2004/2005. II. félév. Fizikai paradoxonok.

Az előadások a következő témára: "2004/2005. II. félév. Fizikai paradoxonok."— Előadás másolata:

1 2004/2005. II. félév. Fizikai paradoxonok

2 2004/2005. II. félév. Fizikai paradoxonok

3 FIZIKAI PARADOXONOK Escher Escher paradoxiális rajza
2004/2005. II. félév. Fizikai paradoxonok

4 Gladiátor Kiadó, Budapest, 1994. 16.old.
Mottó: „A legszebb, amit megérthetünk az élet titkának keresése. Ez az alapérzés, amely az igazi művészet és tudomány bölcsőjénél jelen van. Aki ezt nem ismeri, aki nem tud csodálkozni, elámulni az - hogy úgy mondjam – halott, és szeme kialudt.” Albert Einstein: Hogyan látom a világot? Gladiátor Kiadó, Budapest, old. 2004/2005. II. félév. Fizikai paradoxonok

5 2004/2005. II. félév. Fizikai paradoxonok

6 A legtöbb tudomány története (a matematikáé is) PARADOXONOK története
A legnagyobb felfedezések általában a legnagyobb PARADOXONOKAT oldják meg Szókratész tanítási módszere, amely paradoxonokon keresztül vezetett új igazságok felismeréséhez, éppen ezért a legmélyebben gyökerező tanítási módszer, mert magának a megismerésnek az útja is paradoxonokra épül 2004/2005. II. félév. Fizikai paradoxonok

7 Példa: Pythagoreusok - összemérhetetlenségi paradoxon (inkommenzurábilitás, a négyzet átlója és oldala) „A tudományos igazságok mindig paradoxiálisak, ha okoskodásunk a köznapi tapasztalatokra támaszkodik, amely a dolgoknak csupán csalóka látszatát ragadja meg.” (K. Marx) 2004/2005. II. félév. Fizikai paradoxonok

8 Ellentmondásmentesség!
Mi lenne a jó cím??? Fizikai paradoxonok Paradoxonok a fizikában (????) Ellentmondásmentesség! 2004/2005. II. félév. Fizikai paradoxonok

9 Paradoxon: A gondolkodásunkban meglévő ellentmondás (?)
2004/2005. II. félév. Fizikai paradoxonok

10 A „Fizikai paradoxonok” című kurzus tematikája
BEVEZETÉS meglepő jelenségek, paradox viselkedések Furfangos forgó (keltai kő) Ingatag inga Gügye golyók Kettős szivornya Elektromos gyertya 2004/2005. II. félév. Fizikai paradoxonok

11 Paradoxon Ellentmondás Antinómia Apória Fallácia
A PARADOXON FOGALMA ÉS VELE ROKON FOGALMAK Paradoxon Ellentmondás Antinómia Apória Fallácia 2004/2005. II. félév. Fizikai paradoxonok

12 LOGIKAI, SZEMANTIKAI ÉS MÁS PARADOXONOK
Epimenidész, a krétai mondta: „Minden krétai hazudik.” „Én most hazudok.” Prótagórasz és tanítványa Sancho Panza és a híd A falu fodrásza A polgármesterek városának polgármestere A Russel-féle antinómia (az összes rendes halmazok halmaza) 2004/2005. II. félév. Fizikai paradoxonok

13 ÚTON A FIZIKAI PARADOXONOK FELÉ
Halom paradoxon („Szoritész”) Kopasz paradoxon („Calvus”) Elmosódott határú kijelentések Az éleai Zénon apóriái Sokságellenes apória Mozgásellenes apóriái Dichotomia Akhilleusz és a teknős A repülő nyíl Sztadion 2004/2005. II. félév. Fizikai paradoxonok

14 Égi mechanikai paradoxon Pascal-féle paradoxon
FIZIKAI PARADOXONOK Labda a labdán Vizuális paradoxon Zenei paradoxon Égi mechanikai paradoxon Pascal-féle paradoxon Hidrosztatikai paradoxon Zsukovszkij-féle paradoxon 2004/2005. II. félév. Fizikai paradoxonok

