Az előadás letöltése folymat van. Kérjük, várjon

Az előadás letöltése folymat van. Kérjük, várjon

A σ(n)-n = s(n) számelméleti függvény vizsgálata és gyakorlati alkalmazása Az Út a tudományhoz program keretében közreműködtek: Győrffy Lajos Szudi László.

Hasonló előadás


Az előadások a következő témára: "A σ(n)-n = s(n) számelméleti függvény vizsgálata és gyakorlati alkalmazása Az Út a tudományhoz program keretében közreműködtek: Győrffy Lajos Szudi László."— Előadás másolata:

1 A σ(n)-n = s(n) számelméleti függvény vizsgálata és gyakorlati alkalmazása Az Út a tudományhoz program keretében közreműködtek: Győrffy Lajos Szudi László Lamm Éva Eckert János Pap Máté Réti Norbert Pap Máté Réti Norbert Témavezető: dr. Katz Sándor

2 Fogalmak •Egy n pozitív egész szám esetén s(n)-nel jelöljük a nála kisebb osztóinak összegét. pl.: s(18)=1+2+3+6+9=21 s(16)=1+2+4+8=15 s(16)=1+2+4+8=15 •σ(n)-nel jelöljük egy az n szám összes osztójának összegét. •σ(n) értéke n-nel nagyobb a s(n)-nél. pl.: σ(18)=1+2+3+6+9+18=39 σ(16)=1+2+4+8+16=31 σ(16)=1+2+4+8+16=31

3 s(n) függvény

4 •Az s(n) és n viszonya alapján 3 csoportra oszthatjuk a számokat: •Ha s(n) < n, akkor a szám hiányos, pl.: s(9)=1+3=4 < 9 •Ha s(n) > n, akkor a szám bővelkedő pl.: s(12)=1+2+3+4+6=16 > 12 •Ha s(n) = n, akkor a szám tökéletes pl.: s(6)=1+2+3=6.

5 Tökéletes számok A páros tökéletes számok ma már ismert alakja: Aholprím. Mersenne prímeknek 47 Az ilyen alakú prímeket Mersenne prímeknek nevezzük. Ezekből mindössze 47 darabot ismerünk. Továbbá minden Mersenne prímhez tartozik tökéletes szám és fordítva. n =2 p-1 (2 p –1) 2 p –1

6 Már Euklidesz (i. e. 365-300) megmutatta, hogy ha n = (2 p -1) · 2 p-1 alakú, ahol p és 2 p -1 prímszám, akkor n tökéletes szám. Pl: p=2-re: (2 2 -1) · 2 2-1 = 3 · 2=6 p=3-ra: (2 3 -1) · 2 3-1 = 7 · 4=28

7 Marin Mersenne, francia szerzetes több olyan p prímet adott meg, amelyekre (2 p -1) is prím. Az ilyen alakú prímeket azóta is Mersenne-prímeknek nevezzük. Marin Mersenne (1588-1648)

8 Leonhard Euler (1707-1783) Leonard Euler megmutatta, hogy páros tökéletes szám csak n=(2 p -1) ·2 p-1 alakú lehet. És ő találta a 8. tökéletes számot, ami 19 jegyű.

9 Derrick Lehmer (1905-1991) Derrick Lehmer kidolgozott olyan eljárást, amivel nagyobb tökéletes számokat is lehet keresni. Eddig (2009 okt. 24.) 47 tökéletes számot ismerünk. Ez mind páros.

10 Az első 15 Mersenne-prím és tökéletes szám ##p (exponent)digits in M p digits in P p yeardiscoverer 1211---- 2312 3523 4734 513481456anonymous 6176101588Cataldi 7196121588Cataldi 83110191772Euler 96119371883Pervushin 108927541911Powers 1110733651914Powers 1212739771876Lucas 135211573141952Robinson 146071833661952Robinson 1512793867701952Robinson

11 Prímszámrekord A mai rekord 12 978 189 jegyből áll. Edson Smith 2008. augusztus 23. - Edson Smith Mersenne-képlet alapján a rekordszám: (2 43 112 609 )-1 (GIMPS: Great Internet Mersenne Prime Search)

12 A legnagyobb ismert prímek 1.2 43 112 609 -1 12 978 189 jegyű Aug 2008 M47?? 2.2 42 643 801 -1 12 837 064 jegyű Jun 2009 M46?? 32 37 156 667 -1 11 185 272 jegyű Sep 2008 M45?? 42 32 582 657 -1 9 808 358 jegyű Sep 2006 M44??

13 Nem tudjuk, hogy van-e, de ha van, ilyen N, akkor •N-nek legalább 75 törzstényezője van – pl.:5 3 3-nak számít. (Kevin Hare 2005.) •A legnagyobb prímtényezője 100 milliónál nagyobb (Takeshi Goto és Yasuo Ohno, 2006) •Minimum 9 prímosztója van (Nielsen, 2006) •Maga szám 10 500 –nál is nagyobb. (2006) Létezik-e páratlan tökéletes szám?

