Az előadás letöltése folymat van. Kérjük, várjon

Az előadás letöltése folymat van. Kérjük, várjon

Rátz László Vándorgyűlés, 2006 Hraskó András: Az előadás anyaga letölthető innen:

Hasonló előadás


Az előadások a következő témára: "Rátz László Vándorgyűlés, 2006 Hraskó András: Az előadás anyaga letölthető innen:"— Előadás másolata:

1 Rátz László Vándorgyűlés, 2006 Hraskó András: Az előadás anyaga letölthető innen: „... Van, aki kerüli a számítógépeket, mások viszont hozzánőnek kedvenc játékszerükhöz. Jómagam elektronikus posta küldésére és szövegszerkesz- tésre használom őket rendszeresen, mint a legtöbbünk, és valamivel ritkáb- ban kísérletezésre vagy arra, hogy a weben keresztül információt szerezzek.... Vajon a számítógépek ily módon történő felhasználása csak játék, vagy leg- följebb kényelmi dolog? Nem hiszem, és úgy gondolom, minden új felhaszná- lási mód változást hoz a matematikai tudományban. Ha elkezdünk a Maple, Mathematica, Matlab programokkal vagy valamilyen saját programunkkal kísérletezni ez azonnal nyilvánvalóvá válik. Ezek a programok megfigyelé- sek egész sorát teszik lehetővé, amelyek elképzelhetetlenek voltak a számí- tógépek korszaka előtt, és amelyek új adatokkal és új jelenségekkel bővítik tudásunkat.” Lovász László: Egységes tudomány-e a matematika, Természet Világa, Matematika különszám, 129. évf Lásd még Mozgásban

2 Beke Manó Emlékdíjat kaptunk

3 Rátz László Vándorgyűlés, 2006 Hraskó András: Az előadás anyaga letölthető innen: „... Van, aki kerüli a számítógépeket, mások viszont hozzánőnek kedvenc játékszerükhöz. Jómagam elektronikus posta küldésére és szövegszerkesz- tésre használom őket rendszeresen, mint a legtöbbünk, és valamivel ritkáb- ban kísérletezésre vagy arra, hogy a weben keresztül információt szerezzek.... Vajon a számítógépek ily módon történő felhasználása csak játék, vagy leg- följebb kényelmi dolog? Nem hiszem, és úgy gondolom, minden új felhaszná- lási mód változást hoz a matematikai tudományban. Ha elkezdünk a Maple, Mathematica, Matlab programokkal vagy valamilyen saját programunkkal kísérletezni ez azonnal nyilvánvalóvá válik. Ezek a programok megfigyelé- sek egész sorát teszik lehetővé, amelyek elképzelhetetlenek voltak a számí- tógépek korszaka előtt, és amelyek új adatokkal és új jelenségekkel bővítik tudásunkat.” Lovász László: Egységes tudomány-e a matematika, Természet Világa, Matematika különszám, 129. évf Lásd még Mozgásban

4 Parabola egyszeregy 1. Feladat: Adott az F és a T pont, valamint a d egyenes úgy, hogy T illeszkedik d-re. Szerkesztendő kör, amely átmegy F-en és T-ben érinti d-t. F d T P 1. A kör T-ben érinti d-t, így középpontja a T-ben d-re állított merőlegesen van; 2. A kör F-en és D-n is átmegy, így középpontja illeszkedik FT felezőmerőlegesére. Körzővel és vonalzóval?Papírhajtogatással?SzoftverrelSzoftverrel?

5 Egy papírlapot hajtsunk be az egyik csúcsán (A) átmenő egyenes körül úgy, hogy az egyik ezzel szomszédos csúcs (B) a szemköztes (CD) oldalra kerüljön. Tegyünk megfigyelést, elemezzük az ábrát! Alapötlet: Matematika határok nélkül /9. fel. Lásd Egy feladat hajtogatásra alapszerkesztés folytatása Játsszunk még az Euklidesszel!