15 Aerodinamikai paradoxon Hidrodinamikai paradoxon Bánki-féle paradoxon
Két-buborék paradoxon Iker paradoxon A földi elektrosztatikus tér paradoxona A soros kapcsolás paradoxona Boucherot-féle paradoxon Olbers-féle paradoxon 2004/2005. II. félév. Fizikai paradoxonok

16 Energia-lejtő paradoxon Feynmann-féle paradoxon
A Brown-mozgás (a bolyongás) paradoxonja Gibbs-féle paradoxon D’Alembert-féle paradoxon Einstein-Podolsky-Rosen-féle (EPR) paradoxon Schrödinger macskája A polarizációlátás UV-paradoxona 2004/2005. II. félév. Fizikai paradoxonok

17 BEVEZETÉS néhány motiváló jelenség
Ingatag inga Furfangos forgó (keltai kő) Gügye golyók Kettős szivornya Elektromos gyertya 2004/2005. II. félév. Fizikai paradoxonok

18 Más elnevezés: keltai kő
Furfangos forgó Más elnevezés: keltai kő 2004/2005. II. félév. Fizikai paradoxonok

19 A szivornya Szifon (szivornya) HÉRON szívás Működési elv: HORROR VACUI
(Alexandria, Kr.u. I. század) Működési elv: HORROR VACUI A természet irtózik az űrtől szívás 2004/2005. II. félév. Fizikai paradoxonok

20 A kettős szivornya Más elnevezés: automatikus szivattyú
2004/2005. II. félév. Fizikai paradoxonok

21 Az elektromos gyertya kapcsolása
megvilágító fotodióda C fény B: bázis C: kollektor E: emitter B izzó E BD 139 tranzisztor - + K 4,5 V 2004/2005. II. félév. Fizikai paradoxonok

22 LOGIKAI, SZEMANTIKAI ÉS MÁS PARADOXONOK
2004/2005. II. félév. Fizikai paradoxonok

23 A hazug (a hazudós) paradoxon
Epimenidész, a krétai azt mondta: „Minden krétai hazudik.” 2004/2005. II. félév. Fizikai paradoxonok

24 A hazug (hazudós) paradoxon egy újabb keletű megfogalmazását Pál apostol Títushoz írt levelében olvashatjuk (Tít. 1, ): 12. Azt mondta valaki közülök, az ő saját prófétájok: A krétaiak mindig hazugok, gonosz vadak, rest hasak. 13. E bizonyság igaz: annakokáért fedd őket kímélés nélkül, hogy a hitben épek legyenek. 2004/2005. II. félév. Fizikai paradoxonok

25 A hazug (a hazudós) paradoxon
Epimenidész, a krétai azt mondta: „Minden krétai hazudik.” Mivel Epimenidész krétai, így ő is hazudik, tehát minden kijelentése, így a fentebbi is hamis. Ha hamis, akkor az azt jelenti, hogy minden (?) krétai igazat mond. De ha minden krétai igazat mond, akkor Epimenidész minden kijelentése, így a fentebbi is igaz, tehát minden krétai hazudik. De ha minden krétai hazudik, akkor Epimenidész is hazudik, tehát minden kijelentése, így a fentebbi is hamis, azaz igazat mond … 2004/2005. II. félév. Fizikai paradoxonok

26 A hazudós paradoxon „erősebb” megfogalmazásai:
„Én most hazudok!” Mi okozhatja az ellentmondást? 2004/2005. II. félév. Fizikai paradoxonok

27 Találós kérdés: Mi az, ami a majomnak elől is és hátul is, a menyasszonynak csak elől, vőlegénynek se elől, se hátul nincsen? 2004/2005. II. félév. Fizikai paradoxonok

28 Majom Menyasszony Vőlegény 2004/2005. II. félév. Fizikai paradoxonok

29 A nyelv szintjei: lingvisztikai szint - ‘hó’ konceptuális szint - ‘’hó’’ az objektív valóság szintje - hó Tárgynyelv: a valóságra vonatkozó kijelentések Metanyelv: a valóságra tett ismeretekre vonatkozó kijelentések A hó fehér! 2004/2005. II. félév. Fizikai paradoxonok

