Készítette: Horváth Zoltán (2012)

Az előadások a következő témára: "Készítette: Horváth Zoltán (2012)"— Előadás másolata:

1 Készítette: Horváth Zoltán (2012)
Sorozatok Készítette: Horváth Zoltán (2012)

2 Tartalom Sorozatok és megadásuk Számtani sorozatok
Mértani sorozat és az n-dik tagja Számtani sorozatok Kamatos kamat, amortizáció Számtani sorozat n-dik tagja és differenciája Mértani sorozat első n tagjának összege Számtani sorozat első n tagjának összege

3 A természetes számok halmazán értelmezett függvényeket sorozatoknak nevezzük.

4 Sorozatok megadásának néhány módja
Tagok felsorolásával: Egyik tag és a differencia megadásával: Szabállyal: Diagrammal:

5 A következő sorozatnak írjuk fel néhány tagját, és ha lehet, ábrázoljuk grafikonon az összetartozó értékpárokat!

6 A következő sorozatnak írjuk fel néhány tagját, és ha lehet, ábrázoljuk grafikonon az összetartozó értékpárokat!

7 A következő sorozatnak írjuk fel néhány tagját, és ha lehet, ábrázoljuk grafikonon az összetartozó értékpárokat!

8 I. Számtani sorozat Egy sorozat számtani, ha a második tagtól kezdve bármelyik sorozattag és az azt megelőző sorozattag különbsége állandó. Ez az állandó különbség a számtani sorozat differenciája: d. Írjunk fel általánosan 3 egymást követő tagot! A felírásból jól látszik, hogy a középső tag a szomszédos két tag számtani közepe: Általánosan: A sorozat e számtani közép tulajdonság miatt kapta a fenti elnevezést.

9 Számtani sorozat-e? Számoljuk ki az egymást követő sorozattagok különbségét! Az egymást követő sorozattagok különbsége állandó, ezért a megadott sorozat növekvő számtani sorozat.

10 Számtani sorozat-e? Számoljuk ki az egymást követő sorozattagok különbségét! Az egymást követő sorozattagok különbsége állandó, ezért a megadott sorozat növekvő számtani sorozat.

11 Számtani sorozat-e? Számoljuk ki az egymást követő sorozattagok különbségét! Az egymást követő sorozattagok különbsége állandó, ezért a megadott sorozat csökkenő számtani sorozat.

12 Számtani sorozat-e? Számoljuk ki az egymást követő sorozattagok különbségét! Az egymást követő sorozattagok különbsége állandó, ezért a megadott sorozat konstans számtani sorozat.

13 Számtani sorozat-e? Számoljuk ki az egymást követő sorozattagok különbségét! Az egymást követő sorozattagok különbsége állandó, ezért a megadott sorozat konstans számtani sorozat.

14 Megállapítás Ha a számtani sorozat differenciája pozitív, akkor a számtani sorozat növekvő. Ha a számtani sorozat differenciája negatív, akkor a számtani sorozat csökkenő. Ha a számtani sorozat differenciája zérus, akkor a számtani sorozat konstans.

15 További következtetések
Ha a számtani sorozat differenciája pozitív, akkor a számtani sorozat alulról korlátos. Ha a számtani sorozat differenciája negatív, akkor a számtani sorozat felülről korlátos. Ha a számtani sorozat differenciája zérus, akkor a számtani sorozat korlátos.

16 Számtani sorozat-e? Számoljuk ki az egymást követő sorozattagok különbségét! Az egymást követő sorozattagok különbsége NEM állandó, így a megadott sorozat NEM számtani sorozat.

17 Számtani sorozat-e? Számoljuk ki az egymást követő sorozattagok különbségét! Az egymást követő sorozattagok különbsége NEM állandó, így a megadott sorozat NEM számtani sorozat.

18 Számtani sorozat-e? Számoljuk ki az egymást követő sorozattagok különbségét! Az egymást követő sorozattagok különbsége NEM állandó, így a megadott sorozat NEM számtani sorozat.

19 Számtani sorozat-e? Számoljuk ki az egymást követő sorozattagok különbségét! Az egymást követő sorozattagok különbsége NEM állandó, így a megadott sorozat NEM számtani sorozat, hanem MÁSODRENDŰ SZÁMTANI SOROZAT. Mivel az egymást követő sorozattagok különbségéből alkotott sorozat számtani sorozatot alkot.

