomóerő: Két fontos alapelv( Pascal törvény):  Egy adott pontban a nyomás azonos minden irányban.  A folyadékot határoló szilárd falra a nyomás ill. a nyomásból származó erő merőlegesen hat. n Mértékegység: Pa=N/m 2 (kPa, Mpa) n Használatos mértékegység még: < Hektopascal 1 hPa = 100 Pa, illetve a < Bar 1 bar = 10 5 Pa = 100 kPa = 0,1 Mpa n Abszolút nyomás és relatív nyomás < Abszolút nyomás = a légüres tér nyomásához viszonyított nyomás < Relatív nyomás = a légköri nyomáshoz viszonyított nyomás, ami lehet túlnyomás (légkörinél nagyobb) illetve vákuum vagy depresszió (légkörinél kisebb) 2

3 Nyugvó folyadék Csak nyomásból származó feszültségek fordulnak elő. A nyomás skalár mennyiség, amely általánosan a hely és az idő függvénye, tehát a skalártérrel, azaz a négyváltozós függvénnyel írható le, amelyet skalár-vektor térnek nevezünk A skalártereket színtfelületekkel (színtvonalakkal) jellemezzük, amelyek a tér (ill, sík) azon pontjait kötik össze, amelyekben a fizikai változók értéke azonos. 3

4 Nyugvó folyadék A skalárterek hely szerinti változásának jellemzésére egy vektormennyiséget használunk amelynek x, y és z komponensei a leírt fizikai mennyiség x, y és z irányú változásának nagyságával arányosak: ahol Az ún. Nabla-operátor egyszerűbbé teszi a gradiens vektor pontos leírását. 4

5 Nyugvó folyadék A gradiens vektor tulajdonságai: a skalártér legrohamosabb növekedésének irányába mutat, a hossza arányos a változás nagyságával és merőleges a szintfelületre (szintvonalra).  Az ábra egy térbeli nyomásmegoszlást, ill. annak három szintfelületét mutatja.  A nyomás lefelé növekszik, p 3 >p 2 >p 1.  Válasszunk ki két közeli szintfelületen két közel lévő A és B pontot.  Δs vektor köti össze őket.  A p skalártér Δp változását a B és A pontok között lineáris közelítésben a skalárszorzat adja. A nyomásváltozás A→B hosszúságú úton valósul meg. 5

6 A nyomóerő számítása a nyomásból Határoljunk el gondolatban a folyadék belsejében egy henger alakú részt. A henger helyzete tetszőleges. Vizsgáljuk a henger tengelye irányába eső nyomóerők eredőjét. Az alsó és felső lapon ható erők ellentétes irányúak, de az egyensúly miatt egyenlő nagyságúak, azaz Belátható, hogy a p 1 = p 2 feltételnek kell teljesülnie. Mivel a henger helyzete és magassága tetszés szerinti volt, így súlytalannak tekinthető összefüggő nyugvó folyadéktérben a nyomás mindenütt ugyanakkora. Pl. hidraulikus sajtó. A nyomásból származó erőt legáltalánosabb esetben a kifejezéssel adhatjuk meg, az előjel azért negatív, mert a felületelem vektor kifelé mutat, így negatív előjel esetén adódik a folyadékrészre ható erő. 6

7 Hidrosztatika alapegyenlete A folyadék súlyát nem hanyagolhatjuk el a benne uralkodó nyomás mellett. Vizsgáljuk meg az előbbi folyadék hengerünket a nehézségi erőtérben az ábra szerint. A folyadék sűrűsége ρ, a nehézségi gyorsulás g, amely a lefelé mutató z tengellyel egy irányba mutat. Felírva a hengerre ható függőleges erőket, a következő egyenletet kapjuk: Egyszerűsítve és rendezve kapjuk, hogy 7