30 A hazudós paradoxon „erősebb” megfogalmazásai:
[Ezen a vásznon a szögletes zárójelbe tett kijelentés téves!] 2004/2005. II. félév. Fizikai paradoxonok

31 írja Tarski (neves filozófus),
A hazug paradoxon, írja Tarski (neves filozófus), „meggyötört sok ókori logikust, és legalább egynek a halálát is okozta, nevezetesen a kószi Philétoszét” 2004/2005. II. félév. Fizikai paradoxonok

32 Prótagórász és tanítványa
2004/2005. II. félév. Fizikai paradoxonok

33 Prótagórász jogászmesterséget is tanított
Prótagórász jogászmesterséget is tanított. Amikor tanítványa, Euathalosz befejezte tanulmányait, megállapodtak abban, hogy a tanítvány csak akkor fizeti ki a tandíjat, miután megnyerte élete első perét, de akkor feltétlenül. Telt-múlt az idő, de a tanítvány csak nem fizetett, már csak azért sem, mert nem folytatott jogászi tevékenységet. Megelégelte mindezt a mester, és elhatározta, hogy beperli a tanítványt, bízva abban, hogy akkor a pénzéhez juthat. 2004/2005. II. félév. Fizikai paradoxonok

34 Hogyan dönt a bíróság?? Ha a bíróság Prótagórász mellett teszi le voksát, akkor a tanítványnak fizetnie kell. Ám ekkor a tanítvány elvesztette élete első perét, tehát a köztük meglevő egyezség alapján nem kell fizetnie. Ha a tanítványnak adnak a bírák igazat, akkor a döntés alapján nem kell fizetnie a tanítványnak, de így meg a megállapodás alapján kell fizetnie, hiszen megnyerte élete első perét. 2004/2005. II. félév. Fizikai paradoxonok

35 Sancho Panza és a híd 2004/2005. II. félév. Fizikai paradoxonok

36 Sancho Panza kormányzó lesz egy szigeten
Sancho Panza kormányzó lesz egy szigeten. A szigetlakók vizsgáztatják Sanchot. A szigeten van egy híd, amin az áthaladni szándékozó csak akkor mehet át, ha arra a kérdésre, hogy miért jött, az igazat mondja. Ellenkező esetben a hídfőben álló akasztófára felakasztják. 2004/2005. II. félév. Fizikai paradoxonok

37 Mi történjék a vándorral?
Egy alkalommal vándor érkezik, aki a feltett kérdésre így válaszol: Azért jöttem, hogy erre az akasztófára felakasszanak. Mi történjék a vándorral? Ha felakasztják, akkor igazat mondott, tehát át kell őt engedni a hídon. Ha átmehet a hídon, akkor nem mondott igazat, tehát a rendelkezés értelmében fel kell őt akasztani. 2004/2005. II. félév. Fizikai paradoxonok

38 Hogyan döntött Sancho Panza???
2004/2005. II. félév. Fizikai paradoxonok

39 Ki borotválja a borbélyt?
A falu fodrásza Egy falu fodrászát megkérdezik, hogy megy a sora? Válasza: „Rendben van minden, hiszen én azokat és csak azokat a falubéli lakókat (férfiakat) borotválom, akik nem maguk borotválkoznak.” Ki borotválja a borbélyt? 2004/2005. II. félév. Fizikai paradoxonok

40 Hova tartozik a fodrász???
Azok, akik nem maguk borotválkoznak Azok, akik maguk borotválkoznak 2004/2005. II. félév. Fizikai paradoxonok

41 A polgármesterek városának polgármestere
Egy ország lakói városokban élnek. Az uralkodó kiadja az 1. számú rendeletét: Minden városnak polgármestert kell választania. A választások megtörténnek, és lettek olyan polgármesterek, akik nem abban a városban lettek polgármesterek, ahol laknak, azaz nem saját városukban. Bizonyos okok miatt az uralkodó kiadja 2. számú rendeletét: Mindazok számára, akik nem lakóhelyükön lettek polgármesterek, létre kell hozni a polgármesterek városát, ahol tehát azok és csak azok lakhatnak, akik nem saját városukban polgármesterek. 2004/2005. II. félév. Fizikai paradoxonok