20 Számtani sorozat-e? Számoljuk ki az egymást követő sorozattagok különbségét! Az egymást követő sorozattagok különbsége NEM állandó, így a megadott sorozat NEM számtani sorozat, hanem MÁSODRENDŰ SZÁMTANI SOROZAT. Mivel az egymást követő négyzetszámok különbségéből alkotott sorozat számtani sorozatot alkot.

21 Ábrázoljuk a következő sorozatot grafikonon!
3 a2 4,5 a3 6 a4 7,5 a5 9 a6 10,5 a7 12 a8 13,5 a9 15 a10 16,5 A grafikonon ábrázolt számtani sorozattagok értékei egy egyenesre illeszkednek.

22 Ábrázoljuk a következő sorozatot grafikonon!
16 a2 14,5 a3 13 a4 11,5 a5 10 a6 9,5 a7 8 a8 6,5 a9 5 a10 3,5 A grafikonon ábrázolt számtani sorozattagok értékei egy egyenesre illeszkednek.

23 Ábrázoljuk a következő sorozatot grafikonon!
1 a2 2 a3 4 a4 8 a5 16 a6 32 a7 64 a8 128 a9 256 a10 512 A grafikonon ábrázolt (mértani) sorozattagok értékei nem illeszkedik egy egyenesre.

24 Számtani sorozat differenciája
és az n-dik tag kiszámítása

25 A számtani sorozat n-dik tagja
Előző dia

26 Egy számtani sorozat harmadik tagja 6, ötödik tagja 14
Egy számtani sorozat harmadik tagja 6, ötödik tagja 14. Határozd meg a sorozat tizedik tagját! A harmadik tagtól hány lépéssel lehet az ötödik tagig eljutni? 5-3=2 , azaz két lépés kell, hogy a harmadik tagtól az ötödik tagig eljussak. A harmadik tagtól hány lépéssel lehet az tizedik tagig eljutni? 10-3=7 , azaz hét lépés kell, hogy a harmadik tagtól az tizedik tagig eljussak. A sorozat differenciája 4, tizedik tagja 34.

27 Egy számtani sorozat második tagja 5, ötödik tagja 15
Egy számtani sorozat második tagja 5, ötödik tagja 15. Határozd meg a sorozat hetedik tagját! A második tagtól hány lépéssel lehet az ötödik tagig eljutni? 5-2=3 , azaz három lépés kell, hogy a második tagtól az ötödik tagig eljussak. A második tagtól hány lépéssel lehet a hetedik tagig eljutni? 7-2=5 , azaz öt lépés kell, hogy a második tagtól a hetedik tagig eljussak. A sorozat differenciája 10/3, hetedik tagja 65/3.

28 Határozd meg a számtani sorozat n-dik tagját, ha az első tagja 5, differenciája pedig 3!
Írjuk fel a számtani sorozat n-dik tagjának meghatározására vonatkozó összefüggést! Behelyettesítés után a következőt kapjuk: A sorozat n-dik tagja:

29 Határozd meg a számtani sorozat n-dik tagját, ha az első tagja -15, differenciája pedig 2,4!
Írjuk fel a számtani sorozat n-dik tagjának meghatározására vonatkozó összefüggést! Behelyettesítés után a következőt kapjuk: A sorozat n-dik tagja:

30 Egy számtani sorozat harmadik tagja 20, hetedik tagja 40
Egy számtani sorozat harmadik tagja 20, hetedik tagja 40. Mennyi a sorozat ötödik tagjának értéke? Vegyük észre, hogy az ötödik tag a hetedik és a harmadik között helyezkedik el középen. Használjuk fel a számtani sorozat elnevezésére utaló tulajdonságát! A sorozat ötödik tagjának értéke: 30.

31 Egy számtani sorozat tizedik tagja 20, tizenötödik tagja 40
Egy számtani sorozat tizedik tagja 20, tizenötödik tagja 40. Mennyi a sorozat huszadik tagjának értéke? Vegyük észre, hogy a tizenötödik tag a tizedik és a huszadik között helyezkedik el középen. Használjuk fel a számtani sorozat elnevezésére utaló tulajdonságát! A sorozat huszadik tagjának értéke: 60.

