LOGIKA.

Az előadások a következő témára: "LOGIKA."— Előadás másolata:

1 LOGIKA

2 Vizsga Előadások: Tankönyv: Internet:
Logika Tankönyv: Madarász T., Pólos L., Ruzsa I.: A logika elemei, Osiris, 2005. Ruzsa I., Máté A.: Bevezetés a modern logikába, Osiris, 1997. Internet: Szabadbölcsészet / Filozófia / Kijelentéslogika:

3 Mi a logika? Régebbi elnevezés:
dialektika (a vitatkozás művészete) analitika (Arisztotelésznél) Logika: az érvényes következtetés elmélete Következtetés: 1. premissza: Ha esik az eső, sáros az út. 2. premissza: Esik az eső. Konklúzió: Sáros az út.

4 Következtetések Érvényes következtetés: Érvénytelen következtetés:
1. premissza: Marci jön a keddi filmre, vagy Marcsi jön a keddi filmre. (Rövidebben: Marci vagy Marcsi jön a keddi filmre.) 2. premissza: Marci nem jön a keddi filmre. Konklúzió: Marcsi jön a keddi filmre. Érvénytelen következtetés: 1. premissza: Ha Marci jön a keddi filmre, akkor Robi nem jön a keddi filmre. 2. premissza: Robi nem jön a keddi filmre. Konklúzió: Marci jön a keddi filmre.

5 Következtetések Érvényes következtetés:
1. premissza: Minden bálna hal. (hamis) 2. premissza: Minden hal szőrös (hamis) Konklúzió: Minden bálna szőrös. (hamis) Ha a premisszák és a konklúzió hamisak, akkor a következtetés még nem feltétlenül érvénytelen. Érvénytelen következtetés: 1. premissza: Minden szamár gerinces. (igaz) 2. premissza: Minden szamár emlős. (igaz) Konklúzió: Minden emlős gerinces. (igaz) Ha a premisszák és a konklúzió igazak, akkor a következtetés még nem feltétlenül érvényes.

6 Mikor érvényes egy következtetés?
Mit értünk azon, hogy az alábbi következtetés érvényes? Ha esik az eső, sáros az út. Esik az eső. Sáros az út. Ha a premisszák igazak, akkor a konklúzió is igaz. Aki elfogadja a premisszák igazságát, annak el „kell” fogadnia a konklúzió igazságát is. „Nem tudunk” elképzelni olyan szituációt, ahol a premisszák igazak, a konklúzió azonban hamis.

7 Tárgysemlegesség 1. premissza: Ha esik az eső, sáros az út.
2. premissza:Esik az eső. Konklúzió: Sáros az út. 1. premissza: Ha dolgozom, elfáradok. 2. premissza: Dolgozom. Konklúzió: Elfáradok. A következtetés sémája: Ha A, akkor B. A B A következtésben csak a logikai szerkezet számít, a tartalom nem!

8 Formalizálás Atomi mondatok: Funktorok: Formulák (összetett mondatok):
p: Esik az eső. q: Sáros az út. Funktorok: ~: nem &: és ∨: vagy ⊃: ha … akkor ≡: akkor és csak akkor Formulák (összetett mondatok): A = p ⊃ q: Ha esik az eső, sáros az út. B = p & ~q: Esik az eső, de (és) nem sáros az út.

9 Formalizálás Természetes nyelvi mondat: Jelölések:
Vagy elhiszed, hogy baj van, és adsz pénzt, hogy segíthessek, vagy nem hiszed el, és megnézheted magad. Jelölések: p: elhiszed, hogy baj van q: adsz pénzt, hogy segíthessek r: megnézheted magad Szerkezet: (p & q) ∨ (~p & r)

10 Formalizálja az alábbi mondatokat!
Visszavárhat Jóska, Sára, Tercsi, Fercsi, Kata, Klára. Vagy most mondasz igazat, de akkor a múlt héten hazudtál, vagy fordítva. Hittem neki, pedig egy férfinak soha nem szabadna hinni Tehetsz rá fokhagymát, friss borsot, esetleg kakukkfüvet vagy bazsalikomot; na meg egy csipet tengeri sót, de bolti jódozottat semmiképp. Vagy Hume téved az emberi természetet illetően, vagy Nietzsche. Vagy egyikük sem téved, csak én vagyok összezavarodva. El is ment a királyhoz, meg nem is; vitt is ajándékot, meg nem is; fel is volt öltözve, meg nem is. Nem igaz, hogy nem volt nyúl a cilinderben. Igenis volt, csak ügyesen elrejtették. Nyulak nem keletkeznek csak úgy hirtelen. Néha a ‘pedig’ ‘és’t jelent, meg a ‘de’ is, de a ‘meg’ is.

11 Érvényes-e az alábbi következtetés?
Ebben a házban nincs más állat, csak macska. Minden állat alkalmas kedvencnek, amelyik szereti a Holdat bámulni. Ha egy állatot utálok, akkor elkerülöm. Minden húsevő éjjel jár a zsákmány után. Nincs olyan macska, amely nem fog egeret. Csak olyan állat vonzódik hozzám, amely a házbeli. A kenguruk nem alkalmasak kedvencnek. Csak húsevő állatok fognak egeret. Utálom azokat az állatokat, amelyek nem vonzódnak hozzám. Azok az állatok, amelyek éjjel járnak zsákmány után, szeretik a Holdat bámulni. Mindig elkerülöm a kengurukat.

