Gazdaságmatematika 1. szeminárium Rétallér Orsi.

Az előadások a következő témára: "Gazdaságmatematika 1. szeminárium Rétallér Orsi."— Előadás másolata:

1 Gazdaságmatematika 1. szeminárium Rétallér Orsi

2 Tudnivalók a tantárgyról
Szemináriumi diák: Számonkérés: ZH év végén Ponthatárok: : : : : : 5

3 Irodalom Temesi József, Varró Zoltán: Operációkutatás AULA Kiadó, 2007
Wayne L. Winston: Operációkutatás – módszerek és alkalmazások I.-II., AULA Kiadó, 2003

4 Mi a lineáris programozási feladat?
Maximalizáljuk (vagy minimalizáljuk) a döntési változók egy lineáris függvényét. A maximalizálandó vagy minimalizálandó függvényt célfüggvénynek nevezzük. A döntési változók értékeinek ki kell elégíteniük a korlátozó feltételeket. Minden feltételnek vagy lineáris egyenletnek vagy lineáris egyenlőtlenségnek kell lennie.

5 Mi a lineáris programozási feladat?
Minden változóhoz tartozik egy előjelkorlátozás (vagy annak hiánya). Bármely xi változóra az előjelkorlátozás vagy azt írja elő, hogy xi csak nemnegatív lehet (xi ≥ 0), vagy azt írja elő, hogy xi előjelkorlátozatlan.

6 A lineáris programozási feladat feltevései
Arányossági feltevés Additivitási feltevés Oszthatósági feltevés Bizonyossági feltevés

7 Feladat (Winston 3.1) Giapetto Fafaragó Cége kétfajta fából készült játékot gyárt: katonákat és vonatokat. Egy katonát 27$-ért lehet eladni, és előállításához 10$ értékű nyersanyag szükséges. Minden legyártott katona 14$-ral növeli Giapetto bérben jelentkező változó költségét és az általános költséget. Egy vonat 21$-ért adható el, előállításához 9$ értékű nyersanyag szükséges. Minden legyártott vonat 10$-ral növeli a változó- és általános költségeket.

8 Feladat (Winston 3.1) A fakatonák és favonatok gyártása kétféle szakképzett munkát igényel: fafaragó és felületkezelő munkát. Egy katona előállításához 2 óra felületkezelő munka és 1 óra fafaragó munka kell. Egy vonathoz 1 óra felületkezelő és 1 óra fafaragó munka kell. Giapettonak minden héten korlátlan mennyiségű nyersanyag áll rendelkezésére, de csak 100 felületkezelő munkaóra és 80 fafaragó munkaóra használható fel. A vonatok iránti kereslet korlátlan, katonákból azonban legfeljebb csak 40-et vesznek hetente.

9 Feladat (Winston 3.1) Giapetto maximalizálni szeretné a heti profitot (bevételek – költségek). Keressünk Giapetto helyzetének leírására egy olyan matematikai modellt, amely a heti profitot maximalizálja!

10 Mire kell minden lineáris programozási feladatnál figyelni?
Döntési változók Célfüggvény Korlátozó feltételek Előjelkorlátozások

11 Mire kell minden lineáris programozási feladatnál figyelni?
Döntési változók Célfüggvény Korlátozó feltételek Előjelkorlátozások

12 1. feladat (Winston 3.1) Giapetto Fafaragó Cége kétfajta fából készült játékot gyárt: katonákat és vonatokat. Egy katonát 27$-ért lehet eladni, és előállításához 10$ értékű nyersanyag szükséges. Minden legyártott katona 14$-ral növeli Giapetto bérben jelentkező változó költségét és az általános költséget. Egy vonat 21$-ért adható el, előállításához 9$ értékű nyersanyag szükséges. Minden legyártott vonat 10$-ral növeli a változó- és általános költségeket.

13 Mire kell minden lineáris programozási feladatnál figyelni?
Döntési változók Célfüggvény Korlátozó feltételek Előjelkorlátozások

14 1. feladat (Winston 3.1) Giapetto Fafaragó Cége kétfajta fából készült játékot gyárt: katonákat és vonatokat. Egy katonát 27$-ért lehet eladni, és előállításához 10$ értékű nyersanyag szükséges. Minden legyártott katona 14$-ral növeli Giapetto bérben jelentkező változó költségét és az általános költséget. Egy vonat 21$-ért adható el, előállításához 9$ értékű nyersanyag szükséges. Minden legyártott vonat 10$-ral növeli a változó- és általános költségeket.

15 1. feladat (Winston 3.1) Giapetto maximalizálni szeretné a heti profitot (bevételek – költségek). Keressünk Giapetto helyzetének leírására egy olyan matematikai modellt, amely a heti profitot maximalizálja!

