Nem-lineáris rendszerek esetében a pálya elágazhat (bifurkáció).

Az előadások a következő témára: "Nem-lineáris rendszerek esetében a pálya elágazhat (bifurkáció)."— Előadás másolata:

1 Nem-lineáris rendszerek esetében a pálya elágazhat (bifurkáció).
Az elágazási pont az alábbi tulajdonságokkal bír. (Hopf, 1942) Tétel. Legyen G(l,u) egy analitikus leképezése a redukált fázis- térnek és tegyük fel, hogy létezik egy ismert u(l) megoldása az alábbi egyenletnek: Tegyük fel továbbá, hogy u(l) instabillá válik, mert a Gu(l,u) ope- rátor s(l) sajátértéke nullává válik l=l0-nál Tegyük fel, hogy s(l0)=0 és s’(l0)>0. Akkor létezik egy sima, nemtriviális megoldás l(e), u(e), ami elágazik az u(l) megoldásból (l0,u0)-nál. Itt G(l,u) egy nemlineáris operátor, l benne a paraméter. Egy u(t) megoldás stabil, ha bármely e>0-hoz létezik létezik d>0 úgy, hogy esetén fennáll minden t-re: Makai M: Neutrontranszport

2 Klasszikus rendszer: S-et kölcsönhatásba hozzuk egy B beren-
A mérés Klasszikus rendszer: S-et kölcsönhatásba hozzuk egy B beren- dezéssel. Megvárjuk az egyensúly beállását, ebből meghatároz- zuk S kölcsönhatást leíró paraméterét. B-nek kontinuum sok állapota lehetséges. Nincs olyan kölcsönhatás, ahol a B berende- zés S egyedi részecskéivel hat kölcsön. Követelmények: legyen kölcsönhatás S mérendő mennyiségéhez B kevéssé változtassa meg S állapotát az egyensúly elfogadható időn belül álljon be. Példa: hőmérsékletmérés T1 S Makai M: Neutrontranszport

3 A kölcsönhatások leírása
Extenzív és intenzív mennyiségek, az intenzív mennyiségek kiegyen- lítődnek. Az intenzív mennyiségek gradiensei áramot indítanak, pl. anyagi állandó A gradiens azonban kereszteffektusokkal is jár: az anyagi állandókat egy mátrix írja le: az i-ik extenzív mennyiség gradiense (Onsager) a j.-extenzív mennyiség árama Dufour-effektus (termodiffúzió), Peltier-effektus stb. Makai M: Neutrontranszport

4 Most a mérendő S rendszernek megszámlálhatóan sok lehetséges
Kvantumos rendszer Most a mérendő S rendszernek megszámlálhatóan sok lehetséges állapota van. B-nek viszont véges sok lehetséges állapota van. S lehet “tiszta állapotban” vagy “kevert állapotban”. Tiszta álla- potban S a mérendő fizikai mennyiség A operátrorának sajátálla- potában van: Valamely k-ra és Fk S állapotfüggvénye. Ebben az állapotban A mérésének eredménye ak lesz. Kevert állapotban S állapotfüggvénye legyen Y, ami kifejthető a Fk függvények szerint: Makai M: Neutrontranszport

5 A mérés eredményeként valamelyik Fp-t kapjuk, a mért érték
a Fp állapotban mérhető érték lesz. Állapotredukció. Yakir Aharonov (Univ. of South Carolina): Lehetséges kvantumos rendszeren mérést végezni anélkül, hogy a szuperpozíciót a mérés lerombolná. Phys. Letters A, 301, p.130 (2002) Javaslata: weak measurement (kíméletes mérés) Aharonov elvégezte azt a mérést, amit Lucien Hardy írt le, mint gondolatkísérletet.A kísérletben egy elektron és egy pozitron (anti elektron) kölcsönhatását vizsgálják egy interferométerben. A kíméletes mérés eredménye: nagy hiba, sok mérés átlaga vi- szont pontos. Makai M: Neutrontranszport

6 Tekintsük az alábbi kísérletet ld.ábra).
Makai M: Neutrontranszport

7 Mind az elektron, mind a pozitron egy féligáteresztő
tükörre esik. A tükör a részecskét két állapot szuper- pozíciójába viszi. A részecskék ebben az állapotban haladnak egy-egy csatornán. Az interferométer az út végén újra összehozza a két részecskét. Az ütközés eredménye attól függ, milyen állapotban vannak a részecskék. Ha a részecske zavartalanul utazik, akkor a C detektorba jut, ha viszont kölcsönhatásba lépett más részecskével vagy térrel, akkor a D detektorba jut. Ha az interferométer két csatornáját úgy képezzük ki, hogy azok találkoznak, akkor a találkozás helyén szétsugárzódnak. Ritkán, de előfordulhat, hogy mind- két részecske a D detektorba jut, azaz, találkoztak, de nem sugárzódtak szét. Vagyis, a kölcsönhatás úgy is vizsgálható, hogy mindkét részecske megmarad az eredeti állapotában. (2xD „jel” a mérés eredménye) Makai M: Neutrontranszport

8 Amennyiben a részecskeszám megmarad, a fázistérbeli sűrűség
Liouville-tétel Amennyiben a részecskeszám megmarad, a fázistérbeli sűrűség nem változhat: A mozgásegyenletekből pedig tudjuk: Amennyiben at S rendszer termodinamikai egyensúlyban van, bármely lehetséges állapota egyenlően valószínű. (Posztulátum) Ezért csak olyan állapotokkal foglalkozunk, ahol a fluktuációk kicsik. Makai M: Neutrontranszport