12 Szemantika és szintaxis
Szemantika felépítés: A következmény-relációt az igaz és a hamis fogalmán keresztül vezeti be. Szintaktikai felépítés: A következmény-relációt a nyelvi jelek kombinációján keresztül vezeti be.

13 Igazságérték Az állítások igazságértékkel bírnak.
Két Arisztotelésztől származó elv: A kizárt harmadik elve (Tertium non datur): Minden állítás vagy igaz, vagy hamis. Az ellentmondás elve: Egy állítás nem lehet egyszerre igaz is, és hamis is. Összefoglalva: A kétértékűség elve: Minden állítás vagy igaz, vagy hamis, de nem lehet egyszerre mind a kettő. Az állítások igazságértéke objektív, és tudásunktól független. A Tejútrendszerben a Földön kívül is van élet.

14 Szemantika Igazságérték: Atomi mondatok igazságértéke: igaz: 1
hamis: 0 Atomi mondatok igazságértéke: a mondat igaz: |p|=1 a mondat hamis: |p|=0

15 a. Negáció Logikai jele: ~ (nem, non) Igazságtáblázata:
Nem igaz, hogy Péter magasabb, mint Pál. Logikai jele: ~ (nem, non) ~(Péter magasabb, mint Pál) ~(p) ~p Igazságtáblázata: ~p akkor és csak akkor igaz, ha p hamis. Vigyázzunk a tagadásra: ~(Minden prókátor hazudik) p ~p 1

16 b. Konjunkció Konjukció logikai jele: & (és, et) Igazságtáblázata:
Péter magasabb, mint Pál, és Pál magasabb, mint Piroska. Konjukció logikai jele: & (és, et) (Péter magasabb, mint Pál) & (Pál magasabb, mint Piroska); p & q Igazságtáblázata: p & q akkor és csak akkor igaz, ha p is és q is igaz. A konjunkció egyéb köznyelvi kifejezései: …is, …is; bár; noha; mindazonáltal p q p & q 1

17 c. Diszjunkció Alternáció logikai jele: ∨ (vagy, vel)
Esik az eső, vagy fúj a szél. Alternáció logikai jele: ∨ (vagy, vel) (Esik az eső) ∨ (Fúj a szél); p ∨ q A „vagy” kétféle értelmezése: csak az egyik (kizáró vagy: aut) esetleg mindkettő (megengedő vagy: vel; és/vagy) → Ezt használjuk! Igazságtáblázata: p ∨ q akkor és csak akkor hamis, ha p is és q is hamis. p q p ∨ q 1

18 Konjunkció és diszjunkció
Esik az eső, vagy fúj a szél. ⇔ Nem igaz, hogy sem nem esik az eső, sem nem fúj a szél. A diszjunkció definíciója a konjunkcióval és negációval: p ∨ q ⇔ ~(~p & ~q) A konjunkció és a diszjunkció egymás duálisai: A konjunkció akkor és csak akkor igaz, ha mindkét tagja igaz. A diszjunkció akkor és csak akkor hamis, ha mindkét tagja hamis. p q p & q 1 p q p ∨ q 1

19 d. Kondicionális Kondicionális logikai jele: ⊃ (patkó)
Ha esik az eső, (akkor) vizes a járda. Kondicionális logikai jele: ⊃ (patkó) (Esik az eső) ⊃ (Vizes a járda); p ⊃ q A kondicionális értelmezése: A kondicionális akkor hamis: ha előtagja igaz és utótagja hamis, a többi esetben igaz. Igazságtáblázata: p q p ⊃ q 1

20 e. Bikondicionális Bikondicionális logikai jele: ≡ (id)
Ha esik az eső, (akkor) fúj a szél, és ha fúj a szél, (akkor) esik az eső. Bikondicionális logikai jele: ≡ (id) (Esik az eső) ≡ (Fúj a szél); p ≡ q A bikondicionális értelmezése: A bikondicionális egy kondicionálist és megfordítását egyszerre állítja. A bikondicionális akkor és csak akkor igaz, ha két bemenetének igazságértéke azonos. Igazságtáblázata: p q p ≡ q 1

21 Funktorok igazságtáblázata
tagadás (nem) konjunkció (és) diszjunkció (vagy) kondicionális (ha… akkor) bikondicionális (akkor és csak akkor) p ~p 1 p q p&q 1 p q p∨q 1 p q p⊃q 1 p q p≡q 1

22 Interpretáció Interpretáció:
Minden atomi mondathoz igazságértéket rendelünk. Pl. két mondat esetén 4 lehetséges interpretáció van, három mondat esetén 8. n db atomi mondatnak 2n interpretációja van. p q r I1 1 I2 I3 I4 I5 I6 I7 I8 p q I1 1 I2 I3 I4