32 Egy számtani sorozat harmadik tagja 4, ötödik tagja 40
Egy számtani sorozat harmadik tagja 4, ötödik tagja 40. Mennyi a sorozat első tagjának értéke? Vegyük észre, hogy a harmadik tag az első és az ötödik között helyezkedik el középen. Használjuk fel a számtani sorozat elnevezésére utaló tulajdonságát! A sorozat első tagjának értéke: -32.

33 Egy számtani sorozat harmadik tagja 50; a sorozat tizedik tagja 10-zel kisebb a nyolcadik tagjánál. Határozd meg a sorozat első tagját! Innen a sorozat differenciája meghatározható: / -a8 / :2 A sorozat első tagja a 60.

34 Egy számtani sorozat nyolcadik tagja 72; a sorozat huszadik tagja 12-vel kisebb a huszonharmadik tagjánál. Határozd meg a sorozat első tagját! / -a23 A sorozat első tagja a 44.

35 A számtani sorozat első n tagjának összege

36 A számtani sorozat első n tagjának összege
Írjuk fel az első 7 pozitív egész számot, és adjuk össze azokat! 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 = 28 Ez még akár fejben is könnyen megy… Most adjuk össze az első 100 pozitív egész számot! Írjuk fel ugyanezt csökkenő sorrendben is közvetlenül ez alá! 1 + 2 + 3 + … + 98 + 99 + 100 = S100 + 100 + 99 + 98 + … + 3 + 2 + 1 = S100 2•S100 101 + 101 + 101 + … + 101 + 101 + 101 = 100 • 101 = 2•S100 10100 = 2•S100 Vagyis: 5050 = S100 Adjuk össze a két egyenletet!

37 Általánosan az n tagú sorozat összegképlete:

38 Vizsgáljuk meg a következő számtani sorozatot!

39 Általánosan: a középső tag mindig a szomszédos két tag, vagy a középsőtől mindkét irányba azonos távolságra vett értékek számtani közepe: Általánosan: A sorozat e számtani közép tulajdonság miatt kapta a számtani elnevezést.

40 Egy számtani sorozat harmadik tagja 10. Mennyi az első öt tag összege
Egy számtani sorozat harmadik tagja 10. Mennyi az első öt tag összege? Írj példát ilyen sorozatra! A megoldáshoz használjuk fel a számtani sorozat számtani középre vonatkozó összefüggését! Eszerint: Vagyis: Innen: A sorozat első öt tagjának összege: 50. Példa ilyen sorozatra: Vagy:

41 Egy számtani sorozat negyedik tagja 40. Mennyi az első hét tag összege
Egy számtani sorozat negyedik tagja 40. Mennyi az első hét tag összege? Írj példát ilyen sorozatra! A megoldáshoz használjuk fel a számtani sorozat számtani középre vonatkozó összefüggését! Eszerint: Vagyis: Innen: A sorozat első hét tagjának összege: 280. Példa ilyen sorozatra: Vagy:

42 Egy számtani sorozat tagjai között az alábbi összefüggések állnak fenn:
Határozzuk meg a sorozat első tagját! Meghatározzuk a sorozat differenciáját! A sorozat első tagja a 19.

43 Egy számtani sorozat tagjai között az alábbi összefüggések állnak fenn:
Határozzuk meg a sorozat első tagját! Meghatározzuk a sorozat differenciáját! A sorozat első tagja a 28.

44 Egy számtani sorozat huszonnyolcadik tagja 28, kétszáznegyvenharmadik tagja Mennyi az első kétszáznegyvenhárom tag összege? Először meghatározzuk a sorozat differenciáját! Ezután meghatározzuk a sorozat első elemét! A sorozat első kétszáznegyvenhárom elemének összege:

45 Egy számtani sorozat ötödik tagja 40, a hetvenötödik tagja 180
Egy számtani sorozat ötödik tagja 40, a hetvenötödik tagja Mennyi az első hetvenöt tag összege? Először meghatározzuk a sorozat differenciáját! Ezután meghatározzuk a sorozat első elemét! A sorozat első hetvenöt elemének összege:

46 Mennyi a páratlan kétjegyű pozitív számok összege?
Az egymást követő páratlan számok számtani sorozatot alkotnak, melynek differenciája 2. A sorozat első tagja a 11. A sorozat n-dik (utolsó) tagja a 99. Határozzuk meg a sorozat tagjainak számát! A sorozat 45 tagból áll. 2475 a páratlan kétjegyű pozitív számok összege.