8 Hidrosztatika alapegyenlete Amennyiben Δz → 0, akkorkifejezést kapjuk. Könnyen belátható, hogy általános helyzetű koordináta-rendszer, vagy általános helyzetű térerő vektor esetén a fenti kifejezés átírható a vektoregyenletté, amelyet a hidrosztatika alapegyenletének nevezünk. Az alapegyenlet kimondja: a nyomás legnagyobb változása a térerő irányába mutat. 8

9 Erőterek A környezetmérnöki gyakorlatban gyakran előforduló erőterek: a Föld nehézségi erőtere, a tehetetlenségi erőtér és a centrifugális erőtér. Az erőterek jellemzésére az egységnyi tömegre értelmezett térerő vektort használjuk. A térerősség mértékegysége a fentiek alapján [g]=N/kg=m/s 2. A Föld nehézségi erőtere felfelé mutató z koordináta mellett alakban írható. 9

10 Erőterek A felsorolt erőterek konzervatív erőterek. A konzervatív erőtereknek potenciálja (U) van.. Mi a potenciál? Az egységtömegnek az erőtérrel szembeni elmozdításakor végzett munka, amely mint energia (nehézségi erőtérben helyzeti) a tömeg birtokában marad. A fenti nehézségi erőtér potenciálja Az erővonalakat - kis környezetben - párhuzamos (függőleges) egyeneseknek. A szintfelületeket pedig (vízszintes) síkoknak tekinthetjük. 10

11 Hidrosztatika alapegyenlete nehézségi erőtérben Az előzőek alapján a konzervatív erőtér esetén a potenciál és térerő kapcsolata: Helyettesítsük a egyenletbe, ekkor kifejezést kapjuk. Belátható, hogy az állandó potenciálú felületek egybeesnek az állandó nyomású felületekkel. Ha a ρ = áll., abban az esetben a sűrűséggel elosztva és átrendezve a összefüggésre jutunk. Skalár mennyiség változása akkor lehet nulla, ha maga a mennyiség mindenütt a térben állandó, tehát ami annyit jelent, hogy egy folyadéktérben, ha a potenciál nő, akkor a nyomás csökken és a potenciál csökken, akkor a nyomásnak nőnie kell. 11

12 Hidrosztatika alapegyenlete nehézségi erőtérben A nehézségi erőtérben a potenciál a térerő ellenében egységnyi tömegen végzett munka. Tehát ha felfelé haladunk, akkor a potenciál nő, ha lefelé haladunk akkor csökken. Az ábrán lefelé mutató koordináta-rendszer esetén a potenciált a kifejezés adja meg. Válasszuk az U 0 = 0 értéket. Behelyettesítve a * egyenletbe és felhasználva, hogy az 1 pontban a z koordináta zérus, a következőt kapjuk: amelyből az a jól ismert kifejezés adódik, hogy a nyomás a folyadék felszínétől lefelé haladva lineárisan nő: 12

13 Nyomás és nyomóerő a folyadékot határoló felületen nehézségi erőtérben Nyomáseloszlás és nyomóerő vízszintes, sík felületen a nyomóerő másképp 13

14 Nyomáseloszlás és nyomóerő a szabad felszínig érő konstans szélességű függőleges felületen Általánosságban: Hidrosztatikus nyomásból származó erő egyenlő a nyomásmagasság-ábra területe szorozva a sűrűséggel és g-vel. A nyomóerő támadáspontja A lapra ható erő folyóméterenként Felület súlypontja Erő támadáspontja 14

15 Nyomáseloszlás és nyomóerő a felszínig érő konstans szélességű ferde sík felületen A nyomóerő nagysága a nyomásmagasság-ábra szétbontható vízszintes és függőleges komponensre 15

16 Nyomáseloszlás és nyomóerő konstans szélességű ferde sík felületen 16

17 Nyomáseloszlás és nyomóerő általános alakú és helyzetű síkfelületen Az eredő nyomóerő: A nyomóerő végképlete: A nyomóerő támadáspontja: S y az A felület statikai nyomatéka az y-tengelyre (l S ·A), I y az A felület y tengelyre vonatkoztatott másodrendű nyomatéka, I Sy a súlyponton átmenő y tengellyel párhuzamos tengelyre vett másodrendű nyomaték. 17