23 Interpretáció Az összetett mondatok a funktorokon keresztül nyernek igazságértéket. pl. (p & ~q) ⊃ r: Ha esik az eső, és nem sáros az út, akkor elmegyek kirándulni. p q ~q p&~q r (p&~q)⊃r I1 1 I2 I3 I4 I5 I6 I7 I8

24 Következményreláció Érvényes következtetés: Ha a premisszák igazak, akkor a konklúzió is igaz. Vagyis: ha minden olyan interpretációra, amelyben az összes premissza igaz, a konklúzió is igaz. P = {p1, p2 …}: premisszák K: konklúzió Jelölés: P ⇒ K

25 Következményreláció Érvényes következtetés:
1. premissza: Marci vagy Marcsi jön a keddi filmre. 2. premissza: Marci nem jön a keddi filmre. Konklúzió: Marcsi jön a keddi filmre. Formalizálás: p: Marci jön a keddi filmre. q: Marcsi jön a keddi filmre. Premisszák: 1. premissza: p ∨ q 2. premissza: ~p Konklúzió: q Kérdés: {p ∨ q, ~p} ⇒ q p q p∨q ~p 1

26 Feladatok Érvényesek-e az alábbi következtetések?
{~p & q, p ⊃ q, ~p} ⇒ p & ~q {p & ~q, ~p ∨ q} ⇒ p ∨ q Igazolja az alábbi következtetések érvényességét! {p ⊃ q, p} ⇒ q (leválasztási szabály, modus ponens) {p ⊃ q, ~q} ⇒ ~p (modus tollens) {p ⊃ q, q ⊃ r} ⇒ p ⊃ r (láncszabály) {p ∨ q, ~q} ⇒ p {p ∨ q, ~p} ⇒ q p ≡ q ⇒ p ⊃ q p ≡ q ⇒ q ⊃ p {p ≡ q, q ≡ r} ⇒ p ≡ r

27 Logikai igazság ⇒ A: Egy A mondat logikai igazság (tautológia), ha minden interpretációra igaz. ⇒ (p ∨ ~p) ⇒ (p ⊃ p) ⇒ (~p ⊃ p) ⊃ p (consequentia mirabilis: Ha akkor is baj van, ha nincs baj, akkor bizony baj van.) A logikai igazságok nem a világról szólnak, hanem a nyelvről. A logikai igazság a következményreláció speciális esete: a konklúzió az üres premisszahalmazból következik. p ~p p ∨ ~p 1 p p ⊃ p 1

28 Ellentmondás ⇏ A: Egy A mondat ellentmondás (kontradikció), ha minden interpretációra hamis. ⇏ (p & ~p) ⇏ ~(p ⊃ p) Bonyolultabb ellentmondás: ⇏ ((p ⊃ q) v ~r) ≡ ((p & ~q) & r) p ~p p & ~p 1 p ~(p ⊃ p) 1

29 Logikai ekvivalencia A ⇔ B: A és B mondatok logikailag ekvivalensek, ha igazságtáblázatuk megegyezik. ~~p ⇔ p (kettős tagadás) p & q ⇔ q & p (a konjunkció kommutativitása) ~(p ∨ q) ⇔ (~p & ~q) (De Morgan-törvények) ~(p & q) ⇔ (~p ∨ ~q) A logikai ekvivalencia (⇔) is a következményreláció speciális esete: a jobb- (⇒) és baloldali (⇐) következményreláció összeolvasztása. p ~p ~~p 1

30 Logikai ekvivalenciák
~~p ⇔ p (kettős tagadás) p & q ⇔ q & p (kommutativitás) (p & q) & r ⇔ p & (q & r) (asszociativitás) (p & q) v r ⇔ (p v r) & (q v r) (disztributivitás) ~(p ∨ q) ⇔ (~p & ~q) (De Morgan-törvények) ~(p & q) ⇔ (~p ∨ ~q) p ∨ q ⇔ ~(~p & ~q) (a diszjunkció definíciója) p ⊃ q ⇔ ~(p & ~q) ⇔ ~p ∨ q (a kondicionális definíciója) p ≡ q ⇔ (p ⊃ q) & (q ⊃ p) (a bikondicionális definíciói) p ≡ q ⇔ (p & q) v (~p & ~q) (p ⊃ q) ⇔ (~q ⊃ ~p) (kontrapozíció törvénye) p ⊃ (q ⊃ r) ⇔ (p & q) ⊃ r (áthelyezési törvény)

31 Feladatok Formalizálja a premisszákat és a konklúziót! Ahol lehetséges, a De Morgan-szabályok segítségével alakítsa át logikailag ekvivalens alakba a kijelentéseket! A narancssárga vagy a virágmintás kardigánt, és a trapézfarmert vagy a bordó kordnadrágot veszem fel. A narancssárga kardigánt és a bordó kordnadrágot nem veszem fel együtt. Annyi már biztos, hogy vagy a virágmintás kardigánt, vagy a trapézfarmert felveszem.