47 Mennyi a páros kétjegyű pozitív számok összege?
Az egymást követő páros számok számtani sorozatot alkotnak, melynek differenciája 2. A sorozat első tagja a 10. A sorozat n-dik (utolsó) tagja a 98. Határozzuk meg a sorozat tagjainak számát! A sorozat 45 tagból áll. 2430 a páros kétjegyű pozitív számok összege.

48 Mennyi a páratlan háromjegyű pozitív számok összege?
Az egymást követő páratlan számok számtani sorozatot alkotnak, melynek differenciája 2. A sorozat első tagja a 101. A sorozat n-dik (utolsó) tagja a 999. Határozzuk meg a sorozat tagjainak számát! A sorozat 450 tagból áll. a páratlan háromjegyű pozitív számok összege.

49 Mennyi a páros háromjegyű pozitív számok összege?
Az egymást követő páros számok számtani sorozatot alkotnak, melynek differenciája 2. A sorozat első tagja a 100. A sorozat n-dik (utolsó) tagja a 998. Határozzuk meg a sorozat tagjainak számát! A sorozat 450 tagból áll. a páros háromjegyű pozitív számok összege.

50 Mennyi a hárommal osztható, háromjegyű pozitív számok összege?
Az egymást követő hárommal osztható számok számtani sorozatot alkotnak, melynek differenciája 3. A sorozat első tagja a 102. A sorozat n-dik (utolsó) tagja a 999. Határozzuk meg a sorozat tagjainak számát! A sorozat 300 tagból áll. a 3-mal osztható, háromjegyű pozitív számok összege.

51 Mennyi az öttel osztható, háromjegyű pozitív számok összege?
Az egymást követő öttel osztható számok számtani sorozatot alkotnak, melynek differenciája 5. A sorozat első tagja a 100. A sorozat n-dik (utolsó) tagja a 995. Határozzuk meg a sorozat tagjainak számát! A sorozat 180 tagból áll. 98550 az öttel osztható, háromjegyű pozitív számok összege.

52 Mennyi a héttel osztható, háromjegyű pozitív számok összege?
Az egymást követő héttel osztható számok számtani sorozatot alkotnak, melynek differenciája 7. A sorozat első tagja a 105. A sorozat n-dik (utolsó) tagja a 994. Határozzuk meg a sorozat tagjainak számát! A sorozat 128 tagból áll. 70336 a héttel osztható, háromjegyű pozitív számok összege.

53 Egy színház nézőterén az első sorban 20 szék van
Egy színház nézőterén az első sorban 20 szék van. Minden sor eggyel több széket tartalmaz, mint az előtte lévő. Hány ülőhely van a 25 soros nézőtéren? A színház nézőterén 800 szék van.

54 Hány négyzetből áll a 100-dik alakzat, és összesen hány négyzetet kellene rajzolni?
1. 2. 3. A századik alakzat 397 négyzetet tartalmaz, összesen négyzetet kellene megrajzolni.

55 Hány tagú a számtani sorozat, ha tagjai összege 2475
Hány tagú a számtani sorozat, ha tagjai összege Sorozat első tagja 11, differenciája 2. Írjuk fel a sorozat n tagjára vonatkozó összegképletét, és az n-dik tagját is általánosan!

56 A feltételünk a sorozat definíciója értelmében:
A számtani sorozat 45 tagból áll.

57 Hány tagú a számtani sorozat, ha tagjai összege 901
Hány tagú a számtani sorozat, ha tagjai összege Sorozat első tagja 13, differenciája 5. Írjuk fel a sorozat n tagjára vonatkozó összegképletét, és az n-dik tagját is általánosan!

58 A feltételünk a sorozat definíciója értelmében:
A számtani sorozat 17 tagból áll.

59 Hány tagú a számtani sorozat, ha tagjai összege 34310
Hány tagú a számtani sorozat, ha tagjai összege Sorozat első tagja 20, differenciája 12,5. Írjuk fel a sorozat n tagjára vonatkozó összegképletét, és az n-dik tagját is általánosan!