16 Mire kell minden lineáris programozási feladatnál figyelni?
Döntési változók Célfüggvény Korlátozó feltételek Előjelkorlátozások

17 1. feladat (Winston 3.1) A fakatonák és favonatok gyártása kétféle szakképzett munkát igényel: fafaragó és felületkezelő munkát. Egy katona előállításához 2 óra felületkezelő munka és 1 óra fafaragó munka kell. Egy vonathoz 1 óra felületkezelő és 1 óra fafaragó munka kell. Giapettonak minden héten korlátlan mennyiségű nyersanyag áll rendelkezésére, de csak 100 felületkezelő munkaóra és 80 fafaragó munkaóra használható fel. A vonatok iránti kereslet korlátlan, katonákból azonban legfeljebb csak 40-et vesznek hetente.

18 Mire kell minden lineáris programozási feladatnál figyelni?
Döntési változók Célfüggvény Korlátozó feltételek Előjelkorlátozások

19 A feladat felírása max z = 3x1 + 2x2 2x1 + x2 ≤ 100 x1 + x2 ≤ 80 x1 ≤ 40 x1 ≥ 0 x2 ≥ 0

20 Grafikus megoldás Lehetséges megoldások halmaza

21 Létezik-e mindig egyértelmű megoldás?

22 Lehetséges LP megoldások
Az LP-nek egyértelmű megoldása van Az LP-nek alternatív optimuma van: végtelen sok megoldása van Az LP nem megoldható: a lehetséges megoldások halmaza üres Az LP nem korlátos

23 Lehetséges LP megoldások
Az LP-nek egyértelmű megoldása van Az LP-nek alternatív optimuma van: végtelen sok megoldása van Az LP nem megoldható: a lehetséges megoldások halmaza üres Az LP nem korlátos

24 Lehetséges LP megoldások
Az LP-nek egyértelmű megoldása van Az LP-nek alternatív optimuma van: végtelen sok megoldása van Az LP nem megoldható: a lehetséges megoldások halmaza üres Az LP nem korlátos

25 Alternatív optimum max z = 4x1 + x2 8x1 + 2x2 ≤ 16 5x1 + 2x2 ≤ 12 x1 ≥ 0 x2 ≥ 0

26 Alternatív optimum

27 Lehetséges alternatív optimumok
Szakasz Félegyenes Egyenes

28 Lehetséges LP megoldások
Az LP-nek egyértelmű megoldása van Az LP-nek alternatív optimuma van: végtelen sok megoldása van Az LP nem megoldható: a lehetséges megoldások halmaza üres Az LP nem korlátos

29 Nem megoldható max z = x1 + x2 x1 + x2 ≤ 4 x1 - x2 ≥ 5 x1 ≥ 0 x2 ≥ 0

30 Nem megoldható

31 Lehetséges LP megoldások
Az LP-nek egyértelmű megoldása van Az LP-nek alternatív optimuma van: végtelen sok megoldása van Az LP nem megoldható: a lehetséges megoldások halmaza üres Az LP nem korlátos

32 Nem korlátos max z = -x1 + 3x2 x1 - x2 ≤ 4 x1 + 2x2 ≥ 4 x1 ≥ 0 x2 ≥ 0

33 Nem korlátos

34 Elemi bázistranszformáció
Lineáris egyenletrendszerek megoldása Inverz keresése LP feladatok megoldása

35 Elemi bázistranszformáció
Generáló elemet választunk (≠0) A generáló elem sorát végigosztjuk a generáló elemmel. Minden más elem és a generáló elem meghatároz egy téglalapot. A másik két sarkot összeszorozzuk, majd a generáló elemmel elosztjuk, végül kivonjuk az eredeti elemből. A generáló elem oszlopa eltűnik.

36 Elemi bázistranszformáció
x1 x2 x3 e1 1 2 e2 3 e3 -1

37 Elemi bázistranszformáció
x1 x2 x3 1 2 e2 3 e3 -1

38 Elemi bázistranszformáció
x1 x2 x3 1 2 e2 3 e3 -1

39 Elemi bázistranszformáció
x1 x2 x3 1 2 e2 3 e3 -1

40 Elemi bázistranszformáció
x1 x2 x3 1 2 e2 3 e3 -1

41 Elemi bázistranszformáció
x1 x2 x3 1 2 e2 3 e3 -1

42 Elemi bázistranszformáció
x1 x2 x3 1 2 e2 3 -5 e3 -1

43 Elemi bázistranszformáció
x1 x2 x3 1 2 e2 3 -5 e3 -1

44 Elemi bázistranszformáció
x1 x2 x3 1 2 e2 3 -5 e3 -1

45 Elemi bázistranszformáció
x1 x2 x3 1 2 e2 3 -5 e3 -1

46 Elemi bázistranszformáció
x1 x2 x3 1 2 e2 3 -5 e3 -1

47 Elemi bázistranszformáció
x1 x2 x3 1 2 e2 3 -5 e3 -1

48 Elemi bázistranszformáció
x1 x2 x3 1 2 e2 3 -5 e3 -1

49 Elemi bázistranszformáció
x1 x2 x3 1 2 3 -5 e3 -1

50 Elemi bázistranszformáció
x1 x2 x3 1 2 3 -5 e3 -1

51 Elemi bázistranszformáció
x1 x2 x3 1 2 3 -5 e3 -1

52 Elemi bázistranszformáció
x1 x2 x3 1 2 3 -5 e3 -1

53 Elemi bázistranszformáció
x1 x2 x3 1 2 3 -5 e3 -1

54 Elemi bázistranszformáció
x1 x2 x3 1 2 3 -5 e3 -1 12

55 Elemi bázistranszformáció
x1 x2 x3 1 2 3 -5 e3 -1 12 ≠0 ! Lineárisan független

56 A generálóelem oszlopa
A generálóelem helyére annak reciproka kerül. A generálóelem oszlopát végigszorozzuk a generálóelem reciprokának -1-szeresével

