Az előadás letöltése folymat van. Kérjük, várjon

Az előadás letöltése folymat van. Kérjük, várjon

PTE PMMK Matematika Tanszék dr. Klincsik Mihály Valószínűségszámítás és statisztika előadások 4. téma Teljes valószínűség - tétel és a Bayes-tétel Teljes.

Hasonló előadás


Az előadások a következő témára: "PTE PMMK Matematika Tanszék dr. Klincsik Mihály Valószínűségszámítás és statisztika előadások 4. téma Teljes valószínűség - tétel és a Bayes-tétel Teljes."— Előadás másolata:

1 PTE PMMK Matematika Tanszék dr. Klincsik Mihály Valószínűségszámítás és statisztika előadások 4. téma Teljes valószínűség - tétel és a Bayes-tétel Teljes valószínűség tétel. Szemléltetés fa diagrammal. Bináris csatorna példája. Bayes-tétel és alkalmazása. Inverz fa diagram. Feladatok. Gépész-Villamosmérnök szak BSc MANB030, MALB030

2 Teljes valószínűség tétel TELJES VALÓSZÍNŰSÉG TÉTEL Legyen B 1, B 2, B 3,…, B n teljes eseményrendszer, azaz páronként egymást kizáró események, melyek összege az Ω eseménytér: B k ·B i =Ø ( ha k≠i ) és B 1 + B 2 + B 3 +…+ B n = Ω. Ekkor tetszőleges A eseményre B1B1 B2B2 B3B3 B4B4 B5B5 A·B1A·B1 A·B2A·B2 A·B3A·B3 A·B4A·B4 A·B5A·B5 Mivel (A · B k )·(A·B i )=Ø, ha k≠i, ezért Bizonyítás A

3 PTE PMMK Matematika Tanszék dr. Klincsik Mihály A valószínűségek szorzás-tétele alapján minden k=1, 2, 3,…, n esetén. Behelyettesítve az előző egyenlőségbe, kapjuk a bizonyítandó teljes valószínűség tétel formuláját A tétel olyan esetekben hasznos segítség, amikor az összeg tagjai könnyebb kiszámítani, mint közvetlenül az A esemény valószínűségét. Teljes valószínűség tétel

4 Szemléltetés fa diagrammal PTE PMMK Matematika Tanszék dr. Klincsik Mihály B1B1 B2B2 B3B3 A start B1B1 B2B2 B3B3 A A A A A A B1·AB1·A B2·AB2·A B3·AB3·A P(B 1 ) P(B 2 ) P(B 3 ) P(A|B 1 ) P(A|B 2 ) P(A|B 3 ) Feldaraboltuk az eseményteret idegen részekre a B 1, B 2 és B 3 eseményekkel! Tetszőleges A eseményt ez a darabolás diszjunkt B k ·A részekre oszt. A gráf start csúcsából induló élek megfelelnek a darabolásoknak. Az egyes élekre írt P(B k ) valószínűségek, a darabok mértékei az egészhez viszonyítva. A következő bináris élsorozatok azt mutatják, hogy az egyes darabok mekkora része van A-ban illetve mekkora része nincs A- ban. Az élekre a feltételes valószínűségek kerülnek. A valószínűségek szorzás szabálya alapján a levelekhez vezető úton vett szorzatok a szorzat események valószínűségeit adják P(B k ·A) = P(A|B k ) · P(B k ) Ha a szürkével jelölt sorok valószínűségeit összeadjuk, akkor megkapjuk A valószínűségét! Szorzat események Valószínű- ségeik P(B 1 ·A) P(B 2 ·A) P(B 3 ·A)

5 Bináris csatorna átmenet valószínűségei PTE PMMK Matematika Tanszék dr. Klincsik Mihály AB AB 0,4 0,6 0,95 0,9 0,05 0,1 átvitelVétel Bináris jelek érkezése Kódolás Encoder Decoder A = { az adó 1 jelet ad } B = { a vevő 1 jelet vett } P(A) = 0.4 P(A) = 0.6 P(B|A) = 0.95 P(B |A) = 0.05 P(B|A) = 0.1 P(B |A) = 0.9 Adott valószínűségek Keresett valószínűségek P(B)= mekkora az 1 jel vételének valószínűsége? P(A| B) = mekkora valószínűséggel továbbított 1 jelet az adó, feltéve hogy a vevő 1 jelet vett? Események