60 A feltételünk a sorozat definíciója értelmében:
A számtani sorozat 73 tagból áll.

61 Számtani sorozat n-dik tagja
Hány tagú a számtani sorozat, ha tagjai összege Sorozat harmadik tagja 11, differenciája 4. Írjuk fel a sorozat n tagjára vonatkozó összegképletét, és az n-dik tagját is általánosan! Számtani sorozat n-dik tagja

62 A feltételünk a sorozat definíciója értelmében:
A számtani sorozat 20 tagból áll.

63 Számtani sorozat n-dik tagja
Hány tagú a számtani sorozat, ha tagjai összege Sorozat hetedik tagja 70, differenciája 8. Írjuk fel a sorozat n tagjára vonatkozó összegképletét, és az n-dik tagját is általánosan! Számtani sorozat n-dik tagja

64 A feltételünk a sorozat definíciója értelmében:
A számtani sorozat 13 tagból áll.

65 Három egymást követő szám számtani sorozatot alkot
Három egymást követő szám számtani sorozatot alkot. Összege 27, szorzata Melyik ez a három szám? A keresett három szám:

66 Három egymást követő szám számtani sorozatot alkot
Három egymást követő szám számtani sorozatot alkot. Összege 30, szorzata Melyik ez a három szám? A keresett három szám: 5;

67 Mértani sorozatok

68 Definíció Mértani sorozatnak nevezzük az olyan sorozatokat, amelyekben (a másodiktól kezdve) bármelyik tag és az azt megelőző tag hányadosa állandó. Ezt a hányadost idegen szóval kvóciensnek nevezzük. (quotiens= hányados) A mértani sorozat kvóciensének jele: q.

69 Mértani sorozat n-dik tagja:
Legyen a sorozat első tagja a1 a második a2.

70 A sorozat n-dik tagja a k-adik tagból kiszámítva
A sorozat n-dik tagja a k-adik tagból kiszámítva. Avagy nincs szükség az ötödik emeletről visszamenni a földszintre, hogy a századikra érjünk. Előző dia

71 Egy mértani sorozat első tagja 7, kvóciense 3. Melyik ez a sorozat
Egy mértani sorozat első tagja 7, kvóciense 3. Melyik ez a sorozat? És mennyi az ötödik tagja? Írjuk fel a mértani sorozat általános tagjára vonatkozó összefüggést! A mértani sorozat: A mértani sorozat ötödik tagja 567.

72 Egy mértani sorozat első tagja 5, kvóciense 2. Melyik ez a sorozat
Egy mértani sorozat első tagja 5, kvóciense 2. Melyik ez a sorozat? És mennyi az tizedik tagja? Írjuk fel a mértani sorozat általános tagjára vonatkozó összefüggést! A mértani sorozat: A mértani sorozat tizedik tagja 2560.

73 Egy mértani sorozat hatodik tagja 192, kvóciense 2
Egy mértani sorozat hatodik tagja 192, kvóciense 2. Mennyi a sorozat első tagja? Melyik ez a sorozat? Írjuk fel a mértani sorozat általános tagjára vonatkozó összefüggést! Határozzuk meg az első tagot! A mértani sorozat: A mértani sorozat első tagja 6.

74 Egy mértani sorozat hetedik tagja 62500, kvóciense 5
Egy mértani sorozat hetedik tagja 62500, kvóciense 5. Mennyi a sorozat első tagja? Melyik ez a sorozat? Írjuk fel a mértani sorozat általános tagjára vonatkozó összefüggést! Határozzuk meg az első tagot! A mértani sorozat: A mértani sorozat első tagja 4.

75 Írjuk fel a mértani sorozat általános tagjára vonatkozó összefüggést!
Egy mértani sorozat negyedik tagja 172,8, kvóciense 1,2. Mennyi a sorozat első tagja? Melyik ez a sorozat? Írjuk fel a mértani sorozat általános tagjára vonatkozó összefüggést! Határozzuk meg az első tagot! A mértani sorozat: A mértani sorozat első tagja 100.

