A káosz olyan mozgás, mely - szabálytalan, nem ismétli önmagát, nem periodikus - előrejelezhetetlen, érzékeny a kezdőfeltételekre, hosszútávon valószínűségi.

Az előadások a következő témára: "A káosz olyan mozgás, mely - szabálytalan, nem ismétli önmagát, nem periodikus - előrejelezhetetlen, érzékeny a kezdőfeltételekre, hosszútávon valószínűségi."— Előadás másolata:

1 A káosz olyan mozgás, mely - szabálytalan, nem ismétli önmagát, nem periodikus - előrejelezhetetlen, érzékeny a kezdőfeltételekre, hosszútávon valószínűségi - szabályos a fázistérben, fraktálszerkezetű Mérőszámok: h > 0 > 0 2>D 0 >1 Ezek a tulajdonságok és az új mérőszámok értéke mind a Newton-egyenletből következik. Az eddigiek összefoglalása:

2 Milyen rendszerben nem lehet káosz ? Semmilyen lineáris rendszerben nem lehet (még akkor sem, ha nagyon sok változója van). Nem lehet egydimenziós gerjesztetlen mozgásokban (még akkor sem, ha az erőtörvény nemlineáris). Számunkra a differenciálegyenletek legfontosabb vonása az, hogy lineáris-e!

3 Milyen rendszerben lehet káosz ? Disszipatív eset: Mely egydimenziós gerjesztett mozgás, vagy összetettebb. Azaz, legalább 3 elsőrendű autonóm differenciálegyenlet írja le. A d 2 x/dt 2 = a(x, dx/dt, cos(Ωt)) egyenlet másképpen: dx /dt=v, dv/dt=a(x,v,cos(Φ )), dΦ/dt= Ω, vagyis ha a fázistér legalább 3 dimenziós. Az ilyen rendszer még egyszerű! Példa: gerjesztett anharmonikus oszcillátor

4 A káosz kialakulása Jellemzően bifurkációkon keresztül történik, ha egy paramétert változtatunk. Láttuk, bifurkáció csak nemlineáris rendszerben fordulhat elő. Káosz ott, ahol az attraktor nem néhány izolált pontból áll.

5 Milyen rendszerben lehet káosz ? Konzervatív eset: Melyben a független megmaradó mennyiségek száma kisebb a helykoordináták (a szabadsági fokok) f számánál. Példák: Kepler-probléma: f=2, E, N állandó -> nem kaotikus Anizotróp Kepler: f=2, E állandó -> kaotikus. A bolygómozgás egy szabálytalan alakú égitest körül kaotikus lenne! Korlátozott 3-test probléma: f=2, E állandó -> kaotikus (Poincaré) Szimmetrikus súlyos pörgettyű: f=3, E, N z, N z’ állandó -> nem kaotikus Aszimmetrikus súlyos pörgettyű: f=3, E, N z állandó -> kaotikus (Kovalevszkája)

6 A káosz rövid története A névadók: A nagy felfedező: Gyökerek: James Yorke (1941-) Chaos:1975 Benoit Mandelbrot (1924-2010) Fractals: 1975 Japan Price, 2003 Edward Lorenz (1917-2008) Lorenz-modell: 1963, kaotikus attraktor, „a légkör kaotikus” Henri Poincaré (1854-1912) Égi mechanika kaotikus:1892 Szonja Kovalevszkája (1850-1891) Az aszimmetrikus pörgettyű kaotikus: 1888

7 A káosz természetfilozófiai tanulsága A Newton-egyenlet (minden diff-egyenlet) determinisztikus, nincs benne zaj-tag, nem stochasztikus diff-egyenlet. Laplace 1814: „Egy értelmes lény, aki egy adott időpillanatban ismerné a természetet mozgató összes erőket és az azt alkotó minden létező egymáshoz viszonyított helyzetét…, egyetlen formulában foghatná át az Univerzum legnagyobb tömegeinek és legkönnyebb atomjainak mozgását: semmi sem lenne bizonytalan számára: mind a múltat, mind a jövőt egyszerre látnák szemei.” A káosz arra tanít, hogy kétféle determinizmust érdemes megkülönböztetni: Elvi determinizmus: végtelen pontosan megadott kezdőfeltétellel pontos végállapotot lehet meghatározni Gyakorlati determinizmus: kis pontatlansággal megadott kezdőfeltétel mellet a hosszú idő után beálló végállapotot is még kis (de nagyobb) pontatlansággal meg lehet adni.