32 Megoldás A narancssárga vagy a virágmintás kardigánt, és a trapézfarmert vagy a bordó kordnadrágot veszem fel. A narancssárga kardigánt és a bordó kordnadrágot nem veszem fel együtt. Annyi már biztos, hogy vagy a virágmintás kardigánt, vagy a trapézfarmert felveszem. Jelölések: p: a narancssárga kardigánt veszem fel q: a virágmintás kardigánt veszem fel r: a trapézfarmert veszem fel s: a bordó kordnadrágot veszem fel Szerkezet: (p ∨ q) & (r ∨ s) ~ (p & s) q ∨ r De Morgan-szabályt a második premisszára lehet alkalmazni, ez ‘~p ∨ ~s’-sel ekvivalens. (‘Nem veszem fel a narancssárga kardigánt vagy nem veszem fel a bordó kordnadrágot.’)

33 További feladatok Az nem megy, hogy apa is ott legyen a diplomaosztómon, meg anya is. Az sem megy, hogy se apa ne legyen ott, se anya. Tehát vagy anya lesz ott, de apa nem, vagy apa lesz ott, de anya nem. Mindenki ott lesz, aki számít, de vagy nem engednek be újságírókat, vagy nem esik szó semmi érdemlegesről. Olyan nincs, hogy mindenki ott legyen, aki számít, és senkinek ne járjon el a szája. Ezeknél nagy a fegyelem. Vagy beengednek újságírókat, vagy senkinek nem jár el a szája. Tehát nem esik szó semmi érdemlegesről. Tamás vagy Tibi biztosan ott van az értekezleten, és Tibi vagy az értekezleten van, vagy ügyféllel tárgyal. Tibi nincs ott az értekezleten. Tehát Tamás ott van az értekezleten, vagy Tibi ügyféllel tárgyal. Tévedés, hogy Bogáncs is keverék, meg Morzsi is. Az is tévedés, hogy Morzsi is keverék, meg Tóbiás is. Sőt mi több, az is tévedés, hogy Tóbiás is keverék, meg Bogáncs is. Tehát akkor sem Bogáncs, sem Morzsi, sem Tóbiás nem keverék.

34 Elsőrendű logika Nulladrend: A mondatokat nem bontjuk fel.
Elsőrend: A mondatokat felbontjuk. A két grammatikai alapkategória: Mondat: „Marci jön a keddi filmre” Név: Tulajdonnév: „ XVI. Károly Gusztáv” Határozott leírás: „a jelenlegi svéd király” Névmások: „ő” Funktor (függvény): minden más értelmes kifejezés Az autó megáll. A gepárd gyorsabb, mint az antilop.

35 A funktorok fajtái Predikátum: név → mondat
Az autó megáll. A gepárd gyorsabb, mint az antilop. Predikátum: név → mondat Szerencse, hogy Mária már meggyógyult. Péter nyugtalan volt, mert Mária késett. Mondatfunktor: mondat → mondat Péter anyja öt meg három Névfunkor: név → név Összefoglalóan: Funktor: {név, mondat} → {név, mondat}

36 Funktorok argumentumai
… megáll …, mert … argumentumhely: üres helyek argumentumok száma: az üres helyek száma egyargumentumú predikátum bemenet: Az autó (név) kimenet: Az autó megáll. (mondat) … , mert … kétargumentumú mondatfunktor bemenet: Péter nyugtalan volt; Mária késett (mondatok) kimenet: Péter nyugtalan volt, mert Mária késett. (mondat)

37 Feladatok Melyek és hány argumentumúak a funktorok az alábbi mondatokban? Éva okos. Juli kitartóbb, mint Éva. Márta pulóvere piros. A dohányzás ártalmas az egészségre. Mária fiatal nagymama. Ha Ádám megjön, Éva elmegy. Itt van a kutya elásva. Tünde István és Péter között ül.

38 Grammatika és szemantika
nyelv Grammatika = nyelvtan: a nyelv értelmes („jólformált”) kifejezéseivel foglalkozik. Szemantika = jelentéstan: a nyelvi kifejezéseknek a nyelven kívüli világhoz való kapcsolódásával foglalkozik. nyelv világ

39 Faktuális érték Faktuális érték (extenzió): az a tárgy vagy tényállás, amelyre a kifejezés utal. Mondat faktuális értéke: az igazságértéke. Mondat: „A Föld gömbölyű” → {1,0} mondat {0,1}

40 Faktuális érték Faktuális érték (extenzió): az a tárgy vagy tényállás, amelyre a kifejezés utal. Mondat faktuális értéke: az igazságértéke. Mondat: „A Föld gömbölyű” → {1,0} Név faktuális értéke: a jelölete, vagyis az a tárgy, amit a név jelöl. Név: „a jelenlegi svéd király” → név mondat {0,1}

41 Faktuális érték Faktuális érték (extenzió): az a tárgy vagy tényállás, amelyre a kifejezés utal. Mondat faktuális értéke: az igazságértéke. Mondat: „A Föld gömbölyű” → {1,0} Név faktuális értéke: a jelölete, vagyis az a tárgy, amit a név jelöl. Név: „a jelenlegi svéd király” → Funktor faktuális értéke: név mondat funktor {0,1}