18 18 Fontosabb keresztmetszeti jellemzők  NULLADRENDŰ NYOMATÉK: TERÜLET  ELSŐRENDŰ NYOMATÉK: STATIKAI NYOMATÉK  MÁSODRENDŰ NYOMATÉK: TEHETETLENSÉGI/INERCIA NYOMATÉK (TEHETETLENSÉGI NYOMATÉK)

19 A felület statikai nyomatéka 19 Diszkrét esetben: Ahol: y s : a felület súlypontjának és az x-tengelynek a távolsága x s : a felület súlypontjának és az y-tengelynek a távolsága

20 A felület másodrendű (inercia) nyomatéka Súlyponti tengelyre vett inercia nyomaték: Egymásra halmozás elve: 20

21 Steiner-tétel (koordináta transzformáció hatása) 21

22 Síkidomok inercia nyomatékai 22

23 A felhajtóerő A felhajtóerő függ: - a test térfogatától, - a folyadék sűrűségétől. A felhajtóerő nagysága nem függ a test anyagától!!!! Minden folyadékba vagy gázba merülő testre felhajtóerő hat. A felhajtóerő egyenlő nagyságú a test által kiszorított folyadék vagy gáz súlyával. Arkhimédész törvénye Abban az esetben, amikor a folyadékba merülő testre ható F f felhajtóerő egyenlő a bemerülő test G súlyerejével és a test egy része nem merül el a folyadékban, a test úszik, ha teljesen bemerül abba (de nem süllyed le a fenékig), a test lebeg. Az úszás és a lebegés 23

24 Az úszás és lebegés egyensúlyi feltétele: F f =G. A testnek az úszósíkban levő metszetének felületét úszófelületnek vagy vízvonalfelületnek nevezik. A test S t súlypontja és az S v vízkiszorítás súlypontja a felhajtóerő és a súlyerő közös függőleges hatásvonalában van. Ezt a közös hatásvonalat úszási tengelynek nevezik. 24

25 A részben elmerülő test stabilitása Metacentrum: a pillanatnyi F f felhajtóerő hatásvonalának és az egyensúlyi helyzetből elfordított úszási tengelynek a metszéspontja Metacentrikus magasság: a metacentrum távolsága a test S t súlypontjától Stabil állapot: metacentrikus magasság pozitív (a metacentrum a test súlypontja fölött van) Instabil állapot: metacentrikus magasság negatív (a metacentrum test súlypontja alatt van) A metacentrikus magasság (h m )) 10°-nál kisebb φ elfordulási szögnél: ahol I 0 az úszófelület tehetetlenségi nyomatéka az elfordulás 0 tengelyére, ahol az úszófelület a szimmetrikus helyzetben úszó test és a felszín metszésvonala által alkotott felület; V a kiszorított folyadéktérfogat, e a test súlypontja és a kiszorítás súlypontja (a kiszorított folyadéktérfogat súlypontja) közötti távolság, egyensúlyi (szimmetrikus) helyzetben. 25

26 Irodalom W. Bohl: Műszaki áramlástan. Műszaki könyvkiadó, Budapest, Haszpra Ottó: Hidraulika I. Műegyetem Kiadó, Budapest Kaliszky – Kuruczné – Szilágyi: Szilárdságtan. Nemzeti Tankönyvkiadó, Budapest

27 27 Köszönöm a megtisztelő figyelmet!


Letölteni ppt "Környezeti és Műszaki Áramlástan I. (Transzportfolyamatok I.) Dittrich Ernő egyetemi adjunktus PTE-PMMK Pécs Boszorkány út 2. B épület 039."

Hasonló előadás


Google Hirdetések