Mechanikai rezgések, rezonancia előadás I. éves orvostanhallgatóknak Maróti Péter 2012. szept. 24.

Az előadások a következő témára: "Mechanikai rezgések, rezonancia előadás I. éves orvostanhallgatóknak Maróti Péter 2012. szept. 24."— Előadás másolata:

1 Mechanikai rezgések, rezonancia előadás I. éves orvostanhallgatóknak Maróti Péter 2012. szept. 24.

2 Felkészülés Ajánlott olvasnivalók Budó Á.: Kísérleti Fizika, Tankönyvkiadó, Budapest 1965. Holics L.: Fizika, 1. kötet Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1986. Damjanovich S, Fidy J, és Szöllősi J.: Orvosi biofizika, Medicina, Budapest, 2005. Fercher A.F.: Medizinische Physik, Springer, Wien, New York 1999. Maróti P. Biomechanika, Doktori (PhD)-kurzusok fizikából (szerk.: Hevesi I.), 299-371, Szegedi Egyetemi Kiadó, Szeged, 2012. Maróti P. és Laczkó G.: Bevezetés a biofizikába, JATEPress Szeged (több kiadás). Maróti P. és Tandori J.: Biofizikai feladatok, JATEPress, Szeged 1996. Maróti P., Berkes I. és Tölgyesi F.: Biophysics Problems. A textbook with answers, Akadémiai Kiadó, Budapest 1998. Előadás anyaga (lásd az intézet honlapjára felkerülő segédanyagokat) Minden tudás annyit ér, amennyit belőle alkalmazni tud. A probléma- ill. feladatmegoldás fontos: kérem, hogy aktivizálja magát a szemináriumi foglalkozásokon.

3 Az emberi test mechanikai rezgései, sajátfrekvenciái és helyettesítő mechanikai modelljei, (Voigt- testek), amelyek hálózatot képeznek. Voigt-test: párhuzamosan kötött rugó és csillapítás. Akárhol meglököm, az egész test (mint a miskolci kocsonya) rezegni kezd.

4 Az emberi testben felléphetnek - saját (rezonancia) rezgések, amelyek az alacsony frekvenciák tartományába esnek és - kényszerrezgések, amelyeket külső (periodikus) kényszer vált ki, és rezonanciába (együttrezgésbe) kerülhetnek a sajátrezgésekkel. A rezgő testrészek mechanikai csatolásban állnak egymással. Rugalmas (elasztikus) és csillapító (viszkoelasztikus) elemek kapcsolódnak bonyolult hálózattá. Ezeknek fontos orvosi, egészségügyi következményei vannak. Alapvető fontosságú a fizikai alapok (definíciók, törvények, összefüggések) megértése, hogy ezekre támaszkodva tudjon az orvos - diagnosztizálni, - hatékony terápiát alkalmazni és - mérnökökkel (legalább) szót érteni.

5 A mechanikai rezgések orvosi, egészségügyi vonatkozásai, a szív ritmikus mozgása

6 Mechanikai rezgések okozta panaszok fejfájás beszédbeli nehézségek állkapocs-fájdalmak mellkasi fájdalmak légzési nehézségek hasi fájdalmak derékfájás székelési inger vizelési inger J.R. Cameron és J.G. Skofronick, 1978

7 A mechanikai rezgések orvosi, egészségügyi vonatkozásai, kopogtatás (percussio) és hallgatózás (auscultatio) L. Auenbrugger már 1761-ben bevezette az orvosi vizsgálatokba a beteg kopogtatásának (perkusszió) módszerét, amelynek során a rezgésbe hozott szövetrészek sajátrezgéseiből (intenzitás és hangmagasság) lehet kóros elváltozásokra következtetnie a gyakorlott és érzékenyített hallású orvosnak. Az ő nevéhez kötődik a kopogtatás (percussio) és a hallgatózás (auscultatio) eljárásainak meghonosítása, mely a belgyógyászat mai napig használt diagnosztikai módszere.