42 Extenzionális és intenzionális funktorok
Nem minden funktornak van faktuális értéke! Extenzionális funktorok: a bemenet faktuális értéke meghatározza a kimenet faktuális értékét. predikátum: … a Fekete-tengerbe ömlik. Duna, Magyarország leghosszabb folyója mondatfunktor: nem igaz, hogy … 2+2=5, Az Eiffel-torony Londonban van névfunktor: … apja Péter, az osztály legmagasabb fiúja Intenzionális funktorok: a bemenet faktuális értéke nem határozza meg a kimenet faktuális értékét. predikátum: Péter ismeri …-t körzeti orvos, bélyegklub titkára mondatfunktor: lehetetlen, hogy … 2+2=5, A jelenlegi brit miniszterelnök nő névfunktor: az, aki nem tudja, hogy … írta a Pestist Albert Camus, az 1957-ben Nobel-díjjal jutalmazott író

43 Feladatok Melyik funktor extenzionális az alábbiak közül?
Péter talált egy darab fát. Péter keresi a portást. István tudja, hogy nincs baj. Azt álmodtam, hogy otthon vagyok. Egyesek azt állítják, hogy ha piros az ég alja, akkor szél lesz. Lehetséges, hogy a szünetben elutazunk. Péter leendő házára gondol.

44 Feladatok Keressük ki a predikátumokat az alábbi mondatokból! Osztályozzuk őket argumentumszámuk szerint! Dezső és Oszkár barátok. Az ég kék. A nyolc nem prímszám. Senki sem okosabb mindenkinél. Amelyik kutya ugat, az nem harap. Móricz Zsigmond ismertebb, mint Tersánszky Józsi Jenő. Ez nem más, mint az utolsó példamondat.

45 Feladatok Az alábbi predikátumok közül melyek azok, amelyek argumentumaik sorrendjének felcserélésére mindig más igazságértékű állítást adnak, néha más igazságértékű állítást is adnak, sohasem adnak más igazságértékű állítást! … testvére …; … alacsonyabb, mint …; … szereti …; … párhuzamos …; … merőleges …; … megszökteti …; … anyja …; … évfolyamtársa …

46 Változók és kvantorok Individuumnevek: Szabad névmás: Ő álmos.
tulajdonnevek (XVI. Károly Gusztáv) leírások (a jelenlegi svéd király) névmások (ő) Szabad névmás: Ő álmos. ő: A tárgyalási univerzum minden elemére vonatkozhat. Kötött névmás: A főnök kirúgta a könyvelőt, aki becsapta őt. ő: A főnökre vonatkozik. A névmások jelölésére változókat használunk: x, y, z Ő álmos. → x álmos. szabad változó: a helyén nevek szerepelhetnek. kötött változó: a helyén nem szerepelhetnek nevek.

47 Nyitott és zárt mondatok
Predikátum: … kezet fogott …-val A predikátum argumentumhelyeire változókat beírva nyitott mondatot kapunk: x kezet fogott y-nal. Nyitott mondat és predikátum: Micimackó mézéhes medve, és Malacka szereti őt. (Micimackó mézéhes) & (Micimackó medve) & (Malacka szereti Micimackót). (… mézéhes) & (… medve) & (… szereti …-t): négyváltozós predikátum (x mézéhes) & (x medve) & (y szereti x-t): kétváltozós nyitott mondat Nyitott mondat: tartalmaz szabad változót. Zárt mondat: csak kötött változót tartalmaz. Hogyan lehet változókat lekötni? → Kvantorokkal.

48 Kvantorok Univerzális kvantor: ∀ (minden)
Egzisztenciális kvantor: ∃ (van olyan) Nyitott mondat: x álmos. Kvantort eléírva: ∀x (x álmos): Minden x-re, x álmos. Röviden: Mindenki álmos. ∃x (x álmos): Van olyan x, x álmos. Röviden: Van, aki álmos. Kvantor alkalmazásának sémája: kvantor – változó – (hatókör) A kvantor leköti a nyitott mondat szabad változóját. Az egyváltozós nyitott mondatból zárt mondatot csinál.

49 Példák Kétváltozós nyitott mondat:
(x ember) ⊃ (y barátja x-nek) Kiolvasás: Ha x ember, akkor y barátja x-nek. Kössük le y-t egzisztenciális kvantorral: (x ember) ⊃ ∃y (y barátja x-nek) Kiolvasás: Ha x ember, akkor van olyan y, hogy x barátja y-nak. Röviden: Ha x ember, akkor x-nek van barátja. Kössük le x-et univerzális kvantorral: ∀x [(x ember) ⊃ ∃y (y barátja x-nek)] Kiolvasás: Minden x-re: ha x ember, akkor x-nek van barátja. Röviden: Minden embernek van barátja.