57 Elemi bázistranszformáció
x1 x2 x3 e1 1 2 e2 3 e3 -1 e1 x2 x3 x1 1 2 e2 -3 -5 e3

58 Elemi bázistranszformáció
x2 x3 x1 1 2 e2 -3 -5 e3 e1 e2 x3 x1 1 2 x2 -3 -5 e3 7 -2 12

59 Elemi bázistranszformáció
x3 x1 1 2 x2 -3 -5 e3 7 -2 12 e1 e2 e3 x1 -2/12 4/12 x2 -1/12 2/12 5/12 x3 7/12 1/12

60 Alapfogalmak a szimplex algoritmushoz
Standard (normál) feladat Minden feltétel egyenlőség Minden változó nemnegatív Kiegészítő változó (hiány változó) ui – i. erőforrás fel nem használt mennyisége ui ≥ 0 Kiegyenlítő változó (többlet változó) vi – i. feltétel túlteljesítése vi ≥ 0

61 Alapfogalmak a szimplex algoritmushoz
Bázismegoldás n-m változót 0-nak veszünk Bázisváltozók: m db Nembázis változók: (n-m) db Lehetséges bázismegoldás Bármely olyan bázismegoldás, amelyben minden változó nemnegatív Szomszédos bázismegoldás Szomszédosnak nevezünk két lehetséges bázismegoldást, ha a bázisváltozók halmazában m-1 közös

62 A szimplex algoritmus - általános
Lehetséges bázismegoldás (LBM) keresése Induló lehetséges bázismegoldás Aktuális lehetséges bázismegoldás Optimalitás vizsgálata Ha optimális: kész vagyunk Ha nem optimális, keressünk olyan szomszédos LBM-et, ahol z értéke nagyobb (kisebb) Az előző lépés ismételgetése

63 Feladat – Winston 4.3 A Dakota Bútorkészítő Cég íróaszta- lokat, asztalokat és székeket gyárt. Mindegyik bútortípus gyártásához faanyag és kétféle szakmunka szükséges: durva asztalosmunka és felületkezelés. Az egyes bútortípusok előállításához a különböző erőforrásokból szükséges mennyiséget a következő táblázat adja meg:

64 Feladat – Winston 4.3 Erőforrás Író-asztal Asztal Szék
Faanyag (egység) 8 6 1 Felületkezelés (óra) 4 2 1,5 Asztalos-munka (óra) 0,5

65 Feladat – Winston 4.3 Jelenleg 48 egység faanyag, 20 órányi felületkezelés és 8 órányi asztalos-munka kapacitás áll rendelkezésre. Egy íróasztal 60, egy asztal 30, egy szék pedig 20$-ért adható el. A Dakota cég azt gondolja, hogy íróas-talokra és székekre korlátlan kereslet van, de legfeljebb 5 asztal adható el. Mivel az erőforrásokat már megvásá- rolták, a Dakota cég az összjövedelmet kívánja maximalizálni.

66 A feladat felírása max z = 60x1 + 30x2 + 20x3
8x1 + 6x2 + 1x3 ≤ 48 4x1 + 2x2 + 1,5x3 ≤ 20 2x1 + 1,5x2 + 0,5x3 ≤ 8 x2 ≤ 5 x1, x2, x3≥ 0

67 A szimplex algoritmus – maximalizálandó célfüggvény
LP feladat standard (normál) alakra hozása Állítsunk elő egy LBM-t! Optimalitás vizsgálata Ha optimális: kész vagyunk Ha nem optimális, akkor a következő lépésre megyünk Elemi bázistranszformáció használata, majd az előző lépés megismétlése.

68 A szimplex algoritmus – maximalizálandó célfüggvény
LP feladat standard (normál) alakra hozása Állítsunk elő egy LBM-t! Optimalitás vizsgálata Ha optimális: kész vagyunk Ha nem optimális, akkor a következő lépésre megyünk Elemi bázistranszformáció használata, majd az előző lépés megismétlése.