14 Aliquot sequences Hogyan viselkedik ez a sorozat? n → s(n) → s(s(n)) → s(s(s(n))) → … pl. 12 → 16 → 15 → 9 → 4 →3 →1. Milyen lehetőségek vannak?

15 Aliquot sequences -Lehet, hogy a sorozatban prímet, majd 1- et kapunk, ezzel a sorozat véget ér. -Lehet, hogy ciklusok ismétlődnek a sorozatban. Hány eleműek lehetnek ezek a ciklusok? -Lehet, hogy a sorozat sosem ér véget?

16 Hány elemű ciklusok lehetnek? -Egy eleműek a tökéletes számok pl. 6 → 6 → 6 → … 47 ismert. -Két eleműek a barátságos számok pl. 220 →284→ 220 →284 több, mint 12 000 000 ismert -Három eleműt nem ismerünk -Négy, vagy annál több elemű Pl.: 1 264 460 → 1 547 860 → 1 727 636 → 1 305 1840 12496 →14288 →15472 →14536 → 14264 2009 márciusig 152 ilyen ciklus ismert. (28 elemű a leghoszabb.)

17 Barátságos számok -A görörgök egy párt ismertek: 220-284 -1300 körül Al Banna arab matematikus találta a következő párt: 17 296 - 18 410. (Ezt Európában nem ismerték és csak 1636-ban találta meg ezt a párt Fermat.) -1638-ban Descartes talált egy újabb párt: 9 363 584 – 9 437 056. A következő?

18 Barátságos számok -Euler 1742-től 1750-ig újabb 61 párt talált, köztük olyat is, amely páratlan számokból áll: 69 615 – 87 633. -1946- ban még csak 390 párt ismertek, 2009-ben már több, mint 12 000 000 ismert.

19 Barátságos számok Néhány nyitott kérdés: •Van-e páros - páratlan pár? •Van-e olyan pár, amelyben az egyik szám sokkal nagyobb a másiknál? (Az eddig ismert párok elemei közel vannak egymáshoz, vagyis ha az (a;b) barátságos párban a< b, akkor az eddig ismert párokra az arány egy elég szűk intervallumban helyezkedik el: 0,697893577 ≤ a/b ≤ 0,999852518

20 Egy hosszú sorozat: 1. 2. 3. 4. 5. 138 →150 → 222 → 234 → 312→… 113. … → 179 931 895 322 →… 169. 170. 171. 172. 200 → 265 → 59 → 1 276 → ?

21 Nem ismert végű ciklusok Lehmer five Sequenz / sequence 276552564660966 last index15678813119626770 last update ) 26-08- 2008 Größe in Dezimalstellen C149/C139/C134/ C132 C152

22 Lehmer five grafiikonja

23 Milyen értékeket vesz fel az s(n) függvény? •Végtelen sok olyan érték van, amit nem vesz fel. (Erdős P. 1936.) •Minden páratlan értéket felvesz, ha a páros számokra vonatkozó Goldbach- sejtés igaz.

24 h(n)=s(n)/n hányadosról A h(n)=s(n)/n hányadosról •h(n) akármilyen kis poztív értéket felvehet, ha n elegendően nagy prímszám •Belátható, hogy h(n) akármilyen nagy értéket felvehet. Legyen n=a! Ebből látható, hogy h(n) akármilyen nagy értéket felvehet. Gombos László A sorozatról című, a POLYGON 1998. 2. számában megjelent cikkében bebizonyította, hogy h(n) értékei a számegyenesen mindenütt sűrűn helyezkednek el.

25 Egy sejtés A problémát Marc Deléglise a közelmúltban már megoldotta. A keresett határérték a ] 0,2474; 0,2480[ intervallumba esik.

26 Nyitott kérdések az s(n) függvénnyel kapcsolatban •van-e bármilyen n szám, amelyre s(n)= n-1? kettő hatványok ilyenek, nem tudjuk van-e más? A kettő hatványok ilyenek, nem tudjuk van-e más? •van-e bármilyen n szám, amelyre s(n)= n+1? Tudjuk, hogy páros n-re nem teljesül.

27 A S(n) és s(n) függvények egy összehasonlítása Az szám pozitív osztóinak összege: A szorzat tényezőit felírhatjuk mértani sorozatok összegeként: A képlet segítségével σ(n)-ből meg tudjuk határozni n-t!