50 További példák Júliát mindenki szereti: Júlia mindenkit szeret:
∀x (x szereti Júliát) Júlia mindenkit szeret: ∀x (Júlia szereti x-et) Mindenki szeret valakit: ∀x ∃y (x szereti y-t) Mindenkit szeret valaki: ∀x ∃y (y szereti x-et) Mindenki szeret mindenkit: ∀x ∀y (x szereti y-t)

51 A kvantifikáció igazságfeltételei
~∀x.F(x) ⇔ ∃x.~F(x) ~∃x.F(x) ⇔ ∀x.~F(x) A kvantifikáció logikai négyszöge: kontrárius ∀x.F(x) ∀x.~F(x) kontradiktórikus ∃x.F(x) ∃x.~F(x) szubkontrárius

52 Feladatok Írjuk fel kvantorokkal az alábbi mondatokat!
Mindenki olvasott mindent. Mindenki olvasott valamit. Valaki olvasott mindent. Senki sem okosabb mindenkinél. Valaki mindenkit elvitt mindenhova. Mindenki elvitt valakit valahova.

53 Univerzális és egzisztenciaállítások
F(x) nyitott mondat ∃: egzisztenciális kvantor → ∃x.F(x): egzisztenciális állítás ∀: univerzális kvantor → ∀x.F(x): univerzális állítás

54 Egzisztenciaállítások
Egzisztenciaállítás: ∃x.F(x) Létezik páros szám: ∃x (x páros szám) Egyéb esetek: Van olyan F, amely G: ∃x [F(x) & G(x)] Van olyan gomba, amelyik mérgező: ∃x (x gomba & x mérgező) Van olyan F, amely nem G: ∃x [F(x) & ~G(x)] Van olyan madár, amelyik nem repül: ∃x [x madár & ~(x repül)] Nincs olyan F, amely G: ~∃x [F(x) & G(x)] Nincs olyan diák, aki megbukott. ⇔ Egyetlen diák sem bukott meg. ~∃x [F(x) & G(x)] ⇔ ∀x ~[F(x) & G(x)] ⇔ ∀x [F(x) ⊃ ~G(x)] Nincs olyan F, amely nem G: ~∃x [F(x) & ~G(x)] Nincs olyan ló, amelyik nem négylábú. ⇔ Minden ló négylábú. ~∃x [F(x) & ~G(x)] ⇔ ∀x ~[F(x) & ~G(x)] ⇔ ∀x [F(x) ⊃ G(x)]

55 Univerzális állítások
Univerzális állítás: ∀x.F(x) Minden mozog: ∀x (x mozog) Egyéb esetek: Minden, ami F, az G: ∀x [F(x) ⊃ G(x)] Minden ló négylábú: ∀x (x ló ⊃ x négylábú) A madarak tojásrakók: ∀x (x madár ⊃ x tojáslakó) Feladat: Formalizáljuk az alábbi mondatokat! Mindenki gyanús nekem, aki él. Péter minden barátjának van gyereke. Csilla vett valamit, de elcserélte azt valakivel valamire.

56 Feladatok Írjuk fel az alábbi állításokat univerzális illetve egzisztenciális kvantorok segítségével. Az oroszlánok nem növényevők. Nincsen rózsa tövis nélkül. Nem szeretem a karrieristákat. A tantestület nem minden tagja osztályfőnök. Nem minden külsőség előítélet. Aki nem kockáztat, az visszavonul. Csak a bátrak nem vonulnak vissza. Akinek nincs barátja, az szomorú. A pályázók közül csak a kiskorúak nem feleltek meg.

57 Kategorikus állítások
Általános állító (affirmo): a Minden, ami F, az G: ∀x [F(x) ⊃ G(x)] Részleges állító (affirmo): i Van olyan F, ami G: ∃x [F(x) & G(x)] Általános tagadó (nego): e Egyetlen F sem G: ∀x [F(x) ⊃ ~G(x)] Részleges tagadó (nego): o Van olyan F, ami nem G: ∃x [F(x) & ~G(x)] A kategorikus állítások a negációra zárt rendszert alkotnak.

58 Az azonosság Logikai funktorok Azonosságpredikátum: két név → mondat
mondatfunktorok: ~, &, ∨, ⊃, ≡ kétargumentumú predikátum: = (azonosságpredikátum) Azonosságpredikátum: két név → mondat A Vénusz azonos az Esthajnalcsillaggal. Vénusz = Esthajnalcsillag. Általánosan: a = b a = b akkor és csak akkor igaz, ha a két név – a és b – egyazon individuumot jelöl. Az azonosságpredikátum faktuális értéke: az a kétváltozós függvény, amely az 1 értéket rendeli az olyan individuumpárokhoz, amelyek két tagja azonos, és a 0 értéket a többiekhez. Az azonosságpredikátum terjedelme: a tárgyalási univerzum azonos elemeiből alkotott párok.

59 Mi a különbség az a = a és az a = b között?
a = a triviálisan igaz. a = b: két név ugyanazt a tárgyat jelöli. a = a: A Vénusz azonos a Vénusszal – logikai okokból igaz. a = b: A Vénusz azonos az Esthajnalcsillaggal – csillagászati megfigyelés. a = a és a = b akkor lenne azonos, ha a minden tárgynak csak egy neve lenne.

