Az Erős Perfekt Gráf Tétel

Az előadások a következő témára: "Az Erős Perfekt Gráf Tétel"— Előadás másolata:

1 Az Erős Perfekt Gráf Tétel
László Lovász Microsoft Research

2 G-ben nincs páratlan üreg vagy antiüreg.
Berge sejtés: G perfekt gráf  G-ben nincs páratlan üreg vagy antiüreg. Chudnovsky, Robertson, Seymour, Thomas 2002

3 Terv: Történet Miért érdekes? Hogyan bizonyitják?

4 Történet I. Zajos csatornák
u n m w v összetéveszthető Ábécé: {u,v,w,m,n} Legnagyobb biztonságos részhalmaz: {u,m} független pontok max száma

5 De ha szavakat is megengedünk...
biztonságos részhalmaz: {uu,nm,mv,wn,vw} G Shannon kapacitása:

6 Elegendő =-hez: G lefedhető (G) klikkel.
Shannon 1956 Triviális: Milyen gráfokra áll (G)=(G)? Melyek a minimális gráfok, melyekre (G)>(G)? Elegendő =-hez: G lefedhető (G) klikkel.

7 Történet II: Min-max tételek gráfokra
ftlen pontok max # lefedő pontok min # max klikk kromatikus szám ftlen élek max # lefedő élek min # élkromatikus szám max fok

8 König Dénes három tétele:
G páros gráf: H páros gráf élgráfja:

9 Sok hasonló... Gallai Intervallum gráfokra: Intervallum gráfokra:
Hajós Minden kör háromszögelt  Hajnal-Surányi Minden kör háromszögelt  Berge Összehasonlítási gráfokra: Dilworth Összehasonlítási gráfokra: Minden páratlan kör háromszögelt  Gallai

10 Történet III: Mi a közös?
Berge 1959 - a feltétel öröklődik feszített részgráfra - a tételek párosával vannak perfekt gráf: Minden feszített H részgráfra (H)=(H) Gyenge perfekt gráf sejtés: a komplementer of a perfekt gráf is perfekt. Fulkerson 1970 LL 1971 páratlan üreg Erős perfekt gráf sejtés: G is perfekt  sem G sem a komplementere nem tartalmaz 3-nál hosszabb feszitett páratlan kört Chudnovsky Robertson Seymour Thomas 2003

11 Miért érdekes I. Hipergráfok
feszített részgráf részhipergráf Mik a “páros” hipergráfok? Berge, Fournier, Las Vergnas, Erdős, Hajnal, L

12 Miért érdekes II. Antiblokkoló poliéderek
(polaritás in a nemnegatív ortánsban) Fulkerson 1971 konvex sarok

13 A független ponthalmaz politop
Csúcsok definiálják – hogyan írjuk le lapokkal (lineáris egyenlőtlenségekkel)?

14 Érvényes egyenlőtlenségek STAB(G)-re:
Elegendő  G páros Elegendő  G perfekt Elegendő  G t-perfekt Chvátal

15 További átfogalmazások: G perfekt  G is perfekt 

16 Miért érdekes III. Geometriai reprezentáció
és szemidefinit programozás Ortogonális reprezentáció:

17 TH(G)={profilok -re nézve}
Geometriai reprezentáció profilja: Grötschel Lovász Schrijver TH(G)={profilok -re nézve} FSTAB(G) TH(G) STAB(G)

18 Lineáris függvény TH(G)-n polinom időben maximalizalható
 “Gyenge” sejtés Lineáris függvény TH(G)-n polinom időben maximalizalható  szemidefinit programozás Perfekt gráfra (G), (G) polinom időben kiszámitható

19 Miért érdekes IV. Gráf entrópia
Körner 1973 p: eloszlás V(G)-n

20 G ,,bonyolultságának’’ mértéke
él: nem összetéveszthető (Kódoljuk a V(G)t-beli szavak többségét, nem összetéveszthető szavak kódja különböző.) G ,,bonyolultságának’’ mértéke

21 Csiszár, Körner, Lovász, Marton, Simonyi

22 Miért érdekes V. Nullstellensatz
a köv. rendszer megoldhatalan (-ben) Nem sok haszna van...

23 az alábbi egyenletekből
következik, hogy

24 G perfekt 

25  x független ponthalmaz
Miért érdekes VI. Levezetési szabályok  x független ponthalmaz incidencia vektora i j 1 2 5 4 3

26 Legfeljebb n lépésben, minden STAB(G)-re érvényes
3 2 1 4 Két masik levezetés: Legfeljebb n lépésben, minden STAB(G)-re érvényes lineáris egyenlőtlenség levezethető. LL-Schrijver

27 ? ? ? (triviális) élfeltételek élfeltételek páratlan üreg feltételek
LL-Schrijver élfeltételek+ páratlan üreg feltételek ? klikkfeltételek ? élfeltételek+ ∆-feltételek ? Minden levezethető feltétel tartója olyan részgráf, melyben legfeljebb egy fok >4. Lipták

28 Miért érdekes VII. Játékelmélet
mag: ftlen + mindenhonnan elérhető ponthalmaz mag-feloldható: ha egy irányitásban  klikk tranzitív, akkor van mag Berge, Duchet G mag-feloldható  perfekt : Erős Perfekt Gráf Tétel : Boros, Gurvich

29 A bizonyításról Perfekt gráfok co-NP NP
Megkonstruálható ``alapgráfokból’’ ``ragasztási szabályokkal’’ Nincs páratlan üreg vagy antiüreg Berge gráfok CRST-konstruálható

30 Alapgráfok: páros gráf; páros gráf komplementere; páros gráf élgráfja;
páros gráf élgráfjának komplementere; kettőzött kettéhasadó gráf

31 Ragasztási szabályok:
(valódi) 2-kötés; kiegyensúlyozott ferde partíció

32 ?