Az előadás letöltése folymat van. Kérjük, várjon

Az előadás letöltése folymat van. Kérjük, várjon

A σ(n)-n = s(n) számelméleti függvény vizsgálata és gyakorlati alkalmazása Az Út a tudományhoz program keretében közreműködtek: Győrffy Lajos Szudi László.

Hasonló előadás


Az előadások a következő témára: "A σ(n)-n = s(n) számelméleti függvény vizsgálata és gyakorlati alkalmazása Az Út a tudományhoz program keretében közreműködtek: Győrffy Lajos Szudi László."— Előadás másolata:

1 A σ(n)-n = s(n) számelméleti függvény vizsgálata és gyakorlati alkalmazása Az Út a tudományhoz program keretében közreműködtek: Győrffy Lajos Szudi László Lamm Éva Eckert János Pap Máté Réti Norbert Pap Máté Réti Norbert Témavezető: dr. Katz Sándor

2 Fogalmak •Egy n pozitív egész szám esetén s(n)-nel jelöljük a nála kisebb osztóinak összegét. pl.: s(18)= =21 s(16)= =15 s(16)= =15 •σ(n)-nel jelöljük egy az n szám összes osztójának összegét. •σ(n) értéke n-nel nagyobb a s(n)-nél. pl.: σ(18)= =39 σ(16)= =31 σ(16)= =31

3 s(n) függvény

4 •Az s(n) és n viszonya alapján 3 csoportra oszthatjuk a számokat: •Ha s(n) < n, akkor a szám hiányos, pl.: s(9)=1+3=4 < 9 •Ha s(n) > n, akkor a szám bővelkedő pl.: s(12)= =16 > 12 •Ha s(n) = n, akkor a szám tökéletes pl.: s(6)=1+2+3=6.

5 Tökéletes számok A páros tökéletes számok ma már ismert alakja: Aholprím. Mersenne prímeknek 47 Az ilyen alakú prímeket Mersenne prímeknek nevezzük. Ezekből mindössze 47 darabot ismerünk. Továbbá minden Mersenne prímhez tartozik tökéletes szám és fordítva. n =2 p-1 (2 p –1) 2 p –1

6 Már Euklidesz (i. e ) megmutatta, hogy ha n = (2 p -1) · 2 p-1 alakú, ahol p és 2 p -1 prímszám, akkor n tökéletes szám. Pl: p=2-re: (2 2 -1) · = 3 · 2=6 p=3-ra: (2 3 -1) · = 7 · 4=28

7 Marin Mersenne, francia szerzetes több olyan p prímet adott meg, amelyekre (2 p -1) is prím. Az ilyen alakú prímeket azóta is Mersenne-prímeknek nevezzük. Marin Mersenne ( )

8 Leonhard Euler ( ) Leonard Euler megmutatta, hogy páros tökéletes szám csak n=(2 p -1) ·2 p-1 alakú lehet. És ő találta a 8. tökéletes számot, ami 19 jegyű.

9 Derrick Lehmer ( ) Derrick Lehmer kidolgozott olyan eljárást, amivel nagyobb tökéletes számokat is lehet keresni. Eddig (2009 okt. 24.) 47 tökéletes számot ismerünk. Ez mind páros.

10 Az első 15 Mersenne-prím és tökéletes szám ##p (exponent)digits in M p digits in P p yeardiscoverer anonymous Cataldi Cataldi Euler Pervushin Powers Powers Lucas Robinson Robinson Robinson

11 Prímszámrekord A mai rekord jegyből áll. Edson Smith augusztus Edson Smith Mersenne-képlet alapján a rekordszám: ( )-1 (GIMPS: Great Internet Mersenne Prime Search)

12 A legnagyobb ismert prímek jegyű Aug 2008 M47?? jegyű Jun 2009 M46?? jegyű Sep 2008 M45?? jegyű Sep 2006 M44??

13 Nem tudjuk, hogy van-e, de ha van, ilyen N, akkor •N-nek legalább 75 törzstényezője van – pl.:5 3 3-nak számít. (Kevin Hare 2005.) •A legnagyobb prímtényezője 100 milliónál nagyobb (Takeshi Goto és Yasuo Ohno, 2006) •Minimum 9 prímosztója van (Nielsen, 2006) •Maga szám –nál is nagyobb. (2006) Létezik-e páratlan tökéletes szám?