69 Alapfogalmak a szimplex algoritmushoz
Standard feladat Minden feltétel egyenlőség Minden változó nemnegatív Kiegészítő változó (hiány változó) ui – i. erőforrás fel nem használt mennyisége ui ≥ 0 Kiegyenlítő változó (többlet változó) vi – i. feltétel túlteljesítése vi ≥ 0

70 A feladat felírása max z = 60x1 + 30x2 + 20x3
8x1 + 6x2 + 1x3 ≤ 48 4x1 + 2x2 + 1,5x3 ≤ 20 2x1 + 1,5x2 + 0,5x3 ≤ 8 x2 ≤ 5 x1, x2, x3≥ 0

71 A standard (normál) feladat felírása
z – 60x1 – 30x2 – 20x3 = 0 8x1 + 6x2 + 1x3 + u1 = 48 4x1 + 2x2 + 1,5x3 + u2 = 20 2x1 + 1,5x2 + 0,5x3 + u3 = 8 x2 + u4 = 5 x1, x2, x3≥ 0

72 A kiegészítő változók értékei
u1 = 48 – 8x1 – 6x2 – 1x3 u2 = 20 – 4x1 – 2x2 – 1,5x3 u3 = 8 – 2x1 – 1,5x2 – 0,5x3 u4 = 5 – x2

73 A szimplex algoritmus – maximalizálandó célfüggvény
LP feladat standard (normál) alakra hozása Állítsunk elő egy LBM-t! Optimalitás vizsgálata Ha optimális: kész vagyunk Ha nem optimális, akkor a következő lépésre megyünk Elemi bázistranszformáció használata, majd az előző lépés megismétlése.

74 A standard (normál) feladat felírása
z – 60x1 – 30x2 – 20x3 = 0 8x1 + 6x2 + 1x3 + u1 = 48 4x1 + 2x2 + 1,5x3 + u2 = 20 2x1 + 1,5x2 + 0,5x3 + u3 = 8 x2 + u4 = 5 x1, x2, x3≥ 0

75 LBM előállítása x1 x2 x3 u1 u2 u3 u4 8 6 1 48 4 2 1,5 20 0,5 5 z -60
48 4 2 1,5 20 0,5 5 z -60 -30 -20 Lehetséges bázismegoldás: x1, x2, x3 = 0

76 LBM előállítása x1 x2 x3 u1 8 6 1 48 u2 4 2 1,5 20 u3 0,5 u4 5 z -60
5 z -60 -30 -20 x1 = 0 x2 = 0 x3 = 0 z = 0 BV: u1, u2, u3, u NBV: x1, x2, x3

77 A feladat felírása max z = 60x1 + 30x2 + 20x3
8x1 + 6x2 + 1x3 ≤ 48 4x1 + 2x2 + 1,5x3 ≤ 20 2x1 + 1,5x2 + 0,5x3 ≤ 8 x2 ≤ 5 x1, x2, x3≥ 0

78 A szimplex algoritmus – maximalizálandó célfüggvény
LP feladat standard (normál) alakra hozása Állítsunk elő egy LBM-t! Optimalitás vizsgálata Ha optimális: kész vagyunk Ha nem optimális, akkor a következő lépésre megyünk Elemi bázistranszformáció használata, majd az előző lépés megismétlése.

79 Optimalitás vizsgálata
x1 x2 x3 u1 8 6 1 48 u2 4 2 1,5 20 u3 0,5 u4 5 z -60 -30 -20 x1 –t 1-gyel növelve a célfüggvény 60-nal nő!

80 A szimplex algoritmus – maximalizálandó célfüggvény
LP feladat standard (normál) alakra hozása Állítsunk elő egy LBM-t! Optimalitás vizsgálata Ha optimális: kész vagyunk Ha nem optimális, akkor a következő lépésre megyünk Elemi bázistranszformáció használata, majd az előző lépés megismétlése.

81 A generáló elem meghatározása
Azt a nembázis változót választjuk, melynek együtthatója a célfüggvény sorában levő nempozitív számok közül a legnagyobb abszolútértékű. Hányadosteszttel eldöntjük, hogy az oszlopból melyik elemet válasszuk. (Mindig a legkisebb pozitív értékűt)

82 A generáló elem meghatározása
Azt a nembázis változót választjuk, melynek együtthatója a célfüggvény sorában levő nempozitív számok közül a legnagyobb abszolútértékű. Hányadosteszttel eldöntjük, hogy az oszlopból melyik elemet válasszuk. (Mindig a legkisebb pozitív értékűt)

83 Generáló elem meghatározása
x1 x2 x3 u1 8 6 1 48 u2 4 2 1,5 20 u3 0,5 u4 5 z -60 -30 -20

84 Generáló elem meghatározása
Azt a nembázis változót választjuk, melynek együtthatója a célfüggvény sorában levő nempozitív számok közül a legnagyobb abszolútértékű. Hányadosteszttel eldöntjük, hogy az oszlopból melyik elemet válasszuk. (Mindig a legkisebb pozitív értékűt)

85 Generálóelem meghatározása
x1 x2 x3 u1 8 6 1 48 u2 4 2 1,5 20 u3 0,5 u4 5 z -60 -30 -20 48/8 = 6 20/4 = 5 8/2 = 4

86 Elemi bázistranszformáció
Generáló elem helyére a reciproka kerül. A generálóelem oszlopában minden elemet végigszorzunk a generálóelem reciprokának - 1-szeresével. A generáló elem sorát végigosztjuk a generáló elemmel. Minden más elem és a generáló elem meghatároz egy téglalapot. A másik két sarkot összeszorozzuk, majd a generáló elemmel elosztjuk, végül kivonjuk az eredeti elemből.