6 P(A)= 0.6 Bináris csatorna döntés fa diagramja PTE PMMK Matematika Tanszék dr. Klincsik Mihály Az adás bitjei A vétel bitjei Szorzat események Útvonal valószínűségek szorzata w1 = A·Bw1 = A·B Összeg = · 0.95 = 0.38 = P(  1 ) 0.4 · 0.05 = 0.02 = P(  2 ) 0.6 · 0.1 = 0.06 = P(  3 ) 0.6 · 0.9 = 0.54 = P(  4 ) Start A A P(A)= 0.4 P(B|A)= 0.95 B B B B P(B|A)= 0.1 P(B|A)= 0.05 P(B|A)= 0.9 w2 = A·Bw2 = A·B w3 = A·Bw3 = A·B w4 = A·Bw4 = A·B P(B)= P(A·B) + P(A·B)= = 0.44 Az 1 jel vételének valószínűsége, a teljes valószínűség-tétel alapján

7 BAYES - TÉTEL Legyen B 1, B 2, B 3,…, B n teljes eseményrendszer, azaz páronként egymást kizárók és összegük az Ω eseménytér: B k ·B i =Ø ( ha k≠i ) és B 1 + B 2 + B 3 +…+ B n = Ω. Ha az A esemény pozitív valószínűségű és k rögzített index 1 és n között, akkor PTE PMMK Matematika Tanszék dr. Klincsik Mihály Bayes-tétel Bizonyítás Felhasználva a feltételes valószínűség definícióját, a szorzás-szabályt és a teljes valószínűség- tételét kapjuk a Bayes-tétel állítását Ezzel igazoltuk a Bayes-tétel állítását.

8 PTE PMMK Matematika Tanszék dr. Klincsik Mihály Az adás bitjei A vétel bitjei Szorzat események Útvonal valószínűségek szorzatai adottak w1 = A·Bw1 = A·B Összeg = = P(  1 ) 0.02 = P(  2 ) 0.06 = P(  3 ) 0.54 = P(  4 ) Start B B P(B)= 0.44 P(B)= 0.56 P(A|B)= A A A A P(A|B)= P(A|B)= P(A|B)= w2 = A·Bw2 = A·B w3 = A·Bw3 = A·B w4 = A·Bw4 = A·B Bináris csatorna inverz fa diagramja P(A| B) = P(A·B) P(B) = = A Bayes-tétel alkalmazásával kapjuk a P(A|B) valószínűséget! A teljes valószínűség- tétel alapján kaptuk! Sorrendcsere történt! Cseréljük fel az eredeti fa oszlopait!

9 PTE PMMK Matematika Tanszék dr. Klincsik Mihály Feladatok teljes valószínűség- és Bayes-tételre 1. Tekintsünk egy közúti szállítással foglalkozó céget vagy rendszert! A cég a vállalt szállítási kötelezettségeinek időnként a csúcsforgalom miatt nem tud eleget tenni. Ilyenkor a szállítási feladat meghiúsul, azt mondjuk, hogy a rendszer leáll. A cég a szállítással kapcsolatos feladatait 3 csoportba sorolja: alacsony, közepes és magas szintű szállítási kötelezettségek. Ezek a szállítás sürgősségével függnek össze. Az alábbi táblázat tartalmazza az egyes kötelezettségi szintek gyakoriságai alapján számolt valószínűségeket és a rendszer leállásának feltételes valószínűségeit, az egyes kötelezettségi szintnek megfelelő feltételek mellett (a) Határozzuk meg a rendszer leállásának valószínűségét! Rajzoljuk fel a feladat fa diagramját, amelyen tüntessük fel a rendszer működését is, mint a leállás ellentét eseményét! (b) Ha azt észlelték, hogy a rendszer leállt, akkor ezt a leállást mekkora valószínűséggel idézte elő egy közepes szintű kötelezettség? Rajzoljuk fel a feladat inverz fa diagramját!