60 Klasszikus elsőrendű logika
Logikai konstansok: ~, &, ∨, ⊃, ≡, ∀, ∃, = Elég lenne: ~, &, ∀, =

61 Példák Dezső mindenkitől elbúcsúzott. Mária is énekel.
∀x [(x ember & Dezső ≠ x) ⊃ Dezső elbúcsúzott x-től] Mária is énekel. Mária énekel & ∃x [x énekel & x ≠ Mária] Csak Mária énekel. Mária énekel & ~∃x [x énekel & x ≠ Mária] Mária énekel & ∀x [x énekel ⊃ x = Mária] ∀x [x énekel ≡ x = Mária]

62 Relációk A dolgok közötti relációkat kétargumentumú predikátummal fejezzük ki. pl. … magasabb, mint …, … anyja …-nak, … párhuzamos …-val, … merőleges …-vel Jelölés: R(x,y), röviden: Rxy

63 Relációk tulajdonságai: tranzitivitás
R reláció tranzitív, ha ∀x.∀y.∀z [(Rxy & Ryz) ⊃ Rxz] pl. párhuzamos, magasabb, mint R reláció intranzitív, ha ∀x.∀y.∀z [(Rxy & Ryz) ⊃ ~Rxz] pl. anyja Intranzitív (anyja) ≠ nem tranzitív (merőleges, szereti)

64 Relációk tulajdonságai: szimmetria
R reláció szimmetrikus, ha ∀x.∀y (Rxy ⊃ Ryx) pl. testvére, rokona, párhuzamos, merőleges, azonos R reláció aszimmetrikus, ha ∀x.∀y (Rxy ⊃ ~Ryx) pl. anyja, őse, fiatalabb, kisebb Aszimmetrikus (fiatalabb) ≠ nem szimmetrikus (szereti) R reláció antiszimmetrikus, ha ∀x.∀y [(Rxy & Ryx) ⊃ y=x] pl. kisebb vagy egyenlő (≤)

65 Relációk tulajdonságai: reflexivitás
R reláció reflexív, ha ∀x.Rxx pl. azonos, egybevágó, osztója R reláció irreflexív, ha ∀x[~Rxx] pl. anyja, öccse, felesége, kisebb Irreflexív (anyja) ≠ nem reflexív (szereti)

66 Ekvivalenciareláció és rendezés
R ekvivalenciareláció, ha reflexív, szimmetrikus és tranzitív. pl. azonos, egybevágó, ugyanazon évben született Partíció: az ekvivalenciareláció alosztályokra osztja fel a tárgyalási univerzumot (pl. az azonos évjáratú személyek alosztályaira). Két szélsőséges eset: R: azonos → Minden alosztály egyelemű. U: a teremben levő diákok, R: évfolyamtárs → Csak egy alosztály van: U. Minden felosztás ekvivalenciareláció segítségével történik. R gyenge rendezés, ha reflexív, antiszimmetrikus és tranzitív. pl. kisebb vagy egyenlő (≤) R erős rendezés, ha irreflexív és tranzitív. pl. kisebb (<), fiatalabb

67 Kategorikus állítások
Kategorikus állítások (Arisztotelész, Organon): Általános állító (affirmo): ∀x(F ⊃ G) Részleges állító (affirmo): ∃x(F & G) Általános tagadó (nego): ∀x(F ⊃ ~G) Részleges tagadó (nego): ∃x(F & ~G) Terminológia: F: szubjektum G: predikátum

68 A szillogizmusok osztályozása
Kategorikus szillogizmus: a: ∀x(F ⊃ G): felső tétel (maior) a: ∀x(H ⊃ F): alsó tétel (minor) Barbara a: ∀x(H ⊃ G): zárótétel 256 lehetőségből 24 érvényes szillogizmus: Barbara, Celarent, Felapton … Középkori emlékeztető versike: Barbara celarent darii ferio baralipton Celantes dabitis fapesmo frisesomorum Cesare campestres festino baroco; darapti Felapton disamis datisi bocardo ferison.

69 Modális logika „Szükségszerű, hogy minden gerincesnek van szíve.”
„Lehetséges, hogy Anna lekéste a vonatot.” „Esetleges, hogy holnap lesz tengeri csata.” „Lehetetlen, hogy senki sem látta a balesetet.” ⃞p: szükségszerű, hogy p ⃟p: lehetséges, hogy p ~⃞p: esetleges, hogy p ~⃟p: lehetetlen, hogy p ⃟p = ~⃞~p: lehetséges = nem lehetetlen ⃞p = ~⃟~p: szükségszerű = nem esetleges

70 Lehetséges világok szemantikája
Leibniz: „számtalan világ van, amelyek közül az Istennek szükségképpen a legjobbat kellett kiválasztania” Lehetséges v1 v2 … ⃞p: szükségszerű, hogy p,ha p minden világban igaz. „Öt meg hét szükségszerűen tizenkettő” = „Öt meg hét minden világban tizenkettő” ⃟p: lehetséges, hogy p, ha van olyan világ, amelyikben p igaz. „Szókratész lehetett volna ostoba” = „Szókratész de létezik egy v, ahol Szókratész ostoba”

71 De dicto és de re modalitás
de dicto: a mondatról A modális funktor zárt mondatra hat: ⃞∀x (F(x) ⊃ G(x)) „Szükségszerű, hogy aki athéni, az athéni.” igaz „Szükségszerű, hogy a Naprendszerben a bolygók száma nagyobb, mint hét.” hamis de re: a dologról A modális funktor nyitott mondatra hat: ∀x (F(x) ⊃ ⃞G(x)) „Aki athéni, az szükség-szerűen athéni.” hamis „A Naprendszerben a bolygók száma szükségszerűen nagyobb, mint hét.” igaz