87 Elemi bázistranszformáció
x1 x2 x3 u1 8 6 1 48 u2 4 2 1,5 20 u3 0,5 u4 5 z -60 -30 -20 u3 x2 x3 u1 u2 x1 u4 z

88 Elemi bázistranszformáció
Generáló elem helyére a reciproka kerül. A generálóelem oszlopában minden elemet végigszorzunk a generálóelem reciprokának - 1-szeresével. A generáló elem sorát végigosztjuk a generáló elemmel. Minden más elem és a generáló elem meghatároz egy téglalapot. A másik két sarkot összeszorozzuk, majd a generáló elemmel elosztjuk, végül kivonjuk az eredeti elemből.

89 Elemi bázistranszformáció
x1 x2 x3 u1 8 6 1 48 u2 4 2 1,5 20 u3 0,5 u4 5 z -60 -30 -20 u3 x2 x3 u1 u2 x1 0,5 u4 z

90 Elemi bázistranszformáció
Generáló elem helyére a reciproka kerül. A generálóelem oszlopában minden elemet végigszorzunk a generálóelem reciprokának - 1-szeresével. A generáló elem sorát végigosztjuk a generáló elemmel. Minden más elem és a generáló elem meghatároz egy téglalapot. A másik két sarkot összeszorozzuk, majd a generáló elemmel elosztjuk, végül kivonjuk az eredeti elemből.

91 Elemi bázistranszformáció
x1 x2 x3 u1 8 6 1 48 u2 4 2 1,5 20 u3 0,5 u4 5 z -60 -30 -20 u3 x2 x3 u1 -4 u2 -2 x1 0,5 u4 z 30

92 Elemi bázistranszformáció
Generáló elem helyére a reciproka kerül. A generálóelem oszlopában minden elemet végigszorzunk a generálóelem reciprokának - 1-szeresével. A generáló elem sorát végigosztjuk a generáló elemmel. Minden más elem és a generáló elem meghatároz egy téglalapot. A másik két sarkot összeszorozzuk, majd a generáló elemmel elosztjuk, végül kivonjuk az eredeti elemből.

93 Elemi bázistranszformáció
x1 x2 x3 u1 8 6 1 48 u2 4 2 1,5 20 u3 0,5 u4 5 z -60 -30 -20 u3 x2 x3 u1 -4 u2 -2 x1 0,5 0,75 0,25 4 u4 z 30

94 Elemi bázistranszformáció
Generáló elem helyére a reciproka kerül. A generálóelem oszlopában minden elemet végigszorzunk a generálóelem reciprokának - 1-szeresével. A generáló elem sorát végigosztjuk a generáló elemmel. Minden más elem és a generáló elem meghatároz egy téglalapot. A másik két sarkot összeszorozzuk, majd a generáló elemmel elosztjuk, végül kivonjuk az eredeti elemből.

95 Elemi bázistranszformáció
x1 x2 x3 u1 8 6 1 48 u2 4 2 1,5 20 u3 0,5 u4 5 z -60 -30 -20 u3 x2 x3 u1 -4 -1 16 u2 -2 0,5 4 x1 0,75 0,25 u4 1 5 z 30 15 -5 240

96 Elemi bázistranszformáció
u3 x2 x3 u1 -4 -1 16 u2 -2 0,5 4 x1 0,75 0,25 u4 1 5 z 30 15 -5 240

97 Elemi bázistranszformáció
u3 x2 x3 u1 -4 -1 16 u2 -2 0,5 4 x1 0,75 0,25 u4 1 5 z 30 15 -5 240 x1 = 4 x2 = 0 x3 = 0 z = 240 BV: x1, u1, u2, u NBV: x2, x3, u3

98 A szimplex algoritmus – maximalizálandó célfüggvény
LP feladat standard (normál) alakra hozása Állítsunk elő egy LBM-t! Optimalitás vizsgálata Ha optimális: kész vagyunk Ha nem optimális, akkor a következő lépésre megyünk Elemi bázistranszformáció használata, majd az előző lépés megismétlése.

99 Optimalitás vizsgálata
u3 x2 x3 u1 -4 -1 16 u2 -2 0,5 4 x1 0,75 0,25 u4 1 5 z 30 15 -5 240 x3 –t 1-gyel növelve a célfüggvény 5-tel nő!

100 A szimplex algoritmus – maximalizálandó célfüggvény
LP feladat standard (normál) alakra hozása Állítsunk elő egy LBM-t! Optimalitás vizsgálata Ha optimális: kész vagyunk Ha nem optimális, akkor a következő lépésre megyünk Elemi bázistranszformáció használata, majd az előző lépés megismétlése.