8 A mechanikai rezgések orvosi, egészségügyi vonatkozásai, a tremor A tremor valamely testrész, leggyakrabban a felső végtag akarattól független, ritmikus, oszcilláló mozgása. Klinikai megjelenése alapján több mint tízféle tremor különíthető el, a leggyakoribb a fiziológiás, a fokozott fiziológiás, az essentiális (ET), és a Parkinson-betegségben (PT) megjelenő tremor. Az egyes tremorok frekvenciatartománya karakterisztikus, de egymást átfedhetik: < 4 Hz a cerebellaris és Holmes-tremor, 4 – 6 Hz közé esik a PT 80%-a, az ET-ok 50%-a, 6 - 11 Hz physiológiás tremor, az essentialis tremorok 50%-a, a Parkinson-kórban megjelenő tremor 20%-a és > 11 Hz az orthostaticus tremor.

9 A mechanikai rezgések orvosi, egészségügyi vonatkozásai, intervenciós radiológia, lithotripsia Endoszkópos retrográd kolangiopankreatográfia. Nagyméretű kő a ductus choledochusban. A ductus choledochus kő az intraendoszkópos mechanikus litotriptor kosarában. Kőzúzás intraendoszkópos mechanikus litotriptorral. A kosár megkisebbedett.

10 Piezoelektromos lithotriptor Piezoelektromos elemek (kristályok) gömbfelület mentén elrendezve Az összezúzandó kő a fókuszban A lökéshullámok időbeli lefutása a lithotriptorban. A nyomás nagyon rövid (kb. 30 ns) idő alatt hatalmas értékre (kb. 40 MPa) emelkedik, amelynek a kő nem tud ellenállni, és elporlad. Lökéshullámok

11 A mechanikai rezgések orvosi, egészségügyi vonatkozásai, lézeres szemműtétek, KO Ha lézerrel szaruhártya-szobrászatot (ablációt) végeznek el, elkerülhetetlenül nagy intenzitású mechanikai lökések (hullámok) keletkeznek, és verődnek vissza a szem belsejének zárt üregében, amelyek az egészségre károsak lehetnek (erről szívesen elfeledkeznek a „dobja el a szemüvegét” program munkatársai). Hasonló rezgéssel, ill. az ezzel együttjáró lökéshullám hatásaival kell számolni a koponyába zárt, alapvetően folyékony halmazállapotú agyban, amikor kivülről mechanikai behatás (tartós rázkódás (pl. munkagépen), vagy hirtelen ütés (baleset, ökölvívásban KO)) éri.

12 A mechanikai rezgések orvosi, egészségügyi vonatkozásai, csont-, porc-, ízületi sérülések A felugró, majd a talajra visszaérkező sportoló (pl. kosár- és kézilabdázó) testében (csillapodó) rezgések ébrednek, amelyek igénybe veszik az emberi test tartó- és mozgatószerkezeteit. Az Achilles-ín krónikus túlterhelése A szalag-sérülések a térdízület megcsavarodásával és oldalra billenésével, esetleg ugrásból nyújtott térddel való érkezéskor, túlfeszüléssel következik be leggyakrabban. Fáradásos törés következik be, ha lábszárcsontokra ható erők meghaladják a csontok teherbírását, így állományukban repedés keletkezik.

13 A mechanikai rezgések orvosi, egészségügyi vonatkozásai, munkaegészségügy A 0-8 kHz frekvenciájú mechanikai rezgések a test szöveteit, alacsonyabb frekvenciák esetén pedig az egész testet rezgési állapotba kényszerítik (pl. pneumatikus munkagépek, járművek rezgései, amelyeket a padlózat is közvetít). Ezek hatásai: látási zavarok, szövetelváltozások, ideg- és érzészavarok, csont- és ízületi károsodások. A mechanikai rezgések között különösen rombolóak és súlyos károsodáshoz vezetnek az infrarezgések (0-16 Hz). A rezgéseknek kitett munkavállalóknál egészségi és biztonsági kockázatokat jelent a a) kéz/kar rezgése: különösen érrendszeri, csont-, izom-, ízületi, illetve idegrendszeri elváltozásokat okozhat (a napi megengedett expozíciós határérték napi 8 órás referencia-időszakra vonatkoztatva, négyzetes középértékben (rms-ben) mérve 5 m/s 2 (22/2005. (VI. 24.) EüM rendelet), b) az egész testre ható rezgés: gerincelváltozások léphetnek fel (a napi megengedett expozíciós határérték 8 órás referencia-időszakra vonatkoztatva 1,15 m/s 2 ). Külső mechanikai rezgéseknek (légkalapácsnak) kitett kőtörők első szisztematikus orvosi vizsgálatait A. Hamilton végezte 1918-ban.

