Az Út a tudományhoz program keretében közreműködtek:

Az előadások a következő témára: "Az Út a tudományhoz program keretében közreműködtek:"— Előadás másolata:

1 A σ(n)-n = s(n) számelméleti függvény vizsgálata és gyakorlati alkalmazása
Az Út a tudományhoz program keretében közreműködtek: Győrffy Lajos Szudi László Lamm Éva Eckert János Pap Máté Réti Norbert Témavezető: dr. Katz Sándor

2 Fogalmak Egy n pozitív egész szám esetén s(n)-nel jelöljük a nála kisebb osztóinak összegét. pl.: s(18)= =21 s(16)= =15 σ(n)-nel jelöljük egy az n szám összes osztójának összegét. σ(n) értéke n-nel nagyobb a s(n)-nél. pl.: σ(18)= =39 σ(16)= =31

3 s(n) függvény

4 Az s(n) és n viszonya alapján 3 csoportra oszthatjuk a számokat:
Ha s(n) < n, akkor a szám hiányos, pl.: s(9)=1+3=4 < 9 Ha s(n) > n, akkor a szám bővelkedő pl.: s(12)= =16 > 12 Ha s(n) = n, akkor a szám tökéletes pl.: s(6)=1+2+3=6.

5 Tökéletes számok n =2p-1 (2p –1) Ahol 2p –1 prím.
A páros tökéletes számok ma már ismert alakja: n =2p-1 (2p –1) Ahol 2p –1 prím. Az ilyen alakú prímeket Mersenne prímeknek nevezzük. Ezekből mindössze 47 darabot ismerünk. Továbbá minden Mersenne prímhez tartozik tökéletes szám és fordítva.

6 Már Euklidesz (i. e ) megmutatta, hogy ha n = (2p-1) · 2p-1 alakú, ahol p és 2p-1 prímszám, akkor n tökéletes szám. Pl: p=2-re: (22-1) · 22-1 = 3 · 2=6 p=3-ra: (23-1) · 23-1 = 7 · 4=28

7 Marin Mersenne, francia szerzetes több olyan p prímet adott meg, amelyekre (2p-1) is prím. Az ilyen alakú prímeket azóta is Mersenne-prímeknek nevezzük. Marin Mersenne ( )

8 Leonard Euler megmutatta, hogy páros tökéletes szám csak n=(2p-1) ·2p-1 alakú lehet. És ő találta a 8. tökéletes számot, ami 19 jegyű. Leonhard Euler ( )

9 Eddig (2009 okt. 24.) 47 tökéletes számot ismerünk.
Derrick Lehmer kidolgozott olyan eljárást, amivel nagyobb tökéletes számokat is lehet keresni. Derrick Lehmer ( ) Eddig (2009 okt. 24.) 47 tökéletes számot ismerünk. Ez mind páros.

10 Az első 15 Mersenne-prím és tökéletes szám
## p (exponent) digits in Mp digits in Pp year discoverer 1 2 ---- 3 5 4 7 13 8 1456 anonymous 6 17 10 1588 Cataldi 19 12 31 1772 Euler 9 61 37 1883 Pervushin 89 27 54 1911 Powers 11 107 33 65 1914 127 39 77 1876 Lucas 521 157 314 1952 Robinson 14 607 183 366 15 1279 386 770

11 Prímszámrekord A mai rekord 12 978 189 jegyből áll.
2008. augusztus Edson Smith Mersenne-képlet alapján a rekordszám: ( )-1 (GIMPS: Great Internet Mersenne Prime Search)

12 A legnagyobb ismert prímek
jegyű Aug  M47?? jegyű Jun  M46?? jegyű Sep  M45?? jegyű Sep  M44??

13 Létezik-e páratlan tökéletes szám?
Nem tudjuk, hogy van-e, de ha van, ilyen N, akkor N-nek legalább 75 törzstényezője van – pl.:53 3-nak számít. (Kevin Hare 2005.) A legnagyobb prímtényezője 100 milliónál nagyobb (Takeshi Goto és Yasuo Ohno, 2006) Minimum 9 prímosztója van (Nielsen, 2006) Maga szám –nál is nagyobb. (2006)

14 Aliquot sequences Hogyan viselkedik ez a sorozat?
n → s(n) → s(s(n)) → s(s(s(n))) → … pl → 16 → 15 → 9 → 4 →3 →1. Milyen lehetőségek vannak?