76 Egy mértani sorozat harmadik tagja 24, kvóciense 2. Melyik ez a sorozat? És mennyi az tizenegyedik tagja? Írjuk fel a mértani sorozat általános tagjára vonatkozó összefüggést! Határozzuk meg az első tagot! A mértani sorozat: A mértani sorozat tizenegyedik tagja 6144.

77 Egy mértani sorozat hetedik tagja 320, kvóciense 2. Melyik ez a sorozat? És mennyi az tizenegyedik tagja? Írjuk fel a mértani sorozat általános tagjára vonatkozó összefüggést! Határozzuk meg az első tagot! A mértani sorozat: A mértani sorozat tizenegyedik tagja 5120.

78 Egy mértani sorozat első tagja 8
Egy mértani sorozat első tagja 8. Ha a kvóciense 2, akkor hányadik tagja az 512? Írjuk fel a mértani sorozat általános tagjára vonatkozó összefüggést! A sorozat hetedik tagja az 512.

79 Egy mértani sorozat első tagja 5, a kvóciense 3. Hányadik tagja a 3645?
Írjuk fel a mértani sorozat általános tagjára vonatkozó összefüggést! A sorozat hetedik tagja az 3645.

80 Egy mértani sorozat harmadik tagja 4, a kvóciense 5
Egy mértani sorozat harmadik tagja 4, a kvóciense 5. Hányadik tagja a 12500? A sorozat nyolcadik tagja a

81 Egy mértani sorozat második tagja 3, a kvóciense 2
Egy mértani sorozat második tagja 3, a kvóciense 2. Hányadik tagja a 3072? A sorozat tizenkettedik tagja a 3072.

82 Egy mértani sorozat negyedik tagja 2, a kvóciense 1,2
Egy mértani sorozat negyedik tagja 2, a kvóciense 1,2. Hányadik tagja a 3,456? A sorozat hetedik tagja az 3,456.

83 Egy mértani sorozat első tagja 10
Egy mértani sorozat első tagja 10. Ha a kvóciense 2, akkor hányadik tagja az 1000? Írjuk fel a mértani sorozat általános tagjára vonatkozó összefüggést! Mivel n nem természetes szám, ezért 1000 nem tagja a sorozatnak.

84 Írjuk fel a derékszögű háromszög oldalait a középső tag segítségével!
Egy derékszögű háromszög oldalai egy mértani sorozat egymást követő tagjai. Mekkorák a háromszög szögei? Írjuk fel a derékszögű háromszög oldalait a középső tag segítségével! Írjuk fel a Pitagorász tételét az előbbi oldalak segítségével!

85 Egy szám négyzete nem lehet negatív, így csak a következő lehetséges:
Egy szám négyzete nem lehet negatív, így csak a következő lehetséges: A feladat értelmezése szerint a sorozat kvóciensének pozitívnak kell lennie, különben legalább az egyik oldal negatív lenne, ami lehetetlen. Ekkor a háromszög oldalai a következőképpen írhatóak fel:

86 Helyettesítsük be az adatokat!
Végezzük el az egyszerűsítést! Innen látszik, hogy az eredmény független az oldalak hosszától! A derékszögű háromszög oldalai és szögei közül írjunk fel egy szögfüggvényt! Helyettesítsük be az adatokat! Innen visszakeressük azt a hegyes szöget, melynek koszinusza 0,78615 körüli érték: A derékszögből kivonva pedig kapjuk a derékszögű háromszög másik hegyes szögét!

87 Így két egyenletünk, és két ismeretlenünk maradt!
Egy mértani sorozat első három elemének összege 105. Az első és harmadik elem szorzata 400. Mennyi az első 3 eleme a sorozatnak? Induljunk ki a második egyenletből, és használjuk fel a sorozat mértani tulajdonságát! Használjuk fel az előbbi eredményt, és helyettesítsük be az első egyenletbe! Így két egyenletünk, és két ismeretlenünk maradt!