72 Kontrafaktuálisok A □→ B: ha A volna a helyzet, akkor B volna a helyzet „Ha a kenguruknak nem lenne farkuk, hanyatt esnének.” → igaz „Ha a nagymamámnak hat kereke volna, ő lenne a villamos” → hamis Lehetséges v1 v2 … A □→ B igaz: ha nem létezik olyan világ, amelyben A igaz (A □→ B üresen igaz), vagy ha a legközelebbi olyan világ, amelyben A igaz, abban B is igaz (A □→ B nem üresen igaz).

73 1. feladatsor Írjuk fel az alábbi mondat kvantifikációs szerkezetét!
Ha az ember mindent akar, semmit sem ér el. Írjuk fel az alábbi mondatot univerzális illetve egzisztenciális kvantor használatával! Nem minden külsőség előítélet. Formalizáljuk az alábbi mondatot! Vagy Dezsőhöz megyek feleségül, vagy senkihez. Határozza meg az alábbi relációt reflexivitás, szimmetria és tranzitivitás szempontjából! testvére elviszi

74 2. feladatsor Fejezze ki az alábbi modális állítást a lehetséges világok nyelvén! Nem szükségszerűen fekszik Budapest a Duna partján. Keressük meg a predikátumot az alábbi mondatban! Ez nem más, mint a rektor. Igazoljuk, hogy (p ⊃ q) ⊃ r és p ⊃ (q ⊃ r) igazságértéke lehet különböző! Igaz-e az alábbi következtetés? {p & ~q, ~p ∨ q} ⇒ p ∨ q

75 3. feladatsor Milyen típusú funktorokat tartalmaznak az alábbi mondatok? Lehetséges, hogy esni fog. Mária egyetemista. Melyek a szabad és melyek a kötött változók az alábbi formulában? ∀x∀y [F(x,y,z) & ∃z(G(z,x)) & ∃z(G(y,x))] Igazoljuk, hogy p ≡ q ⇔ (p ⊃ q) & (q ⊃ p)! Formalizáljuk az alábbi mondatokat, és vizsgáljuk meg az alábbi következtetést! Ha nem lesz prémium, Brúnó dühös lesz és kilép. Ha Brúnó összevész a főnökkel és kilép, Zénó is felmond. Nem lesz prémium, és Brúnó összevész a főnökkel. Zénó felmond.

76 4. feladatsor Írjuk fel az alábbi mondatot univerzális illetve egzisztenciális kvantor használatával! A pályázók közül csak a kiskorúak nem feleltek meg. Készítsük el az alábbi formula analitikus táblázatát! [p ⊃ (p ⊃ r)] & (p ⊃ q) & p & ~r Igazoljuk, hogy p ≡ q ⇔ (p & q) v (~p & ~q) Vizsgáljuk meg az alábbi következtetést! Ha logikát vagy pedagógiát tanulsz, filozófiát is tanulsz. Ha filozófiát tanulsz, nem tanulsz pedagógiát. Logikát tanulsz, de pedagógiát nem.

77 5. feladatsor Az alábbi predikátumok közül melyek adnak mindig más igazságértéket, ha argumentumaikat felcseréljük? … testvére …-nak; … megszökteti …-t; … alacsonyabb, mint …; … anyja …-nak Írja fel az alábbi állítás logikai szerkezetét! Nincs olyan sielő, aki ne szeretné a havat. Vizsgáljuk meg igazságtáblázattal, hogy helyes-e az alábbi következtetés! Ha a jelzőlámpa ég, és a páratartalom normális, akkor a készülék működik. A jelzőlámpa ég, ám a készülék nem működik. A páratartalom nem normális. Vizsgáljuk meg az alábbi következtetést! Ha Péter zenét hallgat, a szomszédok őrjöngenek, mindenki mindenkivel összevész. Ha Péter zenét hallgat, mindenki mindenkivel összevész.

78 6. feladatsor Írjuk fel az alábbi állítások szerkezetét kifejező formulákat! Ha elalszom, nem kapok várakozás nélkül reggelit. Ha nem alszom el, akkor várakozás nélkül kapok reggelit, és meg is érkezem nyolc órára. Ha várakozás nélkül kapok reggelit, akkor – feltéve, hogy nem alszom el – nyolc órára megérkezem. Igazoljuk, hogy (p ∨ q) ∨ r ⇔ p ∨ (q ∨ r)! Írjuk fel az alábbi állítás logikai szerkezetét! Néger eszkimók nincsenek. Vizsgáljuk meg az alábbi következtetést! Ha a mama elzárta a macskát, akkor a tejfelnyaló gyermek volt, és fölmászott a polcra. Ha a tejfelnyaló fölmászott a polcra, és elhagyta a papucsát, csak Ancsa lehetett. Mama elzárta a macskát, és a tejfelnyaló elhagyta a papucsát. A tejfelnyaló csak Ancsa lehetett.