10 PTE PMMK Matematika Tanszék dr. Klincsik Mihály Feladatok teljes valószínűség- és Bayes-tételre 2. Négy egymást követő közlekedési lámpa szinkronizálási problémájával kapcsolatosan megfigyelték a következő adatokat. Minden egyes lámpa 50 másodperces periódusonként vált át pirosra és ekkor 30 másodpercig piros jelzést ad. A következő feltételes valószínűségeket mérték P(S k+1 |S k ) = 0.15 és, k =1, 2, 3 esetén, ahol az S k esemény azt jelöli, hogy a k-adik lámpa megállította a gépkocsivezetőt! A fa diagram felrajzolása segítségével számítsuk ki annak valószínűségét, hogy egy gépkocsivezetőt (a)Mind a négy lámpa megállítja (b)Egyik lámpa sem állítja meg, azaz „zöld hullámot” kap (c)Legfeljebb egy lámpa tartóztatja fel.

11 Három urnánk van. Minden urna tartalmaz 1 fehér golyót. Ez mellett az I. urna 1 fekete golyót, a II. urna 2 fekete golyót és a III. urna 3 fekete golyót tartalmaz. Egy urnát kiválasztunk találomra és a kiválasztott urnából kihúzunk egy golyót. A három urna kiválasztásának a valószínűségei rendre 1/6, ½ és 1/3. Ha tudjuk, hogy fehér golyót húztunk, akkor mekkora a valószínűsége, hogy egy adott urnából való a golyó! Használjuk az eredeti és az inverz fa diagramot a számításhoz! Feladatok teljes valószínűség- és Bayes-tételre 3. PTE PMMK Matematika Tanszék dr. Klincsik Mihály

12 Egy szociológiai kísérlet abban áll, hogy 4 lepecsételt boríték mindegyikébe egy-egy megoldandó problémát tettek. Ezután megkérték a résztvevőket, hogy válasszanak egy borítékot és próbálják megoldani a problémát 10 percen belül. Kísérletek alapján tudjuk, hogy a legnehezebb problémát 0.1 valószínűséggel meg tudják oldani a résztvevők. A többi problémára vonatkozóan a valószínűségek rendre 0.3, 0.5 és 0.8. Tudjuk, hogy a csoportnak sikerült megoldani a problémát a megadott időn belül. Mekkora a valószínűsége, hogy a legnehezebb problémát kapták? Használjuk az eredeti és az inverz fa diagramot a számításhoz! Feladatok teljes valószínűség- és Bayes-tételre 4. PTE PMMK Matematika Tanszék dr. Klincsik Mihály

13 Feladatok teljes valószínűség- és Bayes-tételre 5. PTE PMMK Matematika Tanszék dr. Klincsik Mihály Angliában egy adott helyen a jó időjárás esélye 20 %, míg a rossz időjárás a megfigyelések 80 %-ára teljesül. Ha egy adott nap az időjárás jó, akkor annak valószínűsége, hogy a következő nap is jó idő lesz az Ha egy adott napon rossz idő van, akkor annak valószínűsége, hogy a következő nap is rossz idő lesz Ha ma jó idő van, akkor mi a valószínűsége annak, hogy tegnap is jó idő volt? Ha ma rossz idő van, akkor mi a valószínűsége annak, hogy tegnap is rossz idő volt? Használjuk az eredeti és az inverz fa diagramot a számításokhoz!

14 Feladatok teljes valószínűség- és Bayes-tételre 6. PTE PMMK Matematika Tanszék dr. Klincsik Mihály Egy vizsgán minden kérdésre 4 választási lehetőség közül kell kiválasztani a helyes választ! (ún. multiple-choice teszt) Tegyük fel, hogy ha egy diák tudja a helyes választ, akkor 1 valószínűséggel a jót választja, míg ha találgat, akkor ¼ valószínűséggel válaszol helyesen. Tételezzük fel továbbá, hogy egy jó tanuló a kérdések 90%-ára tudja a választ, egy gyenge tanulónál ugyanez 50%. Ha egy jó tanuló egy kérdésre helyesen válaszolt, akkor mekkora a valószínűsége, hogy találgatással találta el a helyes választ? (1/37) Ha egy gyenge tanuló egy kérdésre helyesen válaszolt, akkor mekkora a valószínűsége, hogy találgatással találta el a helyes választ? (1/5) Használjuk az eredeti és az inverz fa diagramot a számításhoz!

