Térkitöltés Véletlen pakolások

Az előadások a következő témára: "Térkitöltés Véletlen pakolások"— Előadás másolata:

1 Térkitöltés Véletlen pakolások
Balla Péter

2 Bevezető Alapfogalmak Szimulációk Súrlódó golyók pakolása, <z> viselkedése Kísérleti eredmények, a Delaunay-dekompozíció ▪ Kísérleti technika ▪ A rendeződés geometriája ▪ A modell ▪ Eredmények, összehasonlítás a modellel Összefoglalás

3

4 Bevezetés Szemcsés anyagok (golyók), T=0 „Jamming”
Nincs tökéletes térkitöltés Erős függés a minta preparációjától • A mechanikai stabilitás feltétele, kontaktusszám (2d, d+1) Izostatikusság, hiperstatikusság (JÖVŐ HÉT!)

5 Alapfogalmak Kérdés: dobozba véletlenszerűen ejtett gömbök a térfogat hány százalékát foglalják el? Pakolási hányados: A zöldséges dilemmája: mi a lehetséges maximális térkitöltés? (Kepler-sejtés 1611; Hilbert 18. problémája 1900; Hales 1998)

6 Maximális térkitöltés

7 Szimulációk Súrlódó és súrlódásmentes pakolások
MD szimuláció, N=20000 golyó d átmérő, m tömeg, periodikus határfeltétel, 20×20×50 golyó 0,02<φi<0,3, innen a gravitáció hatása alatt esnek (forgás modellezve) Kezdeti kinetikus energia: mgd Összenyomhatóság keménység (mg/d egységekben): 2E5<kn<2E9 (kemény gömb) Súrlódás: 0<μ<10 Sebességek aránya egy centrális ütközés alatt: ε=0,26;0,50; 0,88

8 <z> és a pakolási hányados

9 P(z) és a keménygömb-átmenet

10 Függés a preparációtól

11 Kísérleti eredmények Röntgen-CT

12 Kísérleti eredmények Azonos méretű műanyaggolyók (2%-on belül) hengeralakú dobozban Pozíciómérés hibája: 0,1%

13 A modell Az elemi építőkövek feltérképezése
A térfogatfluktuációk feltérképezése, térfogateloszlás meghatározása A kísérleti eredmények és a modell összevetése

14 A rendeződés geometriája
Cél: a rendeződés jellemzése egyszerű geometriai megfon-tolások alapján Kötött párok (küszöbtávolság: r=1.0d…1.11d) Közös szomszéd (számuk n) Közös szomszédok eloszlása (rögzített r-re, kül. n-ek részvételi aránya) ▪ ha r<1,118d, akkor n max. 5 Lokális jellemzés ▪ ρ erősen korellál a fenti eloszlással Diéderszög

15 A rendeződés geometriája

16 A rendeződés geometriája: tetraéderes szerkezet

17 Következmények A rendeződés tetraéderek formájában történik
Az eredmény lényegében független a küszöbtávolságtól (r=1.0d…1.11d) A probléma kezelése: Delaunay-dekompozíció, tetraéderekre Minimális, véletlenszerűen elhelyezett tetraéderek, amik nem lógnak bele egymás körülírt gömbjébe (nincs szükség küszöbtávra!) Egyértelműen azonosít egy N-részecskés rendszert egy térkitöltő tetraéder-rendszerrel (<f>: egy golyóra eső átlagos tetraéderszám, T tetraéderek száma): <f>=14…15,53 (szoros pakolás…„granuláris gáz”) mechanikailag stabil, egyforma gömbökből álló rendszerben, a gravitáció hatása alatt <f>~14,5 (az egyensúlyi kontaktusszámmal ekvivalens)

18 A tetraéderek elrendeződése
Lokálisan lehetséges legsűrűbb elrendeződés, tökéletes d-élhosszú tetraéderek, ez a dekmpozícióban szereplő minimálisan elérhető elemi térfogat (Roger, geometriai alsó határ): Térkitöltés (az elemi tetraéderek kitöltik a térfogatot): A fenti feltételekkel, és az elemi térfogatok között térfogatcserét megengedve, a termodinamikai határesetben:

19 A tetraéderek elrendeződése
A mechanikai stabilitás: A geometriai kényszerek: A térkitöltés: Nincs szabad paraméter!

20

21

22 Referenciák Szimulációk
Geometry of frictionless and frictional sphere packings Leonardo E. Silbert et al. (2006) • Kísérlet és Delaunay-dekompozíciós model Volume fluctuations and geometrical constraints in granular packs Tomaso Aste (2006)

23 Összefoglalás Szimulációk (a kontaktusszám, izostatikusság, súrlódás): izostatikusság: csak súrlódásmentes esetben, súrlódással mindig hiperstatikus szerkezet (bonyolultabb modell szükségeltetik) igaz a keménygömb-határesetben is <z> folytonosan változik a súrlódás bekapcsolásával a részletek erős előélet-függést mutatnak A kísérlet és a modell (a térkitöltés geometriája): a rendeződés lokálisan tetraéderek formájában történik a kísérletekkel jó egyezésben leírható a Delaunay-dekompozícióval, amely eleget tesz az alábbi (természetes) feltételeknek: mechanikai stabilitás geometriai kényszerek térkitöltés

24 Köszönöm a figyelmet!