6 Gyalog vagy autóval? Gyalogút: földcsík, amelyen gyalog járunk. Az országút nemcsak abban különbözik a gyalogúttól, hogy gépkocsival utazunk rajta, hanem hogy csak egy vonal, amely két pontot köt össze. Az országútnak önmagában nincs értelme; értelme csak a két pontnak van, amelyet összeköt. A gyalogút a tér dicsérete. Minden szakaszának önmagában is értelme van, és megállásra biztat bennünket. Az országút a tér diadalmas lefokozása. Manapság a tér, az országútnak köszönhetően, már csak akadálya az emberi mozgásnak, időveszteség. A gyalogutak előbb tűntek el az ember lelkéből, mint a tájból... Az országutak világában a szép táj annyi, mint a szépség szigete, melyet egy hosszú vonal a szépség egy másik szigetével köt össze. A gyalogutak világában a szépség folyamatos és minduntalan változó; minden lépésnél megszólít bennünket: - Állj meg! Milan Kundera: Halhatatlanság Gyalogúton vagy autóúton?

7 ContourPlot[x y, {x, -1, 1}, {y, -1, 1}, {AspectRatio  1}] Plot3D[x y, {x, -1, 1}, {y, -1, 1}, {AspectRatio  1}] A szorzótábla „Folytonos szorzótábla”:z = xy grafikonja.Próbáljuk meg elképzelni a felületet! x = constans egyenes y = constans egyenes z = constans hiperbola v. egyenespár x = y vagy x = -y parabola Lásd még a Mathematica programmal készített xy.nb filet!xy.nbLásd Pozsgai Bence alkotását!

8 Egy szív titkai Sz.1. feladat: Adott egy kör (e) és rajta egy pont (A). Tükrözzük az adott (A) pontot a kör (e) minden érintőjére. Mego1 Sz.2. feladat: Adott egy kör (e) és rajta egy pont (A). Rajzoljuk meg az összes olyan kört, amelynek középpont- ja az adott körön (e-n) van és átmegy az adott ponton (A-n). Mego2 Sz.3. feladat: Rajzoljuk meg adott kör (f) adott pontjából (B) Induló fénysugarak útját a körvonalon való első visszaverődés után. Mi fénylik fel a sugarak révén? Mego3 Sz.4. feladat: Egy kör (k) alakú kerék csúszás nélkül gördül egy ugyanakkora sugarú rögzített kör (e) körül. Rajzoljuk meg a mozgó kör kerülete valamely pontjának pályáját! Mego4 Sz.5. feladat: Rajzoljuk meg a komplex egységkör képét a    –  2 transzformációnál! Mego5

9 Egy szív titkai (megoldások I.) Sz.1.Sz.2.Sz.4. Sz.5.   2  –  2 Def.: Adott az O közepű, A-n átmenő e kör. Azon P pontok mértani helyét, amelyekre AP felezőmerőlegese érinti e-t kardioidnak nevezzük. Ha AP felezőmerőlegese metszi e-t, akkor P a kardioid belső pontja. Ötlet: P-n át olyan kört akarunk szerkeszteni, amely A-n is átmegy, középpontja pedig e-n van; a középpont AP felezőmerőlegesének e-vel való metszéspontja lesz. O = 0, T =  Q – T = T’ – Q =  P’ – Q =  2 = Q - P P’ T’

10 Egy szív titkai (megoldások II.) Sz.4. A kardioid P-beli érintője? Sz.3. Mivel BO = OT’, így OBT’  BT’O  =  /2 A BOT’ háromszög O-nál fekvő külső szöge  Írjunk f-be két harmadakkora kört! A visszaverődő fénysugár, T’P, annak a kardioidnak az érintője P-ben, amelynek centruma O, szinguláris pontja A. A k kör mozgása két összetevőre bontható: Haladó mozgás: sebessége v 1 (minden pontban egyenlő) Q körüli forgó mozgás: sebessége v 2 (minden pontban érintő irányú) Szimmetria TP felezőmerőlegesére! A P-beli sebesség a felezőmerőlegessel párhuzamos. A P-beli érintő a PT’ egyenes. Nincs csúszás, azaz T sebessége zérus, azaz |v 1 | = |v 2 |. A B-ből induló fénysugár BO-val bezárt szöge  /2.

11 Duplázás mod 36 Klikkelés: összeköti minden számot a kétszeresével További feladatok a témában (vesegörbe!):

12 Morley tétele Bármely háromszögben a szögharmadolók met- széspontjai egy szabályos háromszög csúcsai Mi vezette Morleyt ehhez a tételhez? Morley a háromszög mindhárom oldalegye- nesét érintő kardioidok rendszerét vizsgálta. Morley I.: a kardioidhoz bármely külső pontból három érintő húz- ható és azok szögharmadolóira illeszkedik a kardioid centruma. Ha egy pontból két érintőt rajzolunk egy tetszőleges körhöz, akkor a kör középpontja rajta lesz az egyenesek (valamelyik) szögfelezőjén. Vannak olyan kardioidok, amelyeket a háromszög valamelyik oldalegyenese kétszeresen érint. Az ilyen kardioidok centruma a szögharmadolók metszéspontja.