88 A felső egyenlet a1 –re rendezett alakját az alsóba behelyettesítjük:
A felső egyenlet a1 –re rendezett alakját az alsóba behelyettesítjük: Megfelelő átalakítások után: A megoldó képletbe való behelyettesítés után: Ekkor a sorozat kvóciense A keresett számok: 80; 20; 5 valamint az 5; 20; 80

89 Egy mértani sorozat első három elemének összege 26
Egy mértani sorozat első három elemének összege 26. Az első három elem szorzata 216. Mennyi a sorozat első 3 eleme? Induljunk ki a második egyenletből, és fejezzük ki mindegyik tagot a középső taggal és a kvócienssel! Használjuk fel az előbbi eredményt, és helyettesítsük be az eredeti egyenletekbe!! Az egyszerűsítés után a sorozat második tagja kifejezhető! Így két egyenletünk, és két ismeretlenünk maradt!

90 A felső egyenlet a1 –re rendezett alakját az alsóba behelyettesítjük:
A felső egyenlet a1 –re rendezett alakját az alsóba behelyettesítjük: Megfelelő átalakítások után: A megoldó képletbe való behelyettesítés után: Ekkor a sorozat kvóciense A keresett számok: 18; 6; 2 valamint a 2; 6; 18

91 Egy mértani sorozat első három elemének összege 228
Egy mértani sorozat első három elemének összege 228. Az első három elem szorzata Mennyi a sorozat első 3 eleme? Induljunk ki a második egyenletből, és fejezzük ki mindegyik tagot a középső taggal és a kvócienssel! Használjuk fel az előbbi eredményt, és helyettesítsük be az eredeti egyenletekbe!! Az egyszerűsítés után a sorozat második tagja kifejezhető! Így két egyenletünk, és két ismeretlenünk maradt!

92 A felső egyenlet a1 –re rendezett alakját az alsóba behelyettesítjük:
A felső egyenlet a1 –re rendezett alakját az alsóba behelyettesítjük: Megfelelő átalakítások után: A megoldó képletbe való behelyettesítés után: Ekkor a sorozat kvóciense A keresett számok: 196; 28; 4 valamint a 4; 28; 196

93 Kamatos kamat, amortizáció
Ha az alap A, és a kamatláb p, akkor a kamatozások sorozata után a megváltozott E összeg jóváíráskor: Vagyis a kamatos kamattal kapcsolatos problémák mértani sorozat n-dik tagjára visszavezethető problémák úgy, hogy p a mértani sorozat kvóciense. Mivel a bankrendszer napi kamatozású, így n helyére már nem csak a természetes számok helyettesíthetők.

94 Ha a bankba évi 5%-os kamatláb mellett Ft-ot befektetek, Akkor mennyit ér a pénzem 3 év múlva? Írjuk fel a mértani sorozat általános tagjára vonatkozó összefüggést! A befektetett összeg 3 kamatjóváírás után ,5 Ft.

95 Ha a bankba évi 6,4%-os kamatláb mellett Ft-ot befektetek, Akkor mennyit ér a pénzem 4 év múlva? Írjuk fel a mértani sorozat általános tagjára vonatkozó összefüggést! A befektetett összeg 4 kamatjóváírás után ,41 Ft.

96 A 3,2 MFt értékű személygépkocsi évente 20%át veszíti el az értékéből
A 3,2 MFt értékű személygépkocsi évente 20%át veszíti el az értékéből. Mennyit ér ez az autó 7 év múlva? Írjuk fel a mértani sorozat általános tagjára vonatkozó összefüggést! A 7 éves autó Ft-ot ér.

97 A 4 MFt értékű személygépkocsi évente 20%át veszíti el az értékéből
A 4 MFt értékű személygépkocsi évente 20%át veszíti el az értékéből. Mennyit ér ez az autó 20 év múlva? Írjuk fel a mértani sorozat általános tagjára vonatkozó összefüggést! A 20 éves autó Ft-ot ér.

98 Ha a bankba évi 10%-os kamatláb mellett Ft-ot fektetek be, akkor mikor éri a pénzem a dupláját? Írjuk fel a mértani sorozat általános tagjára vonatkozó összefüggést! A befektetett összeg 7 év 3 hónap 9 nap után éri el a dupláját Ft.

99 Az 5MFt értékű autó 20%-os amortizációs kulcs esetén mennyi idő után éri a felét?
Írjuk fel a mértani sorozat általános tagjára vonatkozó összefüggést! A befektetett összeg 3 év 1 hónap 9 nap után éri el a felét.