15 Aliquot sequences Lehet, hogy a sorozatban prímet, majd 1-et kapunk, ezzel a sorozat véget ér. Lehet, hogy ciklusok ismétlődnek a sorozatban. Hány eleműek lehetnek ezek a ciklusok? Lehet, hogy a sorozat sosem ér véget?

16 Hány elemű ciklusok lehetnek?
Egy eleműek a tökéletes számok pl. 6 → 6 → 6 → … ismert. Két eleműek a barátságos számok pl. 220→284→220→284 több, mint ismert Három eleműt nem ismerünk Négy, vagy annál több elemű Pl.: → → → 12496 →14288 →15472 →14536 → 14264 2009 márciusig 152 ilyen ciklus ismert. (28 elemű a leghoszabb.)

17 Barátságos számok A görörgök egy párt ismertek: 220-284
1300 körül Al Banna arab matematikus találta a következő párt: (Ezt Európában nem ismerték és csak 1636-ban találta meg ezt a párt Fermat.) ban Descartes talált egy újabb párt: – A következő?

18 Barátságos számok - Euler 1742-től 1750-ig újabb 61 párt talált, köztük olyat is, amely páratlan számokból áll: – ban még csak 390 párt ismertek, 2009-ben már több, mint ismert.

19 Barátságos számok Néhány nyitott kérdés: Van-e páros - páratlan pár?
Van-e olyan pár, amelyben az egyik szám sokkal nagyobb a másiknál? (Az eddig ismert párok elemei közel vannak egymáshoz, vagyis ha az (a;b) barátságos párban a< b, akkor az eddig ismert párokra az arány egy elég szűk intervallumban helyezkedik el: 0, ≤ a/b ≤ 0,

20 Egy hosszú sorozat: 138 →150 → 222 → 234 → 312→… 276 → ? 113.
138 →150 → 222 → 234 → 312→… 113. … → →… → → → 1 276 → ?

21 Nem ismert végű ciklusok Lehmer five
   Sequenz / sequence 276 552 564 660 966       last index 1567 881 3119 626 770       last update )    Größe in Dezimalstellen C149/ C139/ C134/ C132 C152

22 Lehmer five grafiikonja

23 Milyen értékeket vesz fel az s(n) függvény?
Végtelen sok olyan érték van, amit nem vesz fel. (Erdős P ) Minden páratlan értéket felvesz, ha a páros számokra vonatkozó Goldbach-sejtés igaz.

24 A h(n)=s(n)/n hányadosról
h(n) akármilyen kis poztív értéket felvehet, ha n elegendően nagy prímszám Belátható, hogy h(n) akármilyen nagy értéket felvehet. Legyen n=a! Ebből látható, hogy h(n) akármilyen nagy értéket felvehet. Gombos László A sorozatról című, a POLYGON számában megjelent cikkében bebizonyította, hogy h(n) értékei a számegyenesen mindenütt sűrűn helyezkednek el.

25 Egy sejtés A problémát Marc Deléglise a közelmúltban már megoldotta.
A keresett határérték a ] 0,2474; 0,2480[ intervallumba esik.

26 Nyitott kérdések az s(n) függvénnyel kapcsolatban
van-e bármilyen n szám, amelyre s(n)= n-1? A kettő hatványok ilyenek, nem tudjuk van-e más? van-e bármilyen n szám, amelyre s(n)= n+1? Tudjuk, hogy páros n-re nem teljesül.

27 A S(n) és s(n) függvények egy összehasonlítása
Az szám pozitív osztóinak összege: A szorzat tényezőit felírhatjuk mértani sorozatok összegeként: A képlet segítségével σ(n)-ből meg tudjuk határozni n-t!