42 Hol lakjon ez a polgármester?
Az 1. számú rendelet szerint ennek a városnak is polgármestert kell választania. Hol lakjon ez a polgármester? Itt nem lakhat, mert a 2. számú rendelet alapján itt csak azok a polgármesterek lakhatnak, akik nem saját városukban lettek polgármesterek. Más városban sem lakhat, ugyanis ekkor ugyancsak a 2. számú rendelet alapján itt kell laknia. 2004/2005. II. félév. Fizikai paradoxonok

43 Russel-féle antinómia
Bertrand Russel (1872 – 1970) Brit matematikus és filozófus Irodalmi Nobel-díjas (1950) 2004/2005. II. félév. Fizikai paradoxonok

44 Nem-rendes (tartalmazkodó) halmaz: elemként tartalmazza önmagát - H0H
Rendes (nem-tartalmazkodó, [az elnevezés Kalmár Lászlótól]) halmaz: elemként nem tartalmazza önmagát HóH Nem-rendes (tartalmazkodó) halmaz: elemként tartalmazza önmagát H0H Pl.: a kávéskanalak halmaza rendes halmaz, hiszen ez a halmaz nem-kávéskanál, de a nem-kávéskanalak halmaza szintén nem-kávéskanál, tehát tartalmazza önmagát, így nem-rendes halmaz 2004/2005. II. félév. Fizikai paradoxonok

45 Tekintsük az összes rendes halmazok N halmazát!
Kérdés: ez a halmaz rendes vagy nem-rendes? Válasz: Indirekt bizonyítással bizonyítjuk, hogy N rendes. Mert ha feltesszük az ellenkezőjét, azaz hogy N0N, akkor, mivel N minden eleme rendes halmaz, kapjuk, hogy N sem nem-rendes, azaz hogy NóN. Indirekt bizonyítással bizonyítjuk, hogy N nem-rendes. Mert ha feltesszük az ellenkezőjét, azaz hogy NóN, akkor tudván, hogy N minden rendes halmazt tartalmaz, önmagát is tartalmaznia kell elemként, azaz N0N. 2004/2005. II. félév. Fizikai paradoxonok

46 ÚTON A FIZIKAI PARADOXONOK FELÉ
2004/2005. II. félév. Fizikai paradoxonok

47 Halom paradoxon („Szoritész”)
Eubulidész ógörög filozófus felteszi a kérdést: „Egy szem mag vajon halom-e?” „Nem.” „Hát még egy szem?” „Az sem.” A kezdetben feltett kérdést sokszor megismétli, míg végül el kell ismerni, hogy valamilyen újabb szem hozzáadása eredményeként olyasmi jött létre, amit kezdetben tagadtunk: vagyis egy halom gabonaszem. 2004/2005. II. félév. Fizikai paradoxonok

48 Kopasz („Calvus”) paradoxon
Eubilidész egy másik eszmefuttatása: Ha valaki kitépi egy embernek egy szál haját, nem változtatja az illetőt kopasszá; kérdés: mikor változik kopasszá, ha szálanként tépdesik ki haját? 2004/2005. II. félév. Fizikai paradoxonok

49 Hegel szerint a fentebb vizsgált „különös”, tréfának látszó kérdés mögött a tárgy minőségi és mennyiségi változásai kölcsönös kapcsolatának fontos problémája rejlik. 2004/2005. II. félév. Fizikai paradoxonok

50 Elmosódott határú kijelentések Minden ember magas (alacsony)
Képzeljünk el két embert, akik közül az egyik 1 mm-rel magasabb, mint a másik. Ha az egyikük 195 cm, a másik pedig 1 mm-rel alacsonyabb, akkor mindketten magasak. Tekintsük a testmagasságoknak egy 195 cm-től induló csökkenő sorozatát, amelyben a szomszédos tagok különbsége mindig 1 mm. Egy 195 centis ember nyilvánvalóan magas. Feltevésünk szerint ekkor magasnak számít a 194,9 cm magas személy is. Ha viszont az utóbbiak magasak, akkor magasak a náluk mm-rel alacsonyabbak is. A gondolatmenet folytatható, és hamarosan ahhoz az abszurd állításhoz érkezünk, hogy a 155 cm-es emberek is magasnak nevezendők – tehát valóban, mindenki magas. 2004/2005. II. félév. Fizikai paradoxonok

