Az előadás letöltése folymat van. Kérjük, várjon

Az előadás letöltése folymat van. Kérjük, várjon

J ELENÉRTÉKSZÁMÍTÁS-TECHNIKA. Jelenértékszámítás-technika  A projekt által termelt pénzáramoknak van valamilyen időbeli lefutása, mintázata: pénzáramprofil.

Hasonló előadás


Az előadások a következő témára: "J ELENÉRTÉKSZÁMÍTÁS-TECHNIKA. Jelenértékszámítás-technika  A projekt által termelt pénzáramoknak van valamilyen időbeli lefutása, mintázata: pénzáramprofil."— Előadás másolata:

1 J ELENÉRTÉKSZÁMÍTÁS-TECHNIKA

2 Jelenértékszámítás-technika  A projekt által termelt pénzáramoknak van valamilyen időbeli lefutása, mintázata: pénzáramprofil (cash flow pattern) – ezt ábrázoltuk pénzáramlás diagramos formában  Vannak „nevezetes” profilok, amikhez „nevezetes” képletek tartoznak (azaz a profil jelenértéke zárt alakban megadható)  Egyéb esetekben a profil pontos jelenértéke csak körülményesen számolható – célszerű közelítésekkel élni  Ezen formulák és közelítések közül tekintünk most át néhányat…

3 Egyszeri pénzáram  Single cash flow, lump sum  Egy tetszőleges N-ik periódus végén bekövetkező F pénzáram  Jelenértéke, P (a már ismert kamatos kamatozás logikáját tükrözve):

4 Egyszeri pénzáram – példák  Legalább hány periódus múlva kell, hogy befolyjon egy F = 100 összegű pénzáram, hogy jelenértéke kisebb legyen, mint 50, ha a diszkontráta 10%?  Megoldás: 100/(1+0,1) N = 50, amit átrendezve:  N = ln2 / ln1,1 ≈ 7,27, tehát: legalább 8 periódus  (Megjegyzés: bármilyen logaritmust használhattunk volna)  Mekkora diszkontráta mellett lesz egy 8 periódus múlva befolyó F = 150 összegű pénzáram jelenértéke 90?  Megoldás: 150/(1+r) 8 = 90, amit átrendezve:  r = (150/90) 1/8 – 1 ≈ 6,59%

5 Annuitás  Annuity  Egyenletes pénzáramlás-sorozat: azonos összegek minden periódus végén N perióduson keresztül  Jelenértéke (vö. mértani sor összegképlete):

6 Annuitás – példák (I.)  Mekkora egy A = 100 összegű 15 periódus hosszú annuitás jelenértéke, ha a diszkontráta 12%?  Megoldás: P = 100*[(1+0,12) 15 – 1]/[0,12*(1+0,12) 15 ] ≈ 681  Legalább hány periódusig kell, hogy tartson egy A = 50 összegű annuitás, hogy jelenértéke nagyobb legyen, mint 100, ha a diszkontráta 18%?  Megoldás: 50*(1,18 N – 1)/(0,18*1,18 N ) = 100, amit átrendezve:  1 – 1,18 -N = 2*0,18, amit tovább rendezve:  N = -ln0,64 / ln1,18 ≈ 2,7, tehát legalább 3 periódus  Melyiket választaná: ma 10 millió Ft vagy 15 éven keresztül évi 1 millió Ft, ha a diszkontráta 10%?  Megoldás: 1*(1,1 15 – 1)/(0,1*1,1 15 ) ≈ 7,61 < 10, tehát előbbit

7 Annuitás – példák (II.)  Legalább mekkora A összegűnek kell lenni egy 10 periódus hosszú annuitásnak, hogy jelenértéke legalább 80 legyen, ha a diszkontráta 15%?  Megoldás: A*(1,15 10 – 1)/(0,15*1,15 10 ) = 80, amiből A ≈ 16  *Egy 12 periódus hosszú A = 75 összegű annuitás jelenértéke közelítőleg mekkora diszkontráta esetén 750?  Megoldás: 75*[(1+r) 12 – 1]/[r*(1+r) 12 ] = 750, átrendezve:  (1+r) 12 – 1 = 10*r*(1+r) 12, ami egy 13-adfokú egyenlet…  Ha r kicsi (≈0), akkor (1+r) 12 ≈ 1+12*r (elsőrendű Taylor-sor)  Így: 12*r = 10*r*(1+12*r) és mivel r ≠ 0: r = 0,2/12 ≈ 1,67%  Ellenőrizzük le: 75*(1, – 1)/(0,0167*1, ) ≈ 809

8 Örökjáradék  Perpetuity  Egy annuitás, ami a végtelenségig tart  Jelenértéke (az annuitás formulájának N = végtelen- ben vett határértéke):

9 Örökjáradék – példák  Mennyi egy A = 100 összegű örökjáradék jelenértéke, ha a diszkontráta 20%?  Megoldás: P = 100/0,2 = 500  Mekkora A összegűnek kell lennie egy örökjáradéknak, hogy jelenértéke 250 legyen, ha a diszkontráta 15%?  Megoldás: A/0,15 = 250, amiből A = 37,5  Egy A = 25 összegű örökjáradék jelenértéke mekkora diszkontráta esetén 100?  Megoldás: 25/r = 100, amiből r = 25%

10 Lineárisan növekvő pénzáramsorozat  Linear gradient series  Periódusról periódusra azonos G összeggel növekvő pénzáramok sorozata  A profilt leíró képlet:  A profil jelenértéke:

11 Lineárisan növekvő… – példák (I.)  Mennyi a jelenértéke a következő pénzáramsorozatnak: F 0 = 0, F 1 = 1000, F 2 = 1300, F 3 = 1600, F 4 = 1900, F 5 = 2200 és F 6 = 2500, ha a diszkontráta 14%?  Megoldás: észre kell venni, hogy a sorozat két részből tevődik össze: egy A = 1000 annuitás és egy G = 300 lineáris gradiens 6 perióduson keresztül  Az annuitás jelenértéke: P A = 1000*(1,14 6 – 1)/(0,14*1,14 6 ) ≈ 3889  A gradiens jelenértéke: P G = 300*(1,14 6 – 0,14*6 – 1)/(0,14 2 *1,14 6 ) ≈ 2475, tehát összesen: 6364  Mekkora A összegű, ugyanolyan időtartamú annuitás ekvivalens az előző példa pénzáramsorozatával?  Megoldás: A*(1,14 6 – 1)/(0,14*1,14 6 ) = 6364, amiből A ≈ 1637

12 Exponenciálisan növekvő pénzáramsorozat  Geometric gradient series  Periódusról periódusra azonos g (százalékos) ütemben növekvő pénzáramok sorozata  A profilt leíró képlet:  A profil jelenértéke:

13 Exponenciálisan növekvő… (II.)  Ha az exponenciális növekedés a végtelenségig tart (~örökjáradék), akkor a jelenérték (N→∞):  Példák: legyen g = 3% és r = 10%, exp. növ. sorozat  Mekkora a jelenérték, ha F 1 = 100 a kezdő pénzáram és 5 perióduson át tart a sorozat?  Megoldás: P = 100*[1 – (1,03/1,1) 5 ]/(0,1 – 0,03) ≈ 400  Mekkorának kell lenni F 1 -nek, hogy a jelenérték 320 legyen?  Megoldás: F 1 ≈ 320/4 = 80

14 Exponenciálisan növekvő… (III.) Példák folyt.  Ha F 1 = 100, legalább hány periódusig kell, hogy tartson a sorozat, hogy a jelenérték nagyobb legyen, mint 500?  Megoldás: 1 – 500/100*(0,1 – 0,03) = (1,03/1,1) N  N ≈ ln0,65 / ln0,94 ≈ 6,96, tehát 7 periódusig  Ugyanezek a kérdések, csak g = 10%  Megoldások: P = 5*100/1,1 ≈ 455; F 1 = 320*1,1/5 ≈ 70; N = 500*1,1/100 ≈ 5,5, tehát 6 periódusig  És ha a sorozat a végtelenségig tart?  Akkor g = 10%-nál a jelenérték nem létezik (végtelen)  P = 100/(0,1 – 0,03) ≈ 1429; F 1 = 320*(0,1 – 0,03) = 22,4

15 Exponenciálisan növekvő… (IV.) Példák folyt.  A sorozat a végtelenségig tart. Ha F 1 = 100 és r = 10%, akkor mekkora g-nél, illetve ha g = 3%, akkor mekkora r-nél lesz a jelenérték 1250?  Megoldás: 100/(0,1 – g) = 1250, amiből g = 2%  Hasonlóképp: 100/(r – 0,03) = 1250, amiből r = 11%

16 Perióduson belüli pénzáramok (I.)  Intraperiod cash flow  Egy előre meghatározott hosszúságú (pl. egy év) kamatperióduson (interest period) belül tetszőleges időpontban jelentkező pénzáram  Az eddig tekintett profiloknál mindig csak a periódusok végén volt pénzáram  A perióduson belüliség megengedésével a valóság jobban leírható – pl. egy projektnek a valóságban jellemzően év közben is vannak pénzáramai

17 Perióduson belüli pénzáramok (II.)  Lényeges megjegyzés: a definiált kamatperiódus hossza tetszőleges lehet, így a korábban megismert profilokat értelmezhetjük éves, havi, heti, stb. szinten egyaránt – azaz éves, havi, heti, stb. felbontásban adják meg a pénzáramok alakulását  Ezért is használtam az „év” helyett az általánosabb „periódus” kifejezést!  Természetesen a diszkontrátát is a periódus hosszára vonatkoztatva kell megadni – pl. éves felbontású profilhoz éves diszkontráta  Hogyan válthatjuk át a diszkontrátát a különböző hosszúságú periódusokra? → kamatos kamatozás logikája  t és T azonos mértékegységben!

18 Perióduson belüli pénzáramok (III.)  Példa: ha az éves diszkontráta 12%, akkor mennyi a negyedéves diszkontráta?  t = 0,25 év, T = 1 év, r t = (1+0,12) 0,25/1 – 1 = 2,87%  t = 1 negyedév, T = 4 negyedév, r t = (1+0,12) 1/4 – 1 = 2,87%  Vissza a perióduson belüli pénzáram jelenértékéhez, ami a következőképp adható meg (t F a kamatperiódus mértékegységében!):  Példa: mekkora egy 17 hónap múlva befolyó F = 100 pénzáram jelenértéke, ha az éves diszkontráta 20%?  Megoldás: P = 100/(1+0,2) 17/12 ≈ 77,24

19 Perióduson belüli pénzáramok (IV.)  A perióduson belüli pénzáram jelenértéke formulájának bizonyítása (nem kell tudni):  Legyen a kamatperiódus hossza t F, ekkor:  A jelenérték pedig:  Behelyettesítve r t F -et adódik:  → Ezt állítottuk

20 Perióduson belüli pénzáramok (V.)  Nézzünk egy projektet „sok” perióduson belüli pénzárammal:  A pontos jelenértéket úgy kapnánk, ha egyesével diszkontálnánk minden pénzáramot, majd jelenértékeiket összegeznénk  Körülményes, fáradságos → célszerű közelítésekkel élni

21 Időzítési konvenciók (I.)  Időzítési konvenciók: periódusonként aggregáljunk minden pénzáramot a periódus egy kitüntetett pontjába!  Periódusvégi konvenció (end-of-period convention): a periódus minden pénzárama a periódus végére tolva, majd ezen „aggregált” pénzáramok diszkontálása  Ez a klasszikus, tankönyvi eljárás, ezt csináltuk eddig mi is: csak a periódusok végén volt pénzáram  Közelítésnél örök dilemma: egyszerűség, praktikusság vs. pontosság  Kérdés 1: mekkora hibát véthetünk a periódusvégi konvencióval?  Kérdés 2: javítható-e valamilyen egyszerű módon a periódusvégi konvenció pontossága?

22 Időzítési konvenciók (II.)  Ismerkedjünk meg néhány más időzítési konvencióval:  Periódus-eleji konvenció (beginning-of-period convention): a periódus minden pénzárama a periódus elejére tolva  Periódus-közepi konvenció (mid-period convention): …közepére tolva  Egy speciális időzítési konvenció: Harmonikus konvenció (harmonic convention): periódus-eleji és -végi harmonikus közepe (Andor és Dülk, 2013a)  A számtani és a mértani átlagot is megvizsgáltuk már (Andor és Dülk, 2013b), de ezekkel most nem foglalkozunk…  Az említett konvenciók mind előállnak a periódusvégi jelenérték (P E ) egyszerű korrekciójával (ld. köv. dián)

23 Időzítési konvenciók (III.)  A formulák:  Definiáljuk a relatív hibát (ε) a következőképp:  Kérdés: legyen szó bármilyen tényleges pénzáram- profilról, mekkora az elméletileg elkövethető lehetséges legnagyobb relatív hiba (LLRH)?  Azaz: legyen szó bármilyen profilról, ennél nagyobb hibát biztosan nem vétünk az adott konvenció alkalmazásával

24 Időzítési konvenciók (IV.)  Az említett konvenciókra levezethető, hogy a LLRH (ε max -szal jelölve):  A sorrend igaz bármely pozitív diszkontrátára  A harmonikus konvenció minimalizálja a LLRH-t!  20%-os diszkontráta esetén pl. E: 16,67%, B: 20%, M: 9,55%, H: 9,09%  Látszik, hogy érdemes korrigálni H-val vagy M-mel, és a korrekció könnyen elvégezhető… <<<

25 Időzítési konvenciók (V.)  Mi a helyzet konkrét pénzáramprofilok esetén?  Például ún. PERT-jellegű profilok esetén periódusvégi konvencióra: r

26 Időzítési konvenciók (VI.)  Továbbra is PERT: harmonikus konvenció és a konvenciók összevetése: rr

27 Időzítési konvenciók (VII.)  Leolvashatók a konvenciók hibái, így a pontos jelenérték megadható a nomogramok segítségével:  Általánosságban megállapítható: a harmonikus (és a periódus- közepi) konvenció hibája jellemzően < 5% → elfogadhatóan pontosak  P E mindig alulbecsül: jó projekt elvetésének veszélye!  Záró megjegyzés: figyelem! Az említett konvenciók csak a jelen- értékre (PV) alkalmazhatók, a nettó jelenértékre (NPV = -F 0 + PV) közvetlenül nem!  Mert F 0 egy „speciális”, konvención kívüli pénzáram

28 Konvenciók – példák (I.)  Egy projekt 20 perióduson keresztül minden periódusban összesen 100 összegű pénzáramot termel, a diszkontráta 25%.  Mekkora a projekt jelenértéke periódusvégi, -eleji, -közepi, és harmonikus konvencióval?  Legfeljebb mekkora hibát véthetünk ezen konvenciók alkalmazásával?  Mekkora a pontos jelenérték, ha a pénzáramok mintázata minden periódusban PERT-jellegű, c = 0,55 paraméterrel? (nomogram mellékelve)  A pontos jelenérték fényében melyik konvenció a legpontosabb?  Mi az egyes konvenciók szerint a projekt megvalósítandóságáról szóló döntés, ha a kezdő beruházási összeg F 0 = 420?

29 Konvenciók – példák (II.)  Megoldások:  Periódusvégi jelenérték: az ismert annuitás-képlettel: P E = 100*(1,25 20 – 1)/(0,25*1,25 20 ) ≈ 395  Periódus-eleji jelenérték: P B = P E *1,25 = 494  Periódus-közepi jelenérték: P M = P E *1,25 1/2 = 442  Harmonikus jelenérték: P H = P E *1,25/1,125 = 439  LLRH-k: E: 0,25/1,25 = 20%; M: 1,25 1/2 – 1 = 11,8%; B: 0,25 = 25%; H: 0,25/2,25 = 11,1%  Nomogramon c = 0,55 és r = 25% kombináció: E: -10%, amiből P pontos = 395/(1 – 0,1) = 439  Ebből látszik, hogy jelen esetben a harmonikus konvenció a legpontosabb (éppen mondjuk teljesen pontos…)  A periódusvégi kivételével mindegyiknél pozitív az NPV, tehát a projekt megvalósítandó (és valóban, mert 439 – 420 = 19 > 0)

30 Konvenciók – példák (III.)  Adott két pénzáram és időzítéseik: F 1 = 70, F 2 = 110 és t 1 = 0,4 év, t 2 = 9,6 hónap, és a negyedéves diszkontráta 4,66%.  Mekkora a pénzáramok jelenértéke periódusvégi, periódus-eleji, -közepi, és harmonikus konvencióval?  Mekkora a pontos jelenérték?  Mekkora a periódusvégi, illetve a harmonikus konvenció hibája?

31 Konvenciók – példák (IV.)  Megoldás:  Átváltások azonos időmértékegységre (most: évre):  t 2 = 9,6/12 = 0,8 év  Éves diszkontráta r = (1+0,0466) 4 – 1 = 20%  P E = (70+110)/(1+0,2) = 150  P B = 150*(1+0,2) = 180  P M = 150*(1+0,2) 0,5 = 164,32  P H = 150*(1+0,2)/(1+0,2/2) = 163,64  P pontos = 70*(1+0,2) -0, *(1+0,2) -0,8 = 160,15  A hibák pedig: E: 150/160,15 – 1 = -6,3% és H: 163,64/160,15 – 1 = +2,2%


Letölteni ppt "J ELENÉRTÉKSZÁMÍTÁS-TECHNIKA. Jelenértékszámítás-technika  A projekt által termelt pénzáramoknak van valamilyen időbeli lefutása, mintázata: pénzáramprofil."

Hasonló előadás


Google Hirdetések