28 Pl.: σ(n) = 8736 Tekintsük a d = képletet! Legyen p1 = 2,
k1 = 1 esetén d = 3, mivel 3| 8736, ezért 2| n; k1 = 2 esetén d = 7, mivel 7| 8736, ezért 22| n; k1 = 3 esetén d = 15, mivel 15 nem osztója 8736-nak, ezért 23 sem osztója n-nek; Ugyanezen gondolatmenet alapján kiszámítható,hogy n osztói lesznek még 53 és 7. Vagyis n = 22 · 53 ·7 = 3500 gyorsan nő . Tetszőleges pi esetén ki értékeit növelve

29 Az s(n) függvénynél nincsenek ilyen gyors eljárások.
Nem tudjuk ilyen egyszerűen eldönteni s(n) értékének ismeretében,hogy egy prím szerepel-e n-ben vagy nem.

30 Egy adott s(n) esetén milyen határok között kereshetjük n értékét?
Hol lehet n? Bármely n = prím szám esetén s(n) = 1, és fordítva n = p2 , ahol p prím, ekkor s(n) = 1+p A két egyenletből kifejezve: n=(s(n)-1)2 Tehát egy adott s(n) érték esetén n ≤ (s(n)-1)2 Ez pl. azt jelenti, hogy egy 64 jegyű s(n) esetén n nem lehet nagyobb 128 jegyűnél.

31 A próbálkozások csökkentése
Ha s(n) páros, akkor s(n)=σ(n)-n miatt - n páratlan négyzetszám, vagy - n=2km, ahol m nem négyzetszám. Ha s(n) páratlan, akkor - n páratlan nem négyzetszám, vagy - n=2km, ahol m négyzetszám.

32 Mindezek a korlátozások azonban alig csökkentik a próbálkozások számát, idejét.
Ha a 128 jegyűekig minden n-t végig kellene próbálni, hogy az adott s(n) érték tartozik-e hozzá, akkor ez igen sokáig tartana. Pl. ha egy számítógép minden n esetén átlagosan 0,00001 s alatt döntené el, hogy hozzá az adott s(n) tartozik-e, akkor ez több, mint évig tartana.

33 Minden olyan művelet, ami egyik irányban viszonylag gyorsan kiszámolható, de ez a számítás visszafele nagyon sok ideig tartana alkalmas lehet titkosításra. Ilyen tulajdonsággal rendelkezik az n s(n) függvény is.

34 Alkalmazhatóság: ún. borítékolt üznetek titkosítása
Olyan üzenet kódolásaára lehet ez alkalmas, amikor az elküldés időpontjában még nem akarjuk, hogy a partner el tudja azt olvasni. Pl. ha két fél interneten sakkozik és egyik a lépését borítékolni akarja. A kódolás lépései a következők: 1.: A szöveget ASCII kód segítségével átírjuk egy számmá (ez könnyen megtehető, mivel az ASCII kód minden karakterhez egy számot rendel hozzá). Legyen ez a szám n. 2.: n számhoz ezután a program segítségével rendeljük hozzá az s(n)-jét. Ezt az s(n)-t küldjük el, mint kódolt üzenetet.

35 Egy példa a borítékolásra
Kódolandó üzenet: A2rőlB3ra Torzított üzenet: szeretlek te A2rőlB3ra édes mostoha ASCII kóddal kódolt alakja: A fenti szám s(n)-je:

36 Borítékbontás: Elküldjük az n-t, azaz az eredeti szöveget. A partner könnyen ellenőrizheti, hogy ehhez a n-hez valóban az előzőleg elküldött s(n) tartozik-e. (Tehát időközben nem tudunk változtatni az üzeneten.)

37 Megfejtendő üzenet www.petofi-bhad.sulinet.hu s(n) =
n= ?

38 Felhasznált irodalom:
K. Guy Richard: Unsolved Problems in Number Theory: [1.] B4 Amicable numbers [2.] B6 Aliquot sequence [3.] B7 Aliquot cycles [4.] B11 Solutions of mσ(m) [5.] [6.] [7.] [8.] Elemente der Mathematik 1973.: ( o.) Pál Erdős: Über die Zahlen der Form σ(n)-n und n-φ(n) [9.] Vollkommenende Zahlen

39 Köszönöm a figyelmet!