Nemlineáris és komplex rendszerek viselkedése

Az előadások a következő témára: "Nemlineáris és komplex rendszerek viselkedése"— Előadás másolata:

1 Nemlineáris és komplex rendszerek viselkedése
(A káosz)

2 A valódi világ komplex  modelleket alkotunk
fizika műszaki tudományok biológia közgazdaságtan ……...

3 A modell egyszerű  a modellt leíró differenciálegyenlet is egyszerű
lineáris, szétválasztható változójú, ….  analitikusan megoldható

4 Modellek geometriai pont egyenes- tömegpont ponttöltés
harmonikus oszcillátor áramgenerátor ……….

5 Ezek a modellek milyen jól leírják a valóságot.
Ami meglepő Ezek a modellek milyen jól leírják a valóságot.

6 Látott-e már valaki pontot egyenest a kör kerülete = 2R a narancsé?
 ?

7 Mekkora Skandinávia kerülete?
  A gömb felszíne = 4R2 A narancsé?  ?

8 Fizikai rendszerek lineáris oszcillátor: nemlineáris oszcillátor:
(harmonikus rezgőmozgás) nemlineáris oszcillátor: kényszerrezgés: hőtágulás:

9 Az inga Mozgásegyenlet: linearizálás:

10 Az ingaóra Christian Huygens George Graham

11

12 Háromtest probléma

13 Szaporodás

14 Korlátozott szaporodás
Populációnövekedési ráta: ha korlátozó feltétel:

15 Visszacsatolt erősítő
+ 1V r 1-u > > > u u u(1-u) (r=3, )

16 Volterra-egyenlet x - nyúl y - róka

17 Komplex számok iterációja
Mandelbrot: z0 - fix c - változik Julia: z0 - változik c - fix

18 Vizsgálati módszerek Időtartomány - egy állapothatározó és az idô által kifeszített tér, pl. [r(t), t], [x(t), t], [v(t), t], … fázistér - az állapothatározók által kifeszített absztrakt tér, dimenziója megegyezik a rendszer szabadsági fokainak számával, pl. [v(t),r(t)], [P(T),V(T)], ...

19 Definíciók (1) trajektória - a rendszer pályája a fázistérben
attraktor - a fázistér azon alakzata, amely felé a rendszer állapota a vonzástartományba eső kezdőfeltételektől függően konvergál fixpont: az attraktor egyetlen pontból áll határciklus: az attraktor zárt görbe, a rendszer periódikusan oszcillál a fázistérben különös attraktor: végtelen számú egymás melletti rétegbôl álló, nem egész dimenziójú (fraktál természetû) attraktor, a közeli pályák exponenciálisan válnak szét. Kaotikusan viselkedô rendszert ír le.

20 Definíciók (2) bifurkáció - periódus-kettőződés, nem-lineáris egyenletek minőségileg eltérő, új megoldásának megjelenése valamely paraméter változtatásakor. A periódus-kettőződés révén, a bifurkációk végtelen sorozatán át káoszhoz jutunk káosz - a determinisztikus rendszer belső, nem lineáris tulajdonságából adódó szabálytalan (nem periódikus) viselkedése zaj - a rendszer szabálytalan viselkedése külső véletlenszerű hatások (pl. hőmozgás) következtében

21 A dimenzió A Hausdorff-dimenzió általában L - a vonal hossza
l - mértékegység általában d - a tér dimenziója

22 Tört dimenziók

23 Példák d=log(2)/log(3) d=2log(2)/log(3)