14 A mechanikai rezgések orvosi, egészségügyi vonatkozásai, természetgyógyászat, ezotéria „biorezonancia”, lökéshullám terápia, stb. Nem kell szükségszerűen azt a látszatot kelteni, hogy értjük mi van a megfigyelések hátterében. Őszintébb azt mondani, hogy - nem ismerjük a hatásmechanizmusokat, de - kizárhatunk bizonyos „fizikai” elveken alapuló értelmezéseket.

15 Definíciók. Szigorú (matematikai) értelemben rezgésnek nevezünk minden olyan fizikai jelenséget, amely az idővel szakaszosan (periodikusan) ismétlődik. Itt g(t) a fizikai mennyiségnek a t-edik időpontban felvett értékét jelenti. A periódusidő (rezgésidő, T) az a legkisebb időtartam, amelynek elmúltával a fizikai mennyiség ismét ugyanezt az értéket veszi fel. A reciprokát frekvenciának hívjuk: f = 1/T, dimenziója 1/idő, mértékegysége 1/s = 1 Hz. Tágabb értelemben rezgésről beszélünk akkor is, ha a fizikai mennyiségnek időbeli ismétléses jellege felismerhető. Pl. a csillapított rezgés szigorúan nem periodikus, mégis a rezgések közé soroljuk (ha a csillapítás az aperiodikus határeset alatti). Felosztások. A g(t) függvény konkrét matematikai alakja szerint sokféle rezgés lehet. Harmonikus rezgés (szinuszrezgés): Anharmonikus rezgések: a fizikai mennyiség egyidejűleg véges (lásd pl. Lissajous-görbéket) vagy végtelen sok (lásd a Fourier-tételt) harmonikus rezgést végez. Típikus példák a relaxációs (fűrészfog) rezgések. Szabad és kényszerített rezgések

16 Harmonikus rezgő mozgás Kinematikai leírás. A hely-idő összefüggésből indulunk ki, és ebből leszármaztathatók más mennyiségek is. A kitérés (helykoordináta): A sebesség: legnagyobb a kezdőponton való áthaladás pillanataiban (t = 0, T/2, T,...) és zérus a fordulópontokban (t = T/4, 3T/4,...). A gyorsulás: a kitéréssel arányos, és ezzel ellentétes irányú, vagyis mindig a kezdőpont felé mutat.

17 Harmonikus rezgő mozgás Dinamikai leírás. A mozgás gyorsulás-idő függvényét behelyettesítjük a dinamika alapegyenletébe (Newton II. törvényébe): A direkciós (irányító) erő: A harmonikus rezgő mozgás rezgésideje:

18 A harmonikus rezgő mozgást végző test energiája Az erőtér konzervatív, a teljes mechanikai energia megmarad:

19 Feladatok harmonikus rezgőmozgásra 1. Egy vízen úszó fahasábot egy kissé lenyomjuk, majd magára hagyjuk. Határozzuk meg a fel-le mozgó fadarab rezgésidejét! 2. A négykerekű vasúti kocsik rugói a síncsatlakozásoknál kapott lökések következtében rezgésbe jönnek. A rugók 1 N erő hatására 1,6 μm-t nyomódnak össze, a kocsi tömege 22 tonna, a síndarabok hossza 18 m. Milyen menetsebesség esetén legnagyobb a rugók kirezgése (a kocsi „zötykölődése”)? 3. A 100 kg tömegű bedobó kosárlabdázó felugrásnál a tömegközéppontját 1 m magasra emeli, a talajra való visszaérkezésekor a sebességét 10 cm (rugalmas landolás) ill. 1 cm (tehetetlen, „krumplis-zsák”-szerű esés) hosszú úton fékezi le. Mekkora átlagos erő ébred testének tartószerkezetében? 4. A középfül csontjainak (kalapács-üllő-kengyel) szerepét egy olyan modell-lel közelítjük, amelyben az m = 2 mg tömegű csontocskákat egy k 1 = 72 N/m és egy k 2 = 7,2 N/m direkciós erejű rugóval a dobhártyához ill. az ovális ablakhoz erősítjük. Mekkora lesz a frekvenciája ennek a rendszernek?

20 Harmonikus rezgések összetevése 1.Egy egyenesbe eső (egy irányú) rezgések összetevése. a) A frekvenciák megegyeznek Az eredő rezgés az egyes rezgések algebrai összege: Speciális esetek: - azonos fázisú rezgéseknél (együttrezgésnél, α 0 = 0) az amplitúdók összegződnek: A = A 1 + A 2, és az eredő fázis az összetevő rezgések fázisával egyezik meg α = 0. A rezgések (ill. később látjuk, a hullámok interferencia révén) erősítik egymást. - ellentett fázisú rezgéseknél (α 0 = π) az amplitúdók kivonódnak: A = és az eredő fázisa a nagyobb amplitúdójú rezgés fázisával egyezik meg. Ha A 1 = A 2, akkor A = 0, vagyis a rezgések kioltják egymást (hasonlóan, mint ahogy az ilyen hullámok teszik, lásd később a (fény)hullámok interferencia-jelenségeit). Alapelv: a rezgések egymástól FÜGGETLENÜL fejtik ki hatásukat, azaz, mintha a másik ott sem lenne.

21 Harmonikus rezgések összetevése b) A frekvenciák különböznek: Az eredő rezgés most nem hozható alakra, és ezért nem harmonikus rezgés, sőt általában nem is periodikus folyamat, csak akkor, ha a frekvenciák aránya (ω 1 /ω 2 ) racionális szám. Ekkor ω 1 = n 1 ·ω és ω 2 = n 2 ·ω (n 1 és n 2 relatív prím egész számok), és az függvény értéke T = 2π/ω időközönként ismétlődik.

22 Harmonikus rezgések összetevése, a lebegés Legyenek megegyezőek az amplitúdók, közel megegyezőek a frekvenciák és nulla a fáziskülönbség! Az eredő rezgés A lebegési idő

23 Lebegés Az eredő rezgés amplitúdója periodikusan, a lebegési frekvenciával (a két közel egyenlő frekvencia különbségével) változik, LÜKTET. Alkalmazás: hangtan (pl. hangszerek hangolása, mert kis elhangolódás is észrevehető a lebegés jelensége miatt).

24 Egymásra merőleges rezgések összetevése, Lissajous-görbék A frekvenciák megegyeznek. A rezgés eredője általában „elliptikus rezgés” (ellipszisben poláros rezgés) A frekvenciák különböznek.

25 Példa: ellipszisben poláros rezgés Kezdőfázis α xyGörbe egyenlete Ábrázolás 0o0o A· sin(ωt)B· sin(ωt) 90 o A· sin(ωt)B· cos(ωt) 180 o A· sin(ωt)-B· sin(ωt) 270 o A· sin(ωt)-B· cos(ωt) x x x x y y y y

26 Példa: ellipszisben poláros rezgés, bármely fázisszögre Az időt elimináljuk (sin ωt és cos ωt helyére x kifejezéseit írjuk): A B x y Ez egy másodrendű görbének, egy ellipszisnek az egyenlete. Az x,y koordináták csak véges, legfeljebb A, ill. B értékeket vesznek fel. Két, egymásra merőleges, egyenlő frekvenciájú harmonikus rezgés eredője elliptikus rezgés. Az ellipszis 2A és 2B oldalhosszúságú téglalapban fekszik, centruma a két rezgés kezdőpontjában van.

27 Rezgések felbontása harmonikus rezgésekre, Fourier tétele Fourier-féle tétel: ha g(t) az idő periodikus függvénye, azaz akkor egy és csakis egyféleképp szinusz- és koszinusz-függvények összegére bontható, amelyben az összetevők (felharmonikusok) amplitúdói (A i és B i, i = 0,1,2,...) különbözőek és a frekvenciái egy alapfrekvencia (ω) egész számú sokszorosai: ω i = i·ω (i = 1,2,...): g(t) = A 0 /2 + A 1 cosωt + A 2 cos2ωt +...+ B 1 sinωt + B 2 sin2ωt +... ahol az A i és B i együtthatókat a következő integrálok határozzák meg:

28 Példa Fourier-analízisre: négyszögrezgés

29 Csillapított rezgő mozgás F 1 = -k·xF 2 = -η·v Rugóerő: Súrlódási (fékező) erő:

30 Voigt-test periodikus mozgása A mozgás csillapodó amplitúdójú rezgés: A frekvenciát a csillapítás eltolja (a súrlódás csökkenti a frekvenciát): A súrlódás kicsiny

31 Voigt-test aperiodikus mozgása, κ > ω 0 Az x(t = 0) = 0 és v(t = 0)= v 0 kezdőfeltételekhez tartozó analitikai megoldás A mozgás aperiodikus, mert a csillapítás (súrlódás) olyan nagy, hogy a rendszer csak az egyik irányban tér ki, és csak (elvileg) végtelen hosszú idő elteltével fogja az egyensúlyi helyzetét újra felvenni. Példa: nagy viszkozitású folyadékban (pl. mézben) kitérített inga mozgása. ahol sh (x) az ú.n. szinusz- hiperbolikusz függvény: A súrlódás nagy

32 Kényszerrezgések Ha a rendszerre tartósan egy külső, periodikusan változó („gerjesztő”) erő is hat, akkor az kényszerrezgést fog végezni. A hozzá tartozó mozgásegyenlet a csillapított rezgésnél megismert egyenletben kiegészül a periodikus gerjesztést kifejező erővel: amelynek általános megoldása κ < ω 0 (kis csillapítás) esetében ahol Periódikus tag (rezgés)Átmeneti, csillapodó tag, (elég hosszú) idővel eltűnik.

33 Rezonancia AmplitúdóFázis Minél kisebb a csillapítás, annál élesebb (nagyobb amplitúdójú) a rezonancia. Határesetben ez ú.n. „rezonancia- katasztrófához” vezethet. Minél kisebb a csillapítás, annál élesebb a fázisváltás a rezonancia-frekvenciánál. Rezonanciánál π/2 a fáziskülönbség a gerjesztés és a kényszermozgás között, azaz egyirányba esnek. csillapítás

34 Feladatok csillapított rezgésre és rezonanciára 1. Írja fel a sorosan kapcsolt rugóra és csillapítóra erősített test mozgásegyenletét (Maxwell-modell)! 2. Mi az oka a „Lépést ne tarts!” vezényszónak, amikor katonai menetoszlop hídon halad át? 3. A belvárosi hídra egy szúnyog száll, és a lábával a rezonanciafrekvencián ütögeti a hidat. A tapasztalat szerint a híd nem fog leszakadni, rezonancia-katasztrófa nem következik be. Miért?

35 Egyéb feladatok 1) Egy gépkocsi tömege terheletlenül 800 kg. 5 személy (500 kg) beülésével a karosszéria 6 cm-t süllyed. Mennyi az autó rezgésideje üresen és utasokkal megterhelve? 2) A járást a Weber testvérek (1836) a nem terhelt láb fizikai ingaként való viselkedéseként fogták fel, azaz ezen láb izomzatának teljes passzivitását tételezték fel a hátulról előre való lendítés során („lógó láb” koncepciója). Mekkora az s = 0,8 m lépéshossz esetén a járás sebessége, ha az l = 1 m hosszúságú szabad lábat a csípő mint tengely körül mozgó fizikai ingának tekintjük? 3) Demonstráljuk számítógépes grafikai eljárásokkal a rezgések összetevésének fentebb tárgyalt elemi szabályait! Konstruáljunk egyszerűbb Lissajous-görbéket! 4) Az egységnyi magasságú „háromszög-rezgés” Fourier-sora Érzékeltessük ezt számítógépes grafikai eljárással (ami messze nem matematikai erejű bizonyíték, csak „vizuális inspekció”).