9 Milyen mennyiségeket lehet megfigyelni?
A mérésekben makroszkopikus mérőberendezés lép kölcsönhatásba a vizsgált S rendszerrel. A mért jel (VÁLASZ) a következő alakú: S-re jellemző eloszlás fv. a berendezés térfogata a berendezés paramétere Példa: 1,neutrongázban: reakciógyakoriság, ott B=neutron hkrm 2, fémben vezetőképesség mérés: B-külső térerő, a válasz: elektro- mos áram Makai M: Neutrontranszport

10 Lineáris válasz A mérés úgy történik, hogy egy makroszkopikus gerjesztés hat az S rendszerre és mérjük annak válaszát. A gerjesztés annyit jelent, hogy a Hamilton-operátor H0H0+AF(t) módon megváltozik. Példa: Ha F(t) elektromos tér, akkor A a csatolást biztosító dipól-momentum (S egyik paramétere). A változás hatására S-ben is változások mennek végbe. Figyeljük meg a B mennyiség változását: Itt B0 az egyensúlyi érték. Ha F nem túl erős (az elektromos példa esetén j=sE) Általában: válaszfüggvény Makai M: Neutrontranszport

11 A transzportelmélet tárgya:
g fotonok transzportja (sugárvédelem, orvosi vizsgálatok,csillagá- szat) neutronok transzportja (reaktorfizika, plazmafizika, anyagszerke- zet vizsgálata neutronokkal) elektrontranszport (különleges mikroelektronika tervezése) anyagáramlás (folyadékok és gázok áramlása extrém körülmények között) Az előadásban többnyire csak általános kérdéseket érintünk, egyes módszereket viszont a neutrontranszport keretében dolgoztak ki (pl. aszimptotikus elmélet). Makai M: Neutrontranszport

12 Boltzmann-féle transzportegyenlet
Legyen N molekula V térfogatban, a hőmérséklet legyen kellően magas, a sűrűség pedig kellően alacsony ahhoz, hogy a molekulá- kat lokális hullámcsomagként lehessen kezelni. Ennek feltétele, hogy a molekulák közötti távolsághoz képest a de Brogli-féle hullámhossz legyen kicsi: Ebben a közelítésben a molekulát klasszikus részecskének lehet tekinteni, tehát lehet pontosan meghatározott helye és impulzusa. A molekulák között csak az ütközések révén van kcshatás, ennek hkrm-e adott (s). A molekulákat egyformának tekintjük. Az edény faláról csak rugalmas visszaverődés lehetséges. A gázt sűrűség- függvénnyel írjuk le. N>>1, az infinitezimális térfogat d3r~10-10 cm3. Makai M: Neutrontranszport

13 A gáz leírására f(r,v,t)-t használjuk, a független változókat m-tér
elemeinek nevezzük. Az (r és v) változókat egyenlő cellákra osztjuk, az integrált összeggel helyettesítjük. f normálását így választjuk: Ha a molekulák egyenletesen vannak elosztva V-ben, akkor Feladat: meghatározni f(r,v,t)-t adott kcshatás esetén. Mivel t→ esetén f(r,v,t) meghatározza S minden egyensúlyi paraméterét, a kinetikus elmélet nem független a termodinamikai leírástól. Első lépésként vizsgáljuk meg, milyen egyenletből határozható meg az eloszlásfüggvény! Makai M: Neutrontranszport

14 Kezdjük a kcshatás mentes esettel. Ekkor dt idő alatt:
Az ütközések leírására bevezetjük a ütközési sebességet, amivel Makai M: Neutrontranszport

15 Az ütközési integrálok kiszámítása
v1 v1’ v2’ v2 + ugyanez a ‘ sebességekre is V=V’ és |u|=|u’|. Továbbá, d3v1d3v2=d3v1’d3v2-ből következik: d3Vd3u=d3V’d3u’. Makai M: Neutrontranszport

16 A reakciógyakoriság kiszámítása
A reakciógyakoriság |u|-tól függ, V-től nem. Legyen u=W|u|, ekkor az 1 sec alatt (W,W+dW) térszögbe szóródott moleku- lák számát Adja meg, itt I-az 1 cm2-en 1 sec alatt beeső molekulák száma, s(W) a differenciális hkrm, mérhető mennyiség. Legyen A v2-v1 és v2’-v1’ vektorok által bezárt szög A hkrm rendelkezik az alábbi szimmetriákkal: Időtükrözés: Térbeli forgatás: Makai M: Neutrontranszport

17 Az ütközési integrál kiszámításához az alábbi feltevésekkel élünk:
Fordított ütközés: Az ütközési integrál kiszámításához az alábbi feltevésekkel élünk: csak bináris ütközéseket veszünk figyelembe az edény falának hatását elhagyjuk feltesszük: a szórási folyamatra külső erők nem hatnak a molekula sebessége nem függ a térbeli helyétől Az utolsó feltevés rögzíti a molekuláris káoszt. Az r körüli d3r-ben található (v1,v1+d3v1) sebességű és az r körüli d3r-ben található (v2,v2+d3v2) sebességű molekula- párok száma Makai M: Neutrontranszport

18 Határozzuk meg, a v1 sebességű molekulákra eső v2 sebességű
molekulák áramát: A dt idő alatti ütközések száma: Az Rkid3v1 tagot ebből úgy kapjuk, hogy integrálunk v2-re és megszorozzuk f(r,v1,t)-vel: Az Rbed3v1 tagot analóg módon állíthatjuk elő: Makai M: Neutrontranszport

19 A c szimmetria miatt s’=s, b miatt
A Liouville-tétel miatt az infinitezimális térfogatok azonosak. Ezért: Az ütközési integrál Rbe-Rki,ezért stb. Makai M: Neutrontranszport

20 Ezzel a sűrűségfüggvényre vonatkozó Botzmann-egyenlet:
Makai M: Neutrontranszport