8 Mind a szabályos mind a kaotikus mozgás elvi szinten determinisztikus, de gyakorlati szempontból csak a szabályos mozgás determinisztikus. A kaotikus mozgás gyakorlati szempontból nem determinisztikus. Ezért hívják ezt a jelenséget determinisztikus káosznak. A káosz átmenet a szabályos mozgás és a zaj között. Determinisztikus az egyenlete, de valószínűségi viselkedést mutat. A káoszt nem külső hatások, hanem a belső dinamika, az állandósult instablitás okozza. Kaotikus rendszerekben a pálya, trajektória fogalma értelmetlenné válik az előrejelzési idő eltelte után. Hosszabb időkre csak a valószínűségi leírás értelmes. Ennyiben hasonló a helyzet a kvantummechanikáéhoz, de a káosszal nem jár új alapegyenlet (a Newton-egyenlet változatlan), ezért a káosz nem hoz paradigmaváltást. Hoz viszont szemléletváltást.

9 A káosz alkalmazási több tudományterület jellege teljesen megváltozott a káosz hatására Részletesebben: cikksorozat a Természet Világában 2002-2005, http://www.termeszetvilaga.hu/fizika_eve/fizika/kaosz.html Mérnöki tudományok szabálytalan rezgések (szerszámgépek) kerekek berezgése (bevásárlókocsi első kereke) áramkörök begerjedése a káosz szabályozása, periodikussá tétele Kémia időben oszcilláló reakciók kaotikus időfüggésűekké válhatnak Biológia populációk változása (sáskajárás, molyhos lepke) járványok időfüggése a szívritmus egészséges állapotban kissé kaotikus

10 A helyes előrejelzés valószínűségi: megadja a várható szórást, es annak többszöröseit is. Ez következik az ensemble előrejelzésből is. Ahol különösen nagy a szórás, oda mérőrepülőgépet célszerű küldeni. Meteorológia A légkör sem jelezhető előre. A káosszal való analógia alapján ma már az ún. ensemble (együttes) előrejelzést használják. Ebben 50 közeli kezdőfeltételből indított szimulációt futtatnak az egész Földre. Azokban a pillanatokban és helyeken, ahol az eredmények nagyon eltérnek (ahol nagy a Ljapunov-exponens) ott nagyobb bizonytalansággal adják ki az előrejelzést, az így megbízhatóbbá vált. 4-5 napnál hosszabb megbízható előrejelzés elvileg sem várható: t e =3-5 nap.

11 Vajon melyiket tudjuk könnyebben megjósolni? A napot holnap eltakaró felhőt, vagy a Napot száz év múlva eltakaró Holdat? Melyik jelezhető előre?

12 Vajon ki tudja megmondani, hogy ez a napfogyatkozás a felhőktől látható lesz-e? Akkor tehát a Naprendszerben minden előrejelezhető? A napfogyatkozások időpontja és helye egyszerű programokkal is nagyon pontosan kiszámítható. Teljes napfogyatkozás Magyarországon 1999. augusztus 11-én volt utoljára, s 2081. szeptember 3-án 7 óra 51 perc 8 másodperckor lesz legközelebb (É.sz. 47,3° K.h 19.05°, 120m magasságon számítva). (Lásd: http://saros139.csillagaszat.hu/eclipse/HE20.htm)

13 Csillagászat A Voyager-I felfedezte (1981), hogy a Hyperion, a Szaturnusz egyik szivar alakú holdja szabálytalan fényvisszaverődést mutat. A Hyperion forgása kaotikus. Utána szimulálással felfedezték: a Plútó is kaotikusan mozog. Kiderült, hogy a belső bolygók is kaotikusak, köztük a Föld. A pálya stabil, de a pálya elfordulása és a forgástengely „billegése” szabálytalan. Az előrejelzési idő 5 millió év. A Föld típusú bolygók ütközése 1% valószínűségű 3.3 milliárd év múlva A Mars forgástengelye nagy kilengéseket végez, akár +- 30 fokot is változhat néhány évmillió alatt. Ez lehet a magyarázata a sarki jégsapkák időleges elolvadásának (a vízfolyásoknak). A Hold stabilizáló hatása nélkül a Föld forgástengelye is ennyire kilengene. Az exobolygók nagy része kaotikus lehet, s ezeken az élet valószínűsége kicsi.

14 A kisbolygók mozgása kaotikus. A kisebbek jelennek meg hullócsillagokként. A Földnek a nagyobbakkal való találkozása kis valószínűségű, de nem lehetetlen még év tizedeken belül sem. Az Apóphisz (az ókori Egyiptom káosz istene) egy 300 méter átmérőjű kisbolygó. 2004-ben 2.7% valószínűséget számoltak egy 2029.-ben bekövetkező ütközésre. Ma már a számítások csak 1:45000-t mondanak. Ez az „időfüggés” maga káoszra utal. Látjuk, hogy az égitestek mozgása is kaotikus, csak más skálán. Minden rendszernek más az előrejelzési ideje!

15 Keveredés (szennyezések terjedése) A közegtől anyagától eltérő anyag eloszlása az áramlás hatására Legyen az áramlás v(r,t) sebességtere ismert, s keressük ebben az áramlásban egy megfestett részecske (szennyező szemcse) r(t) pályáját. Feltesszük, hogy a részecske nagyon kicsi, mely általában nagyon jó közelítés. Ekkor azonnal felveszi a folyadék sebességét azon az r(t) helyen, ahol éppen található. Mozgásegyenlete ezért d r (t) / d t = v(r(t),t). Ez egy elsőrendű differenciálegyenlet, a kezdőfeltétel: r(0)=r 0. A kezdősebességet nem kell ismernünk, mert megegyezik a folyadékéval.. Ez az egyenlet nem Newton-egyenlet (mely másodrendű), hanem Arisztotelész-i egyenlet. Ebben az összefüggésben ez a korrekt mozgásegyenlet.

16 Szálas szerkezet alakul ki. Minden egyes festékcsepp kaotikus pályán mozog. A kezdetben közeli pontok gyorsan eltávolodnak. Szabad szemmel az exponenciális távolodás (a pozitív Ljapunov--exponens). Következmény: 1. a fázistér megegyezik a valódi térrel, a folyadék terével. Minden látható benne, amit egy fázistérben lehet látni. Most le is fényképezhető. 2. a részecskék mozgása általában kaotikus. Kaotikus halmazok és sokaságaik megfigyelhetők a folyadékban.

17 Fukushimai radioaktív aeroszol sodródás Haszpra Tímea

18 Bóják sodródása a Dunán a BME Vizgazdálkodási Tanszékkel A vizsgált Duna szakasz, Göd Bizonyos helyeken és időkben a Ljapunov-exponens pozitív -> káosz, ott erős keveredés

19 Térben kiterjedt rendszerek nemlineáris jelenségei Nemlineáris hullámok A lineáris hullámok mellett léteznek nemlineáris hullámok is. Ilyen például a szoliton, ami a cunamiban is fellép. Ezekre nem érvényes a szuperpozíció elve, és sebességük függ a A amplitudójuktól (A<H):

20 Instabilitások Egy adott térbeli elrendezés a paraméterek változására egyszercsak Instabillá válik, s új, struktúrált térbeli szerkezet alakul ki. Pl.: az alulról fűtött folyadékban eleinte semmilyen áramlás nem alakul ki, de egy kiritkus ΔT c felett kialakul egy térben szigorúan periodikus áramlás. Ilyenkor a „semmiből lesz valami”, analóg a bifurkációval, csak térbeli szerkezetváltozásra utal.

21 Magasabb hőmérsékletkülönbség esetén: Szabályos rácsozat folyadékból.

22 A henger körüli áramlásban közepes sebességek esetén Kármán-féle örvényút. Ez időben periodikus.

23 A rendszer instabilitások sorozatán egyre bonyolultabbá válik térben is és Időben is. Ezeken keresztül jut el a turbulenciához, mely a térben is és időben is legrendezetlenebb viselkedés. A káosz analogonja, de a káosznak nincs térbeli kiterjedése. Turbulencia

24 Időbeli jelenségek, kis szabadsági fokú rendszerek Térben kiterjedt rendszerek, nagy szabadsági fokú rendszerek nemlineáris rezgéseknemlineáris hullámok bifurkációinstabilitás bifurkáció-sorozatinstabilitás-sorozat káoszturbulencia A legfontosabb nemlineáris jelenségek és megfeleltetésük kizárólag időtől függő és térbeli kiterjedéssel is rendelkező rendszerekben. A bal oldali jelenségeket és így a káoszt is közönséges diff. egyenletek írják le. A jobb oldali jelenségeket így a turbulenciát is parciális diff. egyenletek írják le. A turbulencia nem káosz, bonyolultabb annál. (A társadalomnak nem ismertek az egyenletei, így nem is lehet se kaotikus, se turbulens.)

25 Kvantumkáosz Lehet-e kaotikus a kvantummechanika? A Schrödinger-egyenlet parciális egyenlet, de lineáris. Szoliton, instabilitás és turbulencia ezért nem jelenhet meg benne. A hullámfüggvény tehát nem mutathatja a térben is kiterjedt rendszerekre jellemző káosz-szerű jelenségeket. A klasszikusan kaotikus es nem-kaotikus rendszerek kvantált megfelelői között mégis van különbség, méghozzá az energiaspektrum jellegében. A nem-kaotikus esetekben az energiaszintek valamilyen szabály szerint követik egymást (a H - atomban pl. E n ~ 1/n 2 ), a kaotikus esetekben viszont (pl. anizotróp H-atom) az egymás utáni energiaszintek különbségéből semmilyen szabály sem olvasható le, az energiaszintek eloszlása véletlenszerű. Balázs N: Káosz és kvantummechanika, Természet Világa 128, 197-199 (1995)

26 Mi nem káosz/kaotikus ? Az egyszeri vagy néhányszori instabilitás (a feldőlő ceruza) film: A külső hatásból eredő zaj, pl. a Brown-mozgásban (a zajt, a molekulák mozgását szokás – Boltzmann óta – molekuláris káosznak is nevezni) A sok összetevőből álló, vagy egyenletekkel le sem írható rendszerek mozgása (így a történelem vagy a társadalom sem). A turbulencia és a légkör (ezek bonyolultabbak, mint a káosz; előrejelezhetetlenek, de az elörejelezhetetlenség a káosznak csak egyetlen vonása, egy másik: a fraktálság - alacsony dimenzióval - nem teljesül). A hétköznapi szóhasználatban a káosz: térbeli összevisszaság. A tudományban: időbeli szabálytalan mozgás. Ezek mind keverhetők: hívjuk fel a lehetséges félreértésekre a figyelmet! Káosz és társadalom

27 Kulturális vonatkozások Pillangó effektus Edward Lorenz 1972-ben előadást tartott a következő címmel: „Előrejelezhetőség: Okozhat-e tornádót Texasban egy brazíliai pillangó szárnycsapása?”. A Lorenz-attraktor alakja: A pillangóeffektus elnevezés Gleick könyvének szóhasználata alapján terjedt el, ráadásul abban a téves értelemben, hogy a kérdésre pozitív a válasz. Az előrejelezhetetlenség azonban korlátozott, csakis a kaotikus attraktoron áll fenn. A Lorenz-előadásban feltett kérdésre tehát csak akkor adható meg a válasz, ha el tudjuk dönteni, hogy a Brazíliából induló eredeti és a szárnycsapással odébbpöckölt mozgáspálya rajta van-e azon az attraktoron, amelyhez a texasi tornádó tartozik..

28 Erre már csak azért is kevés az esély, mert a déli és az északi félteke légtömegei között gyakorlatilag nincs kölcsönhatás. Ráadásul, ha egy pillangószárnycsapás kiválthat tornádót, akkor meg is akadályozhatja azt. A szélsőséges események statisztikai gyakorisága tehát nem nő a pillangó miatt; a hasonlat csupán a jelenség véletlenszerű viselkedését illusztrálja. A pillangó hatást a hétköznapi használatban úgy értelmezik, hogy a modern természettudomány szerint semmiben sem lehetünk biztosak, s minden mindennel összefügg. Ez nem igaz! Ráadásul mint láttuk, a káosz valószínűségi leírása tetszőlegesen pontossá tehető. Szaknyelven: a pillangóhatás a pozitív Ljapunov-exponens létezésének szimbolikus kifejezése. Semmivel sem több.

29 Film: S. Spielberg: Jurassic Park, 1993 A káoszkutató (Dr Ian Malcolm/ Jeff Goldblum): hibás értelmezés

30 Szindarab: Tom Stoppard: Árkádia 1993 http://mek.niif.hu/00200/00295/00295.htm Septimus, ha az ember megkavarja a tejberizst, a kanál dzsem körkörös piros csíkokban szétterjed; olyan, mint egy meteor képe a csillagászati atlaszomban. De ha visszafelé kavarja, a dzsem nem áll össze ismét. Sőt, a tejberizs rá se hederít, és ugyanúgy színeződik tovább rózsaszínűre, mint addig. Nem gondolja, hogy ez különös? Idézetek (a szerző helyesen adja vissza a káosz lényegét): - Elhisszük, hogy a természetet számokban írták? - El. - Akkor a maga egyenletei miért csak az ipari formákat írják le? - Nem tudom. - Ilyen eszközökkel Isten csak egy szekrényt tudott volna teremteni. Azok a dolgok, amikről az emberek verseket írnak - a felhők - a tűzliliom – a vízesés - meg ami egy csésze kávéban történik, amikor belemegy a tejszín – mindez csupa rejtély, éppolyan rejtélyes nekünk, mint amilyen az ég volt a görögöknek. Jobban meg tudjuk jósolni, hogy milyen események várhatók a galaxis peremén vagy az atommag belsejében, mint azt, hogy fog-e esni mához három hétre a nénikénk kerti ünnepélyén. Minden pillanat megteremti a következőnek a feltételeit, ezért megjósolhatatlan például az időjárás, mindig is megjósolhatatlan lesz.

31 Láthatjuk-e ha jön? Determinizmus, káosz, előrejelzés-egy új természettudományos paradigma társadalomtudományi vonatkozásairól, Replika, 1993. 11-12. szám Társadalomtudomány Sajátos: A szociológusok reakciója arra, hogy lehetett volna-e tudni a változások közeledtét:: Konklúziójuk: nem lehetett volna tudni, hiszen a társadalom –szerintük – kaotikus, azaz előrejelezhetetlen. Ez önámítás: azért egy valószínűségi kijelentést beleférhetett volna!

32 Más területeken is megrázó : A.Sokal, J. Bricmont: Intellektuális imposztorok, Posztmodern értelmiségiek visszaélése a tudománnyal Typotex, Bp. 2000 „Jean Baudrillard szociológus és filozófus a valóság- látszat-illúzó problematikájának tárgyalása alapján vált ismertté. … „ Idézet Baudrillard, 1994,-ből: „A kezdeti feltételek, az eredet szingularitások nem számítanak: minden a Zéró pont felé halad – amely önmaga is egy különös attraktor. … Komplex, metastatikus, virális rendszerek, bezárva az exponenciális dimenzióba (akár az instabilitás, akár a stabilitás dimenziójába), az excentricitásba és a fraktálok ollós paritásába, többé nem érhetnek véget.” Sokal és Bricmont (fizikusok) kommentárja: „Nem lehet nem felfigyelni a tudományos és áltudományos terminusok hemzsegésére – olyan mondatokban, melyek legjobb tudásunk szerint nélkülöznek minden értelmet.”

33 A káosz szó etimológiája "Kezdetben teremté Isten az eget és a földet. A föld pedig kietlen és puszta vala” Mózes 1.1-2 „ … v’Ha-aretz hayta tohu va’vohu Genesis, 1.2 tohu ~ üresség, bohu ~ pusztaság? Karasszon István (Károli G. R. E): a tohuvabohu-ban benne rejlik a sumér istennő Tiamat (Tehom) neve, aki az ősóceán, az őskáosz istene. A görög fordításba (Septuaginta, i.e.300) nem tudták átültetni a kulturális különbségek miatt, üresség lett helyette, s ez került a latin Vulgata-ba (400) is. A lényeg megmaradt: a strukturált világ megjelenése a rendezetlenből (de a káosz vagy szinonímája csak a héberben szerepel). A héberben tohu va’vohu=összevisszaság (ma is)

34 Kaotikus inga a Bristoli székesegyházban St. Mary Redcliffe http://www.youtube.com/watch?v=kpIIun0Sz8U Részletek: http://www.clifton-scientific.org/journey_chaos.htmhttp://www.clifton-scientific

35 Összefoglalásként, útravalóul „A tanult embert az jellemzi ugyanis, hogy minden kérdésben csak olyan fokú szabatosságot kíván, amekkorát az illető tárgy természete megenged.” Arisztotelész, Nikomakhoszi etika ~ i.e. 340