100 Az 5MFt értékű autó 20%-os amortizációs kulcs esetén mennyi idő után éri a tizedét?
Írjuk fel a mértani sorozat általános tagjára vonatkozó összefüggést! A befektetett összeg 10 év 3 hónap 25 nap után éri el a tizedét.

101 A mértani sorozat első n tagjának összege

102 Írjuk fel az n tagú mértani sorozattagok összegét!
Most ugyanezt írjuk fel a1 és q segítségével! Szorozzuk meg a fenti egyenletet a sorozat kvóciensével, q-val! Vonjuk ki a második egyenletből az elsőt! Az egyenlet mindkét oldalát alakítsuk szorzattá! Osszuk el mindkét oldalt (q-1) –gyel!

103 Egy mértani sorozat első tagja 1, kvóciense 2
Egy mértani sorozat első tagja 1, kvóciense 2. Mennyi a sorozat első 10 tagjának összege? Írjuk fel a mértani sorozat első n tagjának összegére vonatkozó összefüggést! Végezzük el az adatok behelyettesítését! A mértani sorozat 10 tagjának összege 1023.

104 Egy mértani sorozat első tagja 5, kvóciense 2
Egy mértani sorozat első tagja 5, kvóciense 2. Mennyi a sorozat első 7 tagjának összege? Írjuk fel a mértani sorozat első n tagjának összegére vonatkozó összefüggést! Végezzük el az adatok behelyettesítését! A mértani sorozat 7 tagjának összege 635.

105 Egy mértani sorozat második tagja 10, kvóciense 3
Egy mértani sorozat második tagja 10, kvóciense 3. Mennyi a sorozat első 6 tagjának összege? Írjuk fel a mértani sorozat első n tagjának összegére vonatkozó összefüggést! Végezzük el az adatok behelyettesítését! A mértani sorozat 6 tagjának összege 1213,33...

106 Volt egyszer Indiában egy Shehrán nevű király, aki mindeneken uralkodott, csak saját unalmán nem. Reggel, délben, este, egész nap, folyton csak unatkozott. Annyira unta magát, hogy végül is belebetegedett az unalomba. Ágynak dőlt, felakadt a szeme, mintha haldoklana. Sessa ebn Daher, az udvari bölcs, megsajnálta urát és hogy unalmát elűzze, feltalált egy játékot: a sakkot. Ez a játék csodát művelt. Alig játszotta le a király az első játszmát, máris felépült. - Mit kivánsz jutalmul? - kérdezte Shehrán. - Tégy a sakktábla első kockájára egy búzaszemet, a másodikra kettőt, a harmadikra négyet és így tovább, minden kockára kétszer annyit, amennyi az előtte lévőn volt - mondta Sessa ebn Daher. - Amennyire a búzaszemek száma a duplázás folytán a 64. kockára nő, annyi búzaszem legyen a jutalmam. - Szerény kérés! - mosolygott a király. - Beszéded mindazonáltal rejtvényesnek hat ...

107 Hány búzaszemet kéne a királynak hozatnia?
Írjuk fel a mértani sorozat első n tagjának összegére vonatkozó összefüggést! Végezzük el az adatok behelyettesítését! A királynak legalább 18,467 trillió búzaszemet kellene hozatnia. Ez kb 100 milliárd köbmétert jelentene.

108 Határozzuk meg az alábbi mértani sorozat összegét! 1+2+4+…+213
Írjuk fel a mértani sorozat első n tagjának összegére vonatkozó összefüggést! Végezzük el az adatok behelyettesítését! A mértani sorozat 14 tagjának összege

109 Határozzuk meg az alábbi mértani sorozat összegét! 9+18+36+…+9216
Számítsuk ki a tagok számát! Írjuk fel a mértani sorozat első n tagjának összegére vonatkozó összefüggést! Végezzük el az adatok behelyettesítését! A mértani sorozat 11 tagjának összege

110 Határozzuk meg az alábbi mértani sorozat összegét! 8+4+2+…+2-12
Számítsuk ki a tagok számát! Írjuk fel a mértani sorozat első n tagjának összegére vonatkozó összefüggést! Végezzük el az adatok behelyettesítését! A mértani sorozat 16 tagjának összege 15, ….