15 Feladatok teljes valószínűség- és Bayes-tételre 7. PTE PMMK Matematika Tanszék dr. Klincsik Mihály Egy tranzisztorokat tesztelő gép a hibás tranzisztort 0.95 valószínűséggel felismeri, de egy jó tranzisztort hibásnak minősít 0.1 valószínűséggel. Egy technikus tudja, hogy egy rádióban levő 10 tranzisztor közül 1 hibás (nem tudja, hogy melyik az). Kiválaszt egyet véletlenszerűen a 10 közül, majd teszteli és a gép azt mutatja, hogy hibás. Mekkora a valószínűsége, hogy a tranzisztor valóban hibás? Tegyük fel, hogy a gép azt mutatja a tesztelés során, hogy a tranzisztor jó. Mekkora a valószínűsége ekkor, hogy a tranzisztor mégis hibás? Használjuk az eredeti és az inverz fa diagramot a számításokhoz!

16 Feladatok teljes valószínűség- és Bayes-tételre 8. PTE PMMK Matematika Tanszék dr. Klincsik Mihály Bizonyos fajta megfázás orvoslására az esetek ⅓ –ánál C vitamint, ½ részénél antibiotikumot míg 1/6 részben látszatgyógyszert (ún. placebo) alkalmaznak. A megfázást a C-vitamin az alkalmazott esetek ¼ részében meggyógyította, míg ugyanez az arány ½ és 3/5 volt az antibiotikum és a látszatgyógyszerek esetében. Ha egy ember nem gyógyult ki a megfázásából, mekkora a valószínűsége annak, hogy ennek a C-vitamin volt az oka? Ha egy illető kigyógyult a megfázásából, akkor mi a valószínűsége annak, hogy ez a gyógyulás a látszatgyógyszernek köszönhető? Használjuk az eredeti és az inverz fa diagramot a számításokhoz!

17 Feladatok teljes valószínűség- és Bayes-tételre 9. PTE PMMK Matematika Tanszék dr. Klincsik Mihály Egy zenekutató megpróbálja meghatározni, hogy egy újonnan felfedezett barokk dalnak ki a zeneszerzője. Úgy gondolja, hogy egyforma valószínűséggel lehet a szerző Archangelo Spumani és a kevésbé ismert bátyja, Pistachio. A kérdés eldöntésének kulcsa a zeneszerzők által alkalmazott A-dúr és F-moll hangnemek gyakorisága. Ismert, hogy Archangelo az esetek 60% -ban A - dúrban, míg Pistachio az esetek 80%- ban F-mollban komponált. Ha a zenekutató által felfedezett zeneművet F-mollban írták, akkor mi a valószínűsége, hogy azt Archangelo komponálta? Illetve Pistachio komponálta? Használjuk az eredeti és az inverz fa diagramot a számításokhoz!

18 Feladatok teljes valószínűség- és Bayes-tételre 10. PTE PMMK Matematika Tanszék dr. Klincsik Mihály Egy hivatal által szervezett pikniken 200 résztvevőből 150 fő evett csak egy fogást – krumpli salátát – 30 fő evett két fogásos és 20 fő evett három fogásos ételt (ezek között is szerepelt a krumpli saláta). Később a résztvevők közül sokan megbetegedtek, és felfedezték, hogy ennek oka a krumpli saláta volt. Az orvos úgy tapasztalta, hogy a résztvevők 0.3 valószínűséggel betegedtek meg. Ha valaki megbetegedett, akkor mekkora a valószínűsége, hogy 1, 2 vagy 3 fogást evett? Ha valaki nem betegedett meg, akkor mekkora a valószínűsége, hogy 1, 2 vagy 3 fogást evett? Használjuk az eredeti és az inverz fa diagramot a számításokhoz!


Letölteni ppt "PTE PMMK Matematika Tanszék dr. Klincsik Mihály Valószínűségszámítás és statisztika előadások 4. téma Teljes valószínűség - tétel és a Bayes-tétel Teljes."

Hasonló előadás


Google Hirdetések