101 Generálóelem meghatározása
u3 x2 x3 u1 -4 -1 16 u2 -2 0,5 4 x1 0,75 0,25 u4 1 5 z 30 15 -5 240 16/-1 = -16 4/0,5 = 8 4/0,25 = 16

102 Elemi bázistranszformáció
u3 x2 x3 u1 -4 -1 16 u2 -2 0,5 4 x1 0,75 0,25 u4 1 5 z 30 15 -5 240 u3 x2 u2 u1 x3 x1 u4 z

103 Elemi bázistranszformáció
u3 x2 x3 u1 -4 -1 16 u2 -2 0,5 4 x1 0,75 0,25 u4 1 5 z 30 15 -5 240 u3 x2 u2 u1 x3 2 x1 u4 z

104 Elemi bázistranszformáció
u3 x2 x3 u1 -4 -1 16 u2 -2 0,5 4 x1 0,75 0,25 u4 1 5 z 30 15 -5 240 u3 x2 u2 u1 2 x3 x1 -0,5 u4 z 10

105 Elemi bázistranszformáció
u3 x2 x3 u1 -4 -1 16 u2 -2 0,5 4 x1 0,75 0,25 u4 1 5 z 30 15 -5 240 u3 x2 u2 u1 2 x3 -4 -2 8 x1 -0,5 u4 z 10

106 Elemi bázistranszformáció
u3 x2 x3 u1 -4 -1 16 u2 -2 0,5 4 x1 0,75 0,25 u4 1 5 z 30 15 -5 240 u3 x2 u2 u1 -8 -2 2 24 x3 -4 8 x1 1,5 1,25 -0,5 u4 1 5 z 10 280

107 Elemi bázistranszformáció
u3 x2 u2 u1 -8 -2 2 24 x3 -4 8 x1 1,5 1,25 -0,5 u4 1 5 z 10 280

108 Elemi bázistranszformáció
u3 x2 u2 u1 -8 -2 2 24 x3 -4 8 x1 1,5 1,25 -0,5 u4 1 5 z 10 280 x1 = 2 x2 = 0 x3 = 8 z = 280 BV: x1, x3, u1, u NBV: x2, u2, u3

109 A szimplex algoritmus – maximalizálandó célfüggvény
LP feladat standard (normál) alakra hozása Állítsunk elő egy LBM-t! Optimalitás vizsgálata Ha optimális: kész vagyunk Ha nem optimális, akkor a következő lépésre megyünk Elemi bázistranszformáció használata, majd az előző lépés megismétlése.

110 Optimalitás vizsgálata
u3 x2 u2 u1 -8 -2 2 24 x3 -4 8 x1 1,5 1,25 -0,5 u4 1 5 z 10 280 x1 = 2 x2 = 0 x3 = 8 z = 280 Nincsen negatív elem a célfüggvény sorában: Optimumban vagyunk.

111 Megoldás x1 = 2 x2 = 0 x3 = 8 u1 = 24 u2 = 0 u3 = 0 u4 = 5
z = 60x1 + 30x2 + 20x3 z = 60∙2 + 30∙0 + 20∙8 = 280

112 Lehetséges LP megoldások
Az LP-nek egyértelmű megoldása van Az LP-nek alternatív optimuma van: végtelen sok megoldása van Az LP nem megoldható: a lehetséges megoldások halmaza üres Az LP nem korlátos

113 Lehetséges LP megoldások
Az LP-nek egyértelmű megoldása van Az LP-nek alternatív optimuma van: végtelen sok megoldása van Az LP nem megoldható: a lehetséges megoldások halmaza üres Az LP nem korlátos

114 Lehetséges LP megoldások
Az LP-nek egyértelmű megoldása van Az LP-nek alternatív optimuma van: végtelen sok megoldása van Az LP nem megoldható: a lehetséges megoldások halmaza üres Az LP nem korlátos

115 Alternatív optimum max z = -3x1 + 6x2
5x1 + 7x2 ≤ 35 -x1 + 2x2 ≤ 2 x1, x2 ≥ 0

116 Alternatív optimum – A standard feladat felírása
z + 3x1 – 6x2 = 0 5x1 + 7x2 + u1 = 35 -x1 + 2x2 + u2 = 2 x1, x2 ≥ 0

117 Alternatív optimum – A szimplex tábla
5 7 35 u2 -1 2 z 3 -6

118 Alternatív optimum – A szimplex tábla
5 7 35 u2 -1 2 z 3 -6 x1 = 0 x2 = 0 z = 0 BV: u1, u NBV: x1, x2

119 Alternatív optimum – Generálóelem meghatározása
x1 x2 u1 5 7 35 u2 -1 2 z 3 -6 35/7 = 5 2/2 = 1

120 Alternatív optimum – Elemi bázistranszformáció
x1 x2 u1 5 7 35 u2 -1 2 z 3 -6 x1 u2 u1 x2 z

121 Alternatív optimum – Elemi bázistranszformáció
x1 x2 u1 5 7 35 u2 -1 2 z 3 -6 x1 u2 u1 x2 0,5 z

122 Alternatív optimum – Elemi bázistranszformáció
x1 x2 u1 5 7 35 u2 -1 2 z 3 -6 x1 u2 u1 -3,5 x2 0,5 z 3

123 Alternatív optimum – Elemi bázistranszformáció
x1 x2 u1 5 7 35 u2 -1 2 z 3 -6 x1 u2 u1 -3,5 x2 -0,5 0,5 1 z 3

124 Alternatív optimum – Elemi bázistranszformáció
x1 x2 u1 5 7 35 u2 -1 2 z 3 -6 x1 u2 u1 8,5 -3,5 28 x2 -0,5 0,5 1 z 3 6