51 A látható fény spektruma és a színek
Thészeusz hajója A látható fény spektruma és a színek 2004/2005. II. félév. Fizikai paradoxonok

52 Az éleai Zénon apóriái 2004/2005. II. félév. Fizikai paradoxonok

53 A görög filozófia szinterei, köztük ÉLEA
2004/2005. II. félév. Fizikai paradoxonok

54 Az éleai iskola Az iskola fő képviselője:
PARMENIDÉSZ (Kr.e. 540 – Kr.e. 515(?)) A létező egy és mozdulatlan A létező attributumai: Egész Végtelen A létező változó világként érzékeink torzítása miatt jelenik meg változó világként 2004/2005. II. félév. Fizikai paradoxonok

55 Mozgásellenes apóriák
A parmenidészi bölcselet védelmezője: ZÉNON Mesterének állításait az ún. APÓRIÁkkal indirekt módon bizonyítja Sokságellenes apória Mozgásellenes apóriák 2004/2005. II. félév. Fizikai paradoxonok

56 Akhilleusz és a teknősbéka
Mozgásellenes apóriái: Dichotomia Akhilleusz és a teknősbéka Sztadion A repülő nyíl 2004/2005. II. félév. Fizikai paradoxonok

57 Zénon apóriái - amelyek Arisztotelész közvetítésével maradtak fenn az utókorra - sok fejtörést okoztak a filozófusoknak. Általánosan elfogadott megoldásuk (talán még) ma sincs. A következőkben Ruzsa Imre műve alapján, matematikai elemzés segítségével olyan megoldást ismertetünk, amely sokak számára meggyőző és elfogadható. 2004/2005. II. félév. Fizikai paradoxonok

58 A Zénon apóriák tárgya közös: a mozgás, a tér, az idő
Felfogásunk a térről és az időről: A tér és az idő lehet folytonos, azaz végtelenül osztható (nincs legkisebb, már tovább nem osztható tér- és időintervallum) A tér és az idő megszakított, nem folytonos, azaz „atomos” (van tehát olyan legkisebb tér- és időintervallum, amely már tovább nem osztható, nevezzük ezeket „tératomnak” és „időatomnak”.) 2004/2005. II. félév. Fizikai paradoxonok

59 A tér és az idő folytonos, azaz érvényes a végtelen oszthatóság elve
1. feltevés: A tér és az idő folytonos, azaz érvényes a végtelen oszthatóság elve 2004/2005. II. félév. Fizikai paradoxonok

60 1. Dichotomia (felezés) Ha elfogadjuk a végtelen oszthatóság elvét, akkor a mozgás lehetetlen. Mert tegyük föl, hogy egy d távolságot kell megtennünk. Hogy megtehessük, előbb meg kell tenni a felét, a d/2 távolságot, hogy ezt bejárjuk, ahhoz előbb be kell járni ennek felét, a d/4 távolságot, de ennek feltétele, hogy előbb a felét, a d/8 távolságot befussuk, és így tovább, a végtelenségig. 2004/2005. II. félév. Fizikai paradoxonok

61 Meg kell tenni az AB = d távolságot
F2 F1 F A B d/2 Fi : felezőpont 2004/2005. II. félév. Fizikai paradoxonok

62 A felezést bármeddig folytathatjuk, a d távolság megtételének a feltételeit is vég nélkül sorolhatjuk föl, a feltételek e visszafelé haladó láncolatában nincs első feltétel. Mivel nincs első feltétel, azt nem is lehet teljesíteni, de hát akkor egyetlen kikötésünk sem teljesül (hiszen bármelyiknek előfeltétele a megelőző feltétel teljesülése). Így a d távolságot nem lehet megtenni, a mozgás lehetetlen, mert nem lehet elindulni. 2004/2005. II. félév. Fizikai paradoxonok

63 2004/2005. II. félév. Fizikai paradoxonok

64 2. Akhilleusz és a teknősbéka
A: Akhilleusz T: teknősbéka A d A1 d1 A2 T T1 T2 d : a teknősbéka előnye 2004/2005. II. félév. Fizikai paradoxonok

65 2004/2005. II. félév. Fizikai paradoxonok

66 A trójai háború hőse, a gyors lábú Akhilleusz, nem képes utolérni a lomha teknőst, ha annak bármely csekély előnye van. Mert tegyük fel, hogy a teknős előnye a d távolság. Amíg Akhilleusz befutja a d távolságot, addig a teknős előrecammog valamennyit, mondjuk d1 távolságot. Amíg Akhilleusz ezt megteszi, addig a teknős előrehalad d2-t, és így tovább, a végtelenségig. Bármely csekélyre zsugorodik is a teknős előnye, e csekély távolságnál is van kisebb - a végtelen oszthatóság elvének elfogadásával-, tehát amíg Akhilleusz ezt megteszi, addig a teknős képes egy újabb, bár kisebb előnyre szert tenni. Tehát Akhilleusz sohasem éri utól a teknőst, a mozgást nem képes befejezni. A mozgás tehát nem létezik, hiszen ha létezik, nem lehet megállni. 2004/2005. II. félév. Fizikai paradoxonok

67 A tér és az idő atomos, azaz a végtelen oszthatóság elve nem érvényes
2. feltevés: A tér és az idő atomos, azaz a végtelen oszthatóság elve nem érvényes 2004/2005. II. félév. Fizikai paradoxonok

68 3. Sztadion (A sztadion jelentése: hosszmérték, futópálya)
Tegyük fel, hogy három párhuzamos sorban lovasok állnak, az alábbi ábrának megfelelően: Két lovas távolsága mindhárom sorban állandó, legyen ez a távolságegység. A B és C sorok egyszerre megindulnak, és egyenlő sebességgel haladnak a nyíllal megjelölt irányban, az A sor nyugalomban marad. 2004/2005. II. félév. Fizikai paradoxonok

69 A mozgás az alábbi ábrának megfelelően fejeződik be.
A B sor lovasai megállapíthatják helyzetüket az A sorral illetve a C sorral összehasonlítva. Az elmozdulás 2 illetve 4 egység. Így bebizonyosodott, hogy 2 = 4, de ez ellentmondás, tehát a mozgás lehetetlen. 2004/2005. II. félév. Fizikai paradoxonok

70 4. A repülő nyíl 2004/2005. II. félév. Fizikai paradoxonok

71 Amíg egy test önmagával egyenlő helyet foglal el, nincs mozgásban
Amíg egy test önmagával egyenlő helyet foglal el, nincs mozgásban. A repülő nyíl minden időpillanatban önmagával egyenlő helyet foglal el. Így a repülő nyíl nincs mozgásban, a mozgás csak látszat, nem létezik. 2004/2005. II. félév. Fizikai paradoxonok

72 A szinópéi filozófus, Diogenész és tanítójának története
Diogenész, amikor tanítója elmondta neki Zénon apóriáit, felkelt és ide-oda járkálni kezdett, hogy saját mozgásával cáfolja meg Zénon következtetéseit. Válaszul tanítója botot ragadott és verni kezdte növendékét. Miért? Azért, hogy ez utóbbi gondolkozzék és megtanulja logikusan megcáfolni más gondolkodó nézeteit. (A görögöknél csak észérvekre lehetett hivatkozni, az érzékelésünket megcsaló érzékszervekre, a tapasztalatra pedig nem.) 2004/2005. II. félév. Fizikai paradoxonok

73 A Zénon apóriák elemzése
2004/2005. II. félév. Fizikai paradoxonok

74 1. Dichotomia elemzése Leszálló eseménysorozat:
Esemény: egy távolság megtétele D → eljutni B-be (a d távolság megtétele) D1 → eljutni F1-be (a d/2 távolság megtétele) D2 → eljutni F2-be (a d/4 távolság megtétele) Leszálló eseménysorozat: Dn, Dn-1, …, D2, D1, D ha D-nek a feltétele D1, és általában Di-1-nek a föltétele Di (i= 2, 3, 4, . . ., n). Ha Dn nem következik be, akkor D sem következhet be. 2004/2005. II. félév. Fizikai paradoxonok

75 Dn : a sorozat kezdőtagja, D: a sorozat zárótagja
Végtelen leszálló eseménysorozat: … , Dn, Dn-1, …, D2, D1, D (nincs kezdőtag) Ha egy leszálló eseménysorozat kezdőtagja nem következik be, akkor zárótagja sem következhet be. A végtelen leszálló eseménysorozatnak nincs kezdőtagja, tehát az nem is következhet be. Így a zárótagja sem következhet be. 2004/2005. II. félév. Fizikai paradoxonok

76 2. Akhilleusz és a teknős elemzése
Az előnyök befutásához szükséges idők: t =t1 + t2 + … + tn + … = ∞ (????) t1=d/vA vA: Akhilleusz sebessége d1=t1∙vT =d∙vT/vA vT: teknős sebessége t2=d1/vA = (d∙vT/vA)/vA=(d/vA)∙(vT/vA) d2=t2∙vT t3=d2/vA=(d/vA)∙(vT/vA)2 tn=(d/vA)∙(vT/vA)n n= 1, 2, …, 2004/2005. II. félév. Fizikai paradoxonok

77 t= (d/vA)∙∑(vT/vV)i i=0, 1, 2, …, ∞
Feltehető, hogy vA>vT vT/vA < 1 Végtelen mértani sor: ∑(vT/vV)i → 1/(1- vT/vA) , ha i→∞ t→ (d/vA)∙[1/(1- vT/vA)]= d/(vA-vT)≠∞ 2004/2005. II. félév. Fizikai paradoxonok

78 Elfogadnák-e a görögök ezt a cáfolatot?
Tegyük fel, hogy x távolság után befogja Akhilleusz a teknőst! Ekkor fennáll: x=vT∙t d+vT∙t= vA∙t d+x=vA∙t t=d/(vA-vT)≠∞ Elfogadnák-e a görögök ezt a cáfolatot? 2004/2005. II. félév. Fizikai paradoxonok

79 3. Sztadion elemzése Az állítás: a 2 egységnyi hosszúságú út és a 4 egységnyi hosszúságú út ugyanannyi pontból áll, mint ahány pontot tartalmaz a T időszakasz, tehát a 2 egységnyi szakasznak ugyanannyi pontja van, mint a 4 egységinek. Távolság egy pontja: „tératom” (távolságatom) Időpont: „időatom” Logikai ellentmondás 2004/2005. II. félév. Fizikai paradoxonok

80 Ebben az értelmezésben csak egyféle sebesség lehetséges!!!
1 távolságatomot t idő alatt fut be a test, akkor 1 időatom alatt 1/t távolságatomot tesz meg. De a távolságatomnál kisebb távolság nincs, azaz, ha t>1, akkor az 1/t távolság nem létezik. Pl. ha t=3, akkor 1 időatom alatt átugrotta a távolságatomot, 2 időatom alatt pedig „pihent”. 1 időatom alatt d>1 távolságatomot fut be, akkor 1 távolságatomot 1 időatomnál kisebb idő alatt futná be, de 1 időatomnál kisebb időtartam nincs. 2004/2005. II. félév. Fizikai paradoxonok

81 Így bármely mozgás sebessége: 1 távolságatom osztva 1 időatmmal
Így ha feltesszük, hogy a mozgás során a test nem hagy ki atomokat, azaz minden egyes távolságatom befutásához legalább egy időatom szükséges. Így bármely mozgás sebessége: 1 távolságatom osztva 1 időatmmal 2004/2005. II. félév. Fizikai paradoxonok

82 Ha elvetjük az atomos hipotézist, akkor az apória értelme: bármely szakasz pontjainak halmaza ekvivalens 2004/2005. II. félév. Fizikai paradoxonok

83 4. A Nyíl elemzése 2004/2005. II. félév. Fizikai paradoxonok

84 Ajánlott irodalom 2004/2005. II. félév. Fizikai paradoxonok

85 Ajánlott irodalom 2004/2005. II. félév. Fizikai paradoxonok