13 Morley ötlete: adott háromszög esetén vizsgáljunk egy távoli centrumú kardioidot! Ez szükségképpen „nagy” a háromszöghöz képest. Mintha egy pontból húznánk három érintőt egy kardioid- hoz. A „végtelen távoli” kardioid centruma a háromszög oldalegyenesirányainak valamelyik szögharmadolóján van. Morley tétele Bármely háromszögben a szögharmadolók met- széspontjai egy szabályos háromszög csúcsai Morley II.: A háromszöget érintő kardioidok centrumának mértani helye néhány egyenes uniója. Lásd a Cabri animációt! Morley III.: A háromszöget érintő kardioidok centrumának mértani helye olyan egye- nesek uniója amelyek közül a nem párhuzamosak 120  –os szöget zárnak be egymással. Morley IV: Ha egy kardioid a háromszög valamely oldalát kétszeresen érinti, akkor a kardioid centruma két egyenesen is rajta van. Részletesen lásd: Ez volt a gondolatmenet. A bizonyítás már egy sokkal egyszerűbb dolog. Frank Morley

14 Az állítás, mint a kutatás eredménye René Thom a modern fizika és matematika tudósa egyszer így fogalmazott: „One can always find imbeciles to prove theorems”. Magyarul: „Könnyű találni olyan ostobát, aki bebizonyítja a tételeket”. Lásd S. H. Lui: An Interview with Vladimir Arnold, Notices of the AMS, 44. kötet, 4. szám, K1.: Adott egy háromszög. Mi azon pontok mértani helye a síkban, amelyek- nek a háromszög oldalegyeneseire vonatkozó tükörképei egy egyenesen vannak? Mego1 Kutatási feladatok Árki Tamás gyakorlatán didaktikai javaslatokat is hallhatunk. K3.: Adott egy ellipszis alakú billiárdasztal. Egy golyó gurul az asztalon, a fal- hoz érve mandínerrel megy tovább. Vizsgáljuk a golyó pályáját! Mego3a Mego3b Makro3 Mego3c K2. Adott az A és a B pont, továbbá a q arány. Keressük meg azon C pontok mértani helyét a síkban, amelyekre BC/AC = q. Mego2a Mego2b Mego2c vége

15 Eulertől Poncelet-ig Euler tétele: Ha a húrérintő n-gon záródik, akkor bárhonnan indulva záródik? Mi a formula? Ha a háromszög nem záródik, akkor mi van? Hogyan nem záródik? x + x = yx + y = zx + x + x = 0 Mintha a vektorok geometriáját látnánk, csak itt vannak olyan x vektorok, amelyekre nx = 0. vége

16 Poncelet tétele és a harmadrendű görbe x y z 0 A harmadrendű görbe a komplex projektív síkon topológiailag tórusz.

17 A harmadrendű görbe és a tórusz 11 22 (sinx; cosx) (  x);  ’(x))

18 Ajánlott cikkek, linkek Árki Tamás és Hraskó András: Kísérletező geometria (készülőben) Hraskó András: Egy szív titkai, Árki Tamás: Dinamikus geometria és tengelyes tükrözés Árki Tamás: Problémamegoldás a dinamikus geometria eszközeivel Árki Tamás: Problémamegoldás dinamikus geometriai módszerekkel Matematika Tanári Kincsestár, E 3.2 – november, Raabe Xah Lee weboldala görbékkel, felületekkel, animációkkal: Matematikai szoftverek linkgyűjtemény: Árki Tamás Cabri tanfolyama itt a Vándorgyűlésen: csütörtök és péntek LINK

19 Segítség a dolgozathoz Keith Jones geometria tanítással, tanulással kapcsolatos cikkei Csikós Balázs által ajánlott cikkek a számítógépes geometriaoktatás módszertanáról: Walter Whiteley: Teaching To See Like a Mathematician Peter Pereira: Dynamic Geometry: Dilemmas of Teaching


Letölteni ppt "Rátz László Vándorgyűlés, 2006 Hraskó András: Az előadás anyaga letölthető innen:"

Hasonló előadás


Google Hirdetések