125 Alternatív optimum – Elemi bázistranszformáció
x1 u2 u1 8,5 -3,5 28 x2 -0,5 0,5 1 z 3 6

126 Alternatív optimum – Elemi bázistranszformáció
x1 u2 u1 8,5 -3,5 28 x2 -0,5 0,5 1 z 3 6 x1 = 0 x2 = 1 z = 6 BV: u1, u NBV: x1, x2

127 Alternatív optimum – Optimalitás vizsgálata
x1 u2 u1 8,5 -3,5 28 x2 -0,5 0,5 1 z 3 6 Honnan látszik hogy alternatív optimuma lehet?

128 A belépő változó meghatározása
Azt a nembázis változót választjuk, melynek együtthatója a célfüggvény sorában levő nempozitív számok közül a legnagyobb abszolútértékű. Hányadosteszttel eldöntjük, hogy az oszlopból melyik elemet válasszuk. (Mindig a legkisebb pozitív értékűt)

129 Alternatív optimum – Optimalitás vizsgálata
x1 u2 u1 8,5 -3,5 28 x2 -0,5 0,5 1 z 3 6 x1 = 0 x2 = 1 z = 6 x1 –t 1-gyel növelve a célfüggvény 0-val nő!

130 Alternatív optimum – Generálóelem meghatározása
x1 u2 u1 8,5 -3,5 28 x2 -0,5 0,5 1 z 3 6 28/(17/2)= 56/17 1/ (-1/2) = -2

131 Alternatív optimum – Elemi bázistranszformáció
x1 u2 u1 8,5 -3,5 28 x2 -0,5 0,5 1 z 3 6 u1 u2 x1 x2 z

132 Alternatív optimum – Elemi bázistranszformáció
x1 u2 u1 8,5 -3,5 28 x2 -0,5 0,5 1 z 3 6 u1 u2 x1 2/17 x2 z

133 Alternatív optimum – Elemi bázistranszformáció
x1 u2 u1 8,5 -3,5 28 x2 -0,5 0,5 1 z 3 6 u1 u2 x1 2/17 x2 1/17 z

134 Alternatív optimum – Elemi bázistranszformáció
x1 u2 u1 8,5 -3,5 28 x2 -0,5 0,5 1 z 3 6 u1 u2 x1 2/17 -7/17 56/17 x2 1/17 z

135 Alternatív optimum – Elemi bázistranszformáció
x1 u2 u1 8,5 -3,5 28 x2 -0,5 0,5 1 z 3 6 u1 u2 x1 2/17 -7/17 56/17 x2 1/17 5/17 45/17 z 3 6

136 Alternatív optimum – Elemi bázistranszformáció
x1 2/17 -7/17 56/17 x2 1/17 5/17 45/17 z 3 6

137 Alternatív optimum – Elemi bázistranszformáció
x1 2/17 -7/17 56/17 x2 1/17 5/17 45/17 z 3 6 x1 = 56/17 x2 = 45/17 z = 6 BV: x1, x NBV: u1, u2

138 Lehetséges LP megoldások
Az LP-nek egyértelmű megoldása van Az LP-nek alternatív optimuma van: végtelen sok megoldása van Az LP nem megoldható: a lehetséges megoldások halmaza üres Az LP nem korlátos

139 Lehetséges LP megoldások
Az LP-nek egyértelmű megoldása van Az LP-nek alternatív optimuma van: végtelen sok megoldása van Az LP nem megoldható: a lehetséges megoldások halmaza üres Az LP nem korlátos