28 gyorsan nő. Tetszőleges p i esetén k i értékeit növelve Pl.: σ (n) = 8736 Tekintsük a d = képletet! Legyen p 1 = 2, k 1 = 1 esetén d = 3, mivel 3| 8736, ezért 2| n; k 1 = 2 esetén d = 7, mivel 7| 8736, ezért 2 2 | n; k 1 = 3 esetén d = 15, mivel 15 nem osztója 8736- nak, ezért 2 3 sem osztója n-nek; Ugyanezen gondolatmenet alapján kiszámítható,hogy n osztói lesznek még 5 3 és 7. Vagyis n = 2 2 · 5 3 ·7 = 3500

29 Az s(n) függvénynél nincsenek ilyen gyors eljárások. Nem tudjuk ilyen egyszerűen eldönteni s(n) értékének ismeretében,hogy egy prím szerepel-e n-ben vagy nem.

30 Egy adott s(n) esetén milyen határok között kereshetjük n értékét? -Bármely n = prím szám esetén s(n) = 1, és fordítva -n = p 2, ahol p prím, ekkor s(n) = 1+p A két egyenletből kifejezve: n=(s(n)-1) 2 Tehát egy adott s(n) érték esetén n ≤ (s(n)-1) 2 Ez pl. azt jelenti, hogy egy 64 jegyű s(n) esetén n nem lehet nagyobb 128 jegyűnél. Hol lehet n?

31 A próbálkozások csökkentése •Ha s(n) páros, akkor s(n)=σ(n)-n miatt - n páratlan négyzetszám, vagy - n=2 k m, ahol m nem négyzetszám. •Ha s(n) páratlan, akkor - n páratlan nem négyzetszám, vagy - n=2 k m, ahol m négyzetszám.

32 Mindezek a korlátozások azonban alig csökkentik a próbálkozások számát, idejét. Ha a 128 jegyűekig minden n-t végig kellene próbálni, hogy az adott s(n) érték tartozik-e hozzá, akkor ez igen sokáig tartana. Pl. ha egy számítógép minden n esetén átlagosan 0,00001 s alatt döntené el, hogy hozzá az adott s(n) tartozik-e, akkor ez több, mint 10 100 évig tartana.

33 •Minden olyan művelet, ami egyik irányban viszonylag gyorsan kiszámolható, de ez a számítás visszafele nagyon sok ideig tartana alkalmas lehet titkosításra. •Ilyen tulajdonsággal rendelkezik az n s(n) függvény is.

34 Alkalmazhatóság: ún. borítékolt üznetek titkosítása Olyan üzenet kódolásaára lehet ez alkalmas, amikor az elküldés időpontjában még nem akarjuk, hogy a partner el tudja azt olvasni. Pl. ha két fél interneten sakkozik és egyik a lépését borítékolni akarja. A kódolás lépései a következők: 1.: A szöveget ASCII kód segítségével átírjuk egy számmá (ez könnyen megtehető, mivel az ASCII kód minden karakterhez egy számot rendel hozzá). Legyen ez a szám n. 2.: n számhoz ezután a program segítségével rendeljük hozzá az s(n)-jét. Ezt az s(n)-t küldjük el, mint kódolt üzenetet.

35 Egy példa a borítékolásra Kódolandó üzenet: A2rőlB3ra Torzított üzenet: szeretlek te A2rőlB3ra édes mostoha ASCII kóddal kódolt alakja: 1151 221011 1410111 610810 110732 116101 326550 114245 108665 111497 322331 001011 153210 911111 511611 110497 1151 221011 1410111 610810 110732 116101 326550 114245 108665 111497 322331 001011 153210 911111 511611 110497 A fenti szám s(n)-je: 3837 403370 471969 286544 954134 795272 191872 899415 456620 967898 776770 220474 300551 934442 249017 566943

36 Borítékbontás: Elküldjük az n-t, azaz az eredeti szöveget. A partner könnyen ellenőrizheti, hogy ehhez a n-hez valóban az előzőleg elküldött s(n) tartozik-e. (Tehát időközben nem tudunk változtatni az üzeneten.)

37 Megfejtendő üzenet www.petofi-bhad.sulinet.hu s(n) = 11 796 893 749 241 036 845 717 932 775 178 816 228 370 307 360 535 662 842 886 n= ?

38 Felhasznált irodalom: K. Guy Richard: Unsolved Problems in Number Theory: [1.] B4 Amicable numbers [2.] B6 Aliquot sequence [3.] B7 Aliquot cycles [4.] B11 Solutions of mσ(m) [5.] http://www.aliquot.de/lehmer.htm [6.] http://www.aliquot.de/aliquote.htm [7.] http://amicable.homepage.dk/apstat.htm [8.] Elemente der Mathematik 1973.: (83-87. o.) Pál Erdős: Über die Zahlen der Form σ(n)-n und n-φ(n) [9.] http://www.wurzel.org: Vollkommenende Zahlen

39 Köszönöm a figyelmet!


Letölteni ppt "A σ(n)-n = s(n) számelméleti függvény vizsgálata és gyakorlati alkalmazása Az Út a tudományhoz program keretében közreműködtek: Győrffy Lajos Szudi László."

Hasonló előadás


Google Hirdetések