14 Aliquot sequences Hogyan viselkedik ez a sorozat? n → s(n) → s(s(n)) → s(s(s(n))) → … pl. 12 → 16 → 15 → 9 → 4 →3 →1. Milyen lehetőségek vannak?

15 Aliquot sequences -Lehet, hogy a sorozatban prímet, majd 1- et kapunk, ezzel a sorozat véget ér. -Lehet, hogy ciklusok ismétlődnek a sorozatban. Hány eleműek lehetnek ezek a ciklusok? -Lehet, hogy a sorozat sosem ér véget?

16 Hány elemű ciklusok lehetnek? -Egy eleműek a tökéletes számok pl. 6 → 6 → 6 → … 47 ismert. -Két eleműek a barátságos számok pl. 220 →284→ 220 →284 több, mint ismert -Három eleműt nem ismerünk -Négy, vagy annál több elemű Pl.: → → → →14288 →15472 →14536 → márciusig 152 ilyen ciklus ismert. (28 elemű a leghoszabb.)

17 Barátságos számok -A görörgök egy párt ismertek: körül Al Banna arab matematikus találta a következő párt: (Ezt Európában nem ismerték és csak 1636-ban találta meg ezt a párt Fermat.) ban Descartes talált egy újabb párt: – A következő?

18 Barátságos számok -Euler 1742-től 1750-ig újabb 61 párt talált, köztük olyat is, amely páratlan számokból áll: – ban még csak 390 párt ismertek, 2009-ben már több, mint ismert.

19 Barátságos számok Néhány nyitott kérdés: •Van-e páros - páratlan pár? •Van-e olyan pár, amelyben az egyik szám sokkal nagyobb a másiknál? (Az eddig ismert párok elemei közel vannak egymáshoz, vagyis ha az (a;b) barátságos párban a< b, akkor az eddig ismert párokra az arány egy elég szűk intervallumban helyezkedik el: 0, ≤ a/b ≤ 0,

20 Egy hosszú sorozat: →150 → 222 → 234 → 312→… 113. … → →… → 265 → 59 → → ?

21 Nem ismert végű ciklusok Lehmer five Sequenz / sequence last index last update ) Größe in Dezimalstellen C149/C139/C134/ C132 C152

22 Lehmer five grafiikonja

23 Milyen értékeket vesz fel az s(n) függvény? •Végtelen sok olyan érték van, amit nem vesz fel. (Erdős P ) •Minden páratlan értéket felvesz, ha a páros számokra vonatkozó Goldbach- sejtés igaz.

24 h(n)=s(n)/n hányadosról A h(n)=s(n)/n hányadosról •h(n) akármilyen kis poztív értéket felvehet, ha n elegendően nagy prímszám •Belátható, hogy h(n) akármilyen nagy értéket felvehet. Legyen n=a! Ebből látható, hogy h(n) akármilyen nagy értéket felvehet. Gombos László A sorozatról című, a POLYGON számában megjelent cikkében bebizonyította, hogy h(n) értékei a számegyenesen mindenütt sűrűn helyezkednek el.

25 Egy sejtés A problémát Marc Deléglise a közelmúltban már megoldotta. A keresett határérték a ] 0,2474; 0,2480[ intervallumba esik.

26 Nyitott kérdések az s(n) függvénnyel kapcsolatban •van-e bármilyen n szám, amelyre s(n)= n-1? kettő hatványok ilyenek, nem tudjuk van-e más? A kettő hatványok ilyenek, nem tudjuk van-e más? •van-e bármilyen n szám, amelyre s(n)= n+1? Tudjuk, hogy páros n-re nem teljesül.

27 A S(n) és s(n) függvények egy összehasonlítása Az szám pozitív osztóinak összege: A szorzat tényezőit felírhatjuk mértani sorozatok összegeként: A képlet segítségével σ(n)-ből meg tudjuk határozni n-t!

28 gyorsan nő. Tetszőleges p i esetén k i értékeit növelve Pl.: σ (n) = 8736 Tekintsük a d = képletet! Legyen p 1 = 2, k 1 = 1 esetén d = 3, mivel 3| 8736, ezért 2| n; k 1 = 2 esetén d = 7, mivel 7| 8736, ezért 2 2 | n; k 1 = 3 esetén d = 15, mivel 15 nem osztója nak, ezért 2 3 sem osztója n-nek; Ugyanezen gondolatmenet alapján kiszámítható,hogy n osztói lesznek még 5 3 és 7. Vagyis n = 2 2 · 5 3 ·7 = 3500

29 Az s(n) függvénynél nincsenek ilyen gyors eljárások. Nem tudjuk ilyen egyszerűen eldönteni s(n) értékének ismeretében,hogy egy prím szerepel-e n-ben vagy nem.

30 Egy adott s(n) esetén milyen határok között kereshetjük n értékét? -Bármely n = prím szám esetén s(n) = 1, és fordítva -n = p 2, ahol p prím, ekkor s(n) = 1+p A két egyenletből kifejezve: n=(s(n)-1) 2 Tehát egy adott s(n) érték esetén n ≤ (s(n)-1) 2 Ez pl. azt jelenti, hogy egy 64 jegyű s(n) esetén n nem lehet nagyobb 128 jegyűnél. Hol lehet n?

31 A próbálkozások csökkentése •Ha s(n) páros, akkor s(n)=σ(n)-n miatt - n páratlan négyzetszám, vagy - n=2 k m, ahol m nem négyzetszám. •Ha s(n) páratlan, akkor - n páratlan nem négyzetszám, vagy - n=2 k m, ahol m négyzetszám.

32 Mindezek a korlátozások azonban alig csökkentik a próbálkozások számát, idejét. Ha a 128 jegyűekig minden n-t végig kellene próbálni, hogy az adott s(n) érték tartozik-e hozzá, akkor ez igen sokáig tartana. Pl. ha egy számítógép minden n esetén átlagosan 0,00001 s alatt döntené el, hogy hozzá az adott s(n) tartozik-e, akkor ez több, mint évig tartana.

33 •Minden olyan művelet, ami egyik irányban viszonylag gyorsan kiszámolható, de ez a számítás visszafele nagyon sok ideig tartana alkalmas lehet titkosításra. •Ilyen tulajdonsággal rendelkezik az n s(n) függvény is.

34 Alkalmazhatóság: ún. borítékolt üznetek titkosítása Olyan üzenet kódolásaára lehet ez alkalmas, amikor az elküldés időpontjában még nem akarjuk, hogy a partner el tudja azt olvasni. Pl. ha két fél interneten sakkozik és egyik a lépését borítékolni akarja. A kódolás lépései a következők: 1.: A szöveget ASCII kód segítségével átírjuk egy számmá (ez könnyen megtehető, mivel az ASCII kód minden karakterhez egy számot rendel hozzá). Legyen ez a szám n. 2.: n számhoz ezután a program segítségével rendeljük hozzá az s(n)-jét. Ezt az s(n)-t küldjük el, mint kódolt üzenetet.

35 Egy példa a borítékolásra Kódolandó üzenet: A2rőlB3ra Torzított üzenet: szeretlek te A2rőlB3ra édes mostoha ASCII kóddal kódolt alakja: A fenti szám s(n)-je:

36 Borítékbontás: Elküldjük az n-t, azaz az eredeti szöveget. A partner könnyen ellenőrizheti, hogy ehhez a n-hez valóban az előzőleg elküldött s(n) tartozik-e. (Tehát időközben nem tudunk változtatni az üzeneten.)

37 Megfejtendő üzenet s(n) = n= ?

38 Felhasznált irodalom: K. Guy Richard: Unsolved Problems in Number Theory: [1.] B4 Amicable numbers [2.] B6 Aliquot sequence [3.] B7 Aliquot cycles [4.] B11 Solutions of mσ(m) [5.] [6.] [7.] [8.] Elemente der Mathematik 1973.: ( o.) Pál Erdős: Über die Zahlen der Form σ(n)-n und n-φ(n) [9.] Vollkommenende Zahlen

39 Köszönöm a figyelmet!


Letölteni ppt "A σ(n)-n = s(n) számelméleti függvény vizsgálata és gyakorlati alkalmazása Az Út a tudományhoz program keretében közreműködtek: Győrffy Lajos Szudi László."

Hasonló előadás


Google Hirdetések