140 Nem korlátos LP max z = 2x2 x1 – x2 ≤ 4 -x1 + x2 ≤ 1 x1, x2 ≥ 0

141 Nem korlátos LP – A standard feladat felírása
z – 2x2 = 0 x1 – x2 + u1 = 4 -x1 + x2 + u2= 1 x1, x2 ≥ 0

142 Nem korlátos LP – A szimplex tábla
u1 1 -1 4 u2 z -2

143 Nem korlátos LP – A szimplex tábla
u1 1 -1 4 u2 z -2 x1 = 0 x2 = 0 z = 0 BV: u1, u NBV: x1, x2

144 Nem korlátos LP – Generálóelem meghatározása
x1 x2 u1 1 -1 4 u2 z -2 4/(-1)= -4 1/1 = 1

145 Nem korlátos LP – Elemi bázistranszformáció
x1 x2 u1 1 -1 4 u2 z -2 x1 u2 u1 x2 z

146 Nem korlátos LP – Elemi bázistranszformáció
x1 x2 u1 1 -1 4 u2 z -2 x1 u2 u1 x2 1 z

147 Nem korlátos LP – Elemi bázistranszformáció
x1 x2 u1 1 -1 4 u2 z -2 x1 u2 u1 1 x2 z 2

148 Nem korlátos LP – Elemi bázistranszformáció
x1 x2 u1 1 -1 4 u2 z -2 x1 u2 u1 1 x2 -1 z 2

149 Nem korlátos LP – Elemi bázistranszformáció
x1 x2 u1 1 -1 4 u2 z -2 x1 u2 u1 1 5 x2 -1 z -2 2

150 Nem korlátos LP – Elemi bázistranszformáció
x1 u2 u1 1 5 x2 -1 z -2 2 x1 = 0 x2 = 1 z = 2 BV: u1, x NBV: x1, u2

151 Nem korlátos LP – Optimalitás vizsgálata
x1 u2 u1 1 5 x2 -1 z -2 2 Honnan látszik hogy nem korlátos az LP?

152 Nem korlátos LP – Generálóelem választása
x1 u2 u1 1 5 x2 -1 z -2 2 5/0 1/(-1) Nincs eredménye a hányadostesztnek!

153 Minimum feladat felírása – 2 módszer
Minimum feladat átírása maximum feladattá: max (-z) - ekkor a táblát akkor tekintjük optimálisnak, ha a célfüggvény sora mindenütt negatív vagy 0 Minimum feladat célfüggvényének megszorzása -1-gyel - ekkor a táblát akkor tekintjük optimálisnak, ha a célfüggvény sora mindenütt pozitív vagy 0

154 Minimum feladat felírása – feladat
min z = 2x1 – 3x2 x1 + x2 ≤ 4 x1 – x2 ≤ 6 x1, x2 ≥ 0

155 Minimum feladat felírása – 1. módszer
min z = 2x1 – 3x2 x1 + x2 ≤ 4 x1 – x2 ≤ 6 x1, x2 ≥ 0 max – z = – 2x1 + 3x2 z – 2x1 + 3x2 = 0 (akkor optimális, ha a célfüggvény sora mindenütt nempozitív)

156 Minimum feladat felírása – 1. módszer
x1 x2 u1 1 4 u2 -1 6 z -2 3 4/1 = 4 6/(-1) = -6

157 Minimum feladat felírása – 1. módszer
x1 x2 u1 1 4 u2 -1 6 z -2 3 x1 u1 x2 u2 z

158 Minimum feladat felírása – 1. módszer
x1 x2 u1 1 4 u2 -1 6 z -2 3 x1 u1 x2 1 u2 z

159 Minimum feladat felírása – 1. módszer
x1 x2 u1 1 4 u2 -1 6 z -2 3 x1 u1 x2 1 u2 z -3

160 Minimum feladat felírása – 1. módszer
x1 x2 u1 1 4 u2 -1 6 z -2 3 x1 u1 x2 1 4 u2 z -3

161 Minimum feladat felírása – 1. módszer
x1 x2 u1 1 4 u2 -1 6 z -2 3 x1 u1 x2 1 4 u2 2 10 z -5 -3 -12

162 Minimum feladat felírása – 1. módszer
x1 x2 u1 1 4 u2 2 10 z -5 -3 -12 Nincsen pozitív elem a célfüggvény sorában: Optimumban vagyunk.

163 Minimum feladat felírása – 2. módszer
min z = 2x1 – 3x2 x1 + x2 ≤ 4 x1 – x2 ≤ 6 x1, x2 ≥ 0 max z = – 2x1 + 3x2 z + 2x1 – 3x2 = 0 (akkor optimális, ha a célfüggvény sora mindenütt nemnegatív)

164 Minimum feladat felírása – 2. módszer
x1 x2 u1 1 4 u2 -1 6 z 2 -3 4/1 = 4 6/(-1) = -6

165 Minimum feladat felírása – 2. módszer
x1 x2 u1 1 4 u2 -1 6 z 2 -3 x1 u1 x2 u2 z

166 Minimum feladat felírása – 2. módszer
x1 x2 u1 1 4 u2 -1 6 z 2 -3 x1 u1 x2 1 u2 z

167 Minimum feladat felírása – 2. módszer
x1 x2 u1 1 4 u2 -1 6 z 2 -3 x1 u1 x2 1 u2 z 3

168 Minimum feladat felírása – 2. módszer
x1 x2 u1 1 4 u2 -1 6 z 2 -3 x1 u1 x2 1 4 u2 z 3

169 Minimum feladat felírása – 2. módszer
x1 x2 u1 1 4 u2 -1 6 z 2 -3 x1 u1 x2 1 4 u2 2 10 z 5 3 12

170 Minimum feladat felírása – 2. módszer
x1 x2 u1 1 4 u2 2 10 z 5 3 12 Nincsen negatív elem a célfüggvény sorában: Optimumban vagyunk.

171 Minimum feladat felírása – összefoglalva
Nem változtatunk a célfüggvény során, de a tábla akkor optimális, ha nincs benne pozitív elem A célfüggvény sorát megszorozzuk (-1)- gyel, a tábla a szokásos esetben lesz optimális (